Bild (Mathematik)

Bei einer mathematischen Funktion f ist das Bild bzw. die Bildmenge oder der Bildbereich einer Teilmenge M des Definitionsbereichs die Menge der Werte aus der Zielmenge Y, die f auf M tatsächlich annimmt.[1]

Häufig werden dafür auch die Wörter Wertemenge[2] oder Wertebereich[1] benutzt, die aber bei anderen Autoren zur Bezeichnung der gesamten Zielmenge Y[3] verwendet werden. Es besteht also Verwechslungsgefahr. In Deutschland herrscht im Schulunterricht Klarheit, es wird nur der Bezeichner Wertemenge (Wertebereich) im Sinne der Bildmenge benutzt.

Definition

Für eine Funktion ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ und eine Teilmenge ${\displaystyle M}$ von ${\displaystyle X}$ bezeichnet man die folgende Menge als das Bild von M unter f:

${\displaystyle f(M):=\{f(x)\mid x\in M\}}$

Das Bild von f ist dann das Bild der Definitionsmenge unter ${\displaystyle f}$ , also:

${\displaystyle \operatorname {Bild} (f):=f(X)}$

Alternative Notationen

Für ${\displaystyle f(M)}$ wird auch die Notation ${\displaystyle f[M]}$ verwendet.

Die englische Bezeichnung ${\displaystyle \operatorname {im} f}$ („im“ vom englischen Wort image) für ${\displaystyle \operatorname {Bild} (f)}$ ist ebenfalls gebräuchlich.

Im Allgemeinen nutzt man die übliche Mengennotation, um die Bildmenge darzustellen, in obigem Beispiel: ${\displaystyle \mathrm {Bild} (f)=\{A,B,D\}}$ .

Beispiele

Wir betrachten die Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$ (ganze Zahlen) mit ${\displaystyle f(x)\ :=x^{2}}$ .

• Hierbei werden verschiedene Eingabegrößen nicht unbedingt auf verschiedene Bildmengen geschickt:

${\displaystyle f(\{1,2,3\})=\{1,4,9\}\ }$

${\displaystyle f(\{-3,-2,-1\})=\{1,4,9\}\ }$

${\displaystyle f(\{-3,-2,-1,1,2,3\})=\{1,4,9\}\ }$

• Insgesamt ist die Menge der Quadratzahlen das Bild der Funktion:

${\displaystyle \operatorname {Bild} (f)=\{0,1,4,9,16,25,36,49,\dotsc \}\ }$

Eigenschaften

Es sei ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ eine Funktion und ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ seien Teilmengen von ${\displaystyle X}$ :

• ${\displaystyle f(\varnothing )=\varnothing }$
• ${\displaystyle M\subseteq N\Rightarrow f(M)\subseteq f(N)}$
• ${\displaystyle f}$ ist genau dann surjektiv, wenn ${\displaystyle \operatorname {Bild} (f)=Y}$ .
• ${\displaystyle f(M\cup N)=f(M)\cup f(N)}$
• ${\displaystyle f(M\cap N)\subseteq f(M)\cap f(N)}$
  Ist ${\displaystyle f}$ injektiv, dann gilt hier ebenfalls die Gleichheit.

Die Aussagen über Vereinigung und Durchschnitt lassen sich von zwei Teilmengen auf beliebige Familien von Teilmengen verallgemeinern.

Siehe auch

• Bild (Kategorientheorie)
• Homomorphiesatz
• Kern (Mathematik)
• Urbild (Mathematik)

Weblinks

• Das Bild einer Matrix berechnen (Beispiel)

Einzelnachweise

1. 1 2 Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8., überarbeitete Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6, S 106.
2. ↑ Reinhard Dobbener: Analysis. Studienbuch für Ökonomen. 4., korrigierte Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München u. a. 2007, ISBN 978-3-486-57999-4, S 12, Definition 1.12.
3. ↑ Michael Ruzicka: Analysis I. Vorlesung vom Wintersemester 2004/2005. S. 21 (PDF; 74 kB).