Abschätzung mit der Joukowskygleichung

Für die Abschätzung des Druckstoßes beim hydraulischen Widder wird oft die Gleichung von Joukowsky herangezogen. Diese wurde erstellt, um den Rohrleitungen gefährdenden Extremfall beim plötzlichen Schließen bzw. Öffnen eines Ventils zu ermitteln.

Es wird dabei vereinfachend angenommen, dass sich der Fluss (Volumenstrom) und die Strömungsgeschwindigkeit durch das Ventil während des Schließvorgangs nicht ändern und erst nach dem vollständigen Schließen des Ventils den Wert Null annehmen. Dies ist gleichbedeutend mit einer Ventilschließzeit ${\displaystyle T_{s}}$ = 0. Die Joukowskygleichung liefert dennoch keinen unendlich großen Drucksprung, da die Kompressibilität des Wassers bei der Ableitung der Gleichung berücksichtigt wurde.

Zur Ableitung der Joukowskygleichung und zu weiteren Erläuterungen siehe ^[7] und ^[8].

${\displaystyle \Delta p=\rho \cdot c\cdot \Delta v}$

wobei:

${\displaystyle \ \Delta p}$ = Druckänderung in N/m²,
${\displaystyle \ \rho }$ = Dichte in kg/m³ (Wasser: 1000  kg/m³),
${\displaystyle \ c}$ = Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit in m/s (Wasser: ca. 1000  m/s) und
${\displaystyle \ \Delta v}$ =Geschwindigkeitsänderung m/s ist.

Der Joukowskystoß ist die maximal mögliche Druckerhöhung. Der Druckstoß (Abbremsung der Strömungsgeschwindigkeit auf Null) breitet sich vom Stoßventil ausgehend mit der Geschwindigkeit c aus und wird am Reservoir „reflektiert“, d. h., der Druck in der Leitung erzeugt nun einen Fluss in Richtung auf das Reservoir. Diese sich ebenfalls mit der Geschwindigkeit c bewegende Entspannungswelle erreicht nach entsprechender Laufzeit wieder das Stoßventil und erzeugt dort wegen der Trägheit der Wassermasse einen Unterdruck. Die reale Ventilschließzeit ${\displaystyle T_{s}}$ wirkt sich somit nur dann aus, wenn der Unterdruckstoß vor dem vollständigen Schließen am Stoßventil angekommen ist und den dortigen Druck abschwächt.

Die Summe der Laufzeiten vom Stoßventil zum Reservoir und zurück wird als Reflexionszeit T_r der Druckwelle bezeichnet.

${\displaystyle T_{r}={\dfrac {2\cdot L}{c}}\ \ \mathrm {\lbrack s\rbrack } }$

${\displaystyle \ L}$ = die Länge der Rohrleitung [m]

Fließt beispielsweise Wasser mit 3 m/s durch ein 5 m langes Rohr, so beträgt die Reflexionszeit ${\displaystyle T_{r}}$ = 10 ms (Millisekunden) und der Druck steigt bei einer Ventilschließzeit von ebenfalls ${\displaystyle T_{s}}$ = 10 ms kurzzeitig auf 30 bar (eine noch kürzere Schließzeit hat keine weitere Druckerhöhung zur Folge).

Es gibt eine Näherung, mit der der Einfluss der realen Schließzeit auf den Druckstoß grob abgeschätzt werden kann:^[9]

${\displaystyle \Delta p=c\cdot \rho \cdot \Delta v\cdot {\frac {T_{r}}{T_{s}}}}$

( ${\displaystyle T_{s}}$ ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle T_{r}}$)

wobei:

${\displaystyle T_{s}}$ die Schließzeit der Armatur [s]

und

${\displaystyle T_{r}}$ die Reflexionszeit [s]

ist.

Die Abschätzung des real auftretenden Druckstoßes mittels der Joukowskygleichung unter Berücksichtigung der Schließzeit des Stoßventils liefert zu hohe Werte. Zweckmäßiger ist eine näherungsweise Ermittlung des Druckstoßes mit dem Impulssatz.

Abschätzung mit dem Impulssatz

Es wird nicht wie beim Joukowskystoß angenommen, dass sich die Fließgeschwindigkeit bis zum vollständigen Schließen des Stoßventils nicht ändert. Vielmehr werden die abzubremsende Wassermasse und die durch die Schließcharakteristik des Ventils bestimmte Geschwindigkeitsverminderung (negative Beschleunigung) zugrunde gelegt.

${\displaystyle F=m{\frac {dv}{dt}}=\rho LA{\frac {dv}{dt}}}$

${\displaystyle \Delta p=\rho L{\frac {dv}{dt}}}$

m Strömende Wassermasse

F Kraft auf die Querschnittsfläche der Triebwasserleitung

A Querschnittsfläche der Triebwasserleitung

L Länge der Triebwasserleitung

${\displaystyle \rho }$ Dichte des Wassers

${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}}$ Geschwindigkeitsverringerung beim Schließen des Stoßventils

(siehe dazu auch „Theorie der starren Wassersäule“ in ^[10] und ^[11] )

Bei dem oben angeführten Beispiel (Länge der Triebwasserleitung L = 5 m, einer Ventilschließzeit von ${\displaystyle T_{s}}$ = 10 ms und einer Strömungsgeschwindigkeit von ${\displaystyle \ v}$ = 3 m/s) ergibt sich unter der Voraussetzung einer linearen Schließcharakteristik ( ${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}={\frac {v}{T_{s}}}}$ = 300 m/s²) ein Druckstoß von 15 bar. Dies ist ein realistischerer Wert als der mit der Joukowsygleichung ermittelte, der unabhängig von der Länge der Triebwasserleitung gilt.

Für lange Triebwasserleitungen liefert der Impulssatz wegen der Nichtberücksichtigung der Kompressibilität des Wassers (starre Wassersäule) ggf. sogar größere Werte als die Joukowskygleichung, durch die der maximal mögliche Druckstoß gegeben ist. Beide Methoden stellen nur Abschätzungen unter Vernachlässigung verschiedener Einflussfaktoren dar. Für eine genauere Berechnung ist die „Theorie der elastischen Wassersäule“ heranzuziehen (siehe angeführte Literatur).

Es ist zu beachten, dass die Strömung durch den Druckstoß nur hinsichtlich ihrer ursprünglichen Strömungsrichtung gestoppt wird, wodurch eine Umlenkung in Richtung auf den Windkessel erfolgt. Die Strömung wird dadurch nicht unterbrochen und behält die ihr innewohnende kinetische Energie näherungsweise bei.

Druckausbreitung

• 
  Druckausbreitung
• 
  Ausbreitung des Unterdrucks

Nach dem Schließen des Stoßventils (1) ist das Wasser vor dem Ventil auf die Geschwindigkeit Null abgebremst, während es in der Triebleitung weiter strömt.

Auf den ersten Blick ist das unverständlich. Es wird erklärlich, wenn man die gegenüber der viel größeren Wellenausbreitungsgeschwindigkeit geringe Fließgeschwindigkeit und die Kompressibilität des Wassers berücksichtigt. Beispielsweise bewegt sich das beim Beginn des Druckstoßes am Triebwassereinlauf befindliche und mit 3 m/s strömende Wasser während der Laufzeit der Druckwelle vom Stoßventil zum Reservoir bei einer 5 m langen Leitung (Laufzeit 5ms) nur um 15 mm.

Die Druckfront bewegt sich mit der Geschwindigkeit c in Richtung Reservoir und breitet sich dabei auch in Richtung auf den Windkessel aus. Das Druckventil wird geöffnet (2). Das Wasser strömt in den Windkessel ein, wobei, vom Druckventil ausgehend, sich eine Entspannungsfront ausbreitet, die sich ebenfalls mit c zum Reservoir und zum Stoßventil hin bewegt. Das vor Einströmen in den Windkessel ruhende Wasser wird durch die Entspannung der beiden Druckzonen (auf ihrer dem Windkessel zugewandten Seite) beschleunigt (3). Die dem Reservoir zugewandte Druckfront stoppt weiterhin das Wasser. Der Entspannung auf der Windkesselseite steht somit eine Kompression auf der Reservoirseite gegenüber. Beide Fronten bewegen sich mit c auf das Reservoir zu. Das bedeutet, dass eine Zone ruhenden Wassers sich mit c durch die Triebwasserleitung bewegt (4). Genau genommen ruht das Wasser nur in der Zonenmitte, da ja eine ständige Aus- und Einströmung vorhanden ist.

Wenn diese Druckzone das Reservoir erreicht hat, erfolgt die Reflexion, d. h., auch auf der Reservoirseite strömt das Wasser nun nicht mehr in die, sondern aus der Druckzone heraus (5). Die Fronten bewegen sich aufeinander zu und die Druckzone löst sich auf. Das Wasser strömt weiter durch den Tiefendruck angetrieben mit abnehmender Geschwindigkeit in den Windkessel (6), bis das Druckventil bei Druckausgleich zu schließen beginnt. Es entsteht eine Rückströmung aus dem Windkessel zum Reservoir (7).

Nach dem schlagartigen Schließen des Druckventils entsteht hinter dem Ventil eine Unterdruckzone, deren Fronten sich wiederum mit c ausbreiten (8). Nachdem eine Front das Stoßventil erreicht hat, beginnt dieses zu öffnen (9). Es wird Luft eingesaugt, so dass sich das Wasser verdichten (Volumenverkleinerung) und Atmosphärendruck annehmen kann (die Luft sorgt für den Volumenausgleich). Das ist gleichbedeutend mit einem Einströmen von Wasser in die Unterdruckzone, verbunden mit einer mit der Geschwindigkeit c erfolgenden Frontverlagerung (10). Die Einströmung erfolgt in der Nähe der Unterdruckfront, während im Bereich zum Stoßventil hin das Wasser bereits ruht.

Wie bei der Druckausbreitung bewegt sich nun eine Zone ruhenden Wassers (Unterdruck) mit der Geschwindigkeit c durch die Triebwasserleitung, da der Einströmung auf der Stoßventilseite eine Abströmung mit c auf der Reservoirseite gegenübersteht.

Nachdem die Unterdruckzone das Reservoir erreicht hat, wird sie reflektiert. An beiden Fronten der Zone erfolgt nun eine Einströmung, die zum Verschwinden der Unterdruckzone führt (11). Das jetzt ruhende Wasser wird durch den Tiefendruck beschleunigt und tritt am geöffneten Stoßventil aus, bis dieses wieder schließt (12).

Druckverlauf

Nur wenige messtechnische Untersuchungen zum Hydraulischen Widder sind bekannt ^[12][13][14]. Die nachfolgende Beschreibung stützt sich auf die Veröffentlichung ^[15].

Das nebenstehende Diagramm basiert auf dieser Abhandlung. Es sind charakteristische Abläufe dargestellt, wobei überlagernde (höherfrequente) Schwingungen eliminiert wurden. Diese zusätzlichen Pulsationen werden in der Schrift ohne weitere Analyse auf Rohrelastizitäten und auf Reflexionen der Druckwelle am Reservoir zurückgeführt.

Der Druckstoß (1) erfolgt nach dem Schließen des Stoßventils. Das Druckventil öffnet sehr schnell und erreicht seine Endlage (2), wobei es plötzlich stoppt. Das in den Windkessel strömende Wasser erfährt eine abrupte Widerstandsänderung durch das Ventil, so dass es zu einem sekundären Druckstoß kommt. Das weiter in den Windkessel strömende Wasser erzeugt im Triebwasser wegen der Trägheit der strömenden Masse kurzzeitig einen Unterdruck (3) ohne das Stoßventil zu öffnen. Dies ist wichtig für den Dauereinsatz des Widders, da der Unterdruck über ein Schnüffelventil bzw. eine kleine Bohrung Außenluft nachzieht. Die Bläschen steigen nach oben, wodurch bei jedem Druckstoß der Luftvorrat im Windkessel nachgefüllt wird. Es kommt bei geöffnetem Druckventil zu einer Druckschwingung (4) als Gegenbewegung. Das Wasser strömt, angetrieben durch das Gefälle der Triebleitung, weiter in den Kessel. Der nun niedrige Wasserdruck im Triebwasser ist daran nicht ursächlich beteiligt (der Druckstoß dient also nur zur schnellen Öffnung des Druckventils und ist somit auch kein Maß für die erreichbare Förderhöhe). Vielmehr ist es die kinetische Energie des strömenden Triebwassers (das im Windkessel gestoppt wird), die den Druck auf das im Windkessel befindliche Wasser erzeugt und so für die weitere Befüllung sorgt. Die Kraft F_W (bzw. der Druck F_W/A_W) auf den Ventilquerschnitt A_W und damit auf das im Windkessel befindliche Wasser berechnet sich gemäß der obigen Gleichung näherungsweise zu:

${\displaystyle F_{W}=m{\frac {dv_{W}}{dt}}=\rho LA{\frac {dv_{W}}{dt}}}$

${\displaystyle \Delta p_{W}=\rho L{\frac {A}{A_{W}}}{\frac {dv_{W}}{dt}}}$

F_W Kraft auf den Ventilquerschnitt des Druckventils

${\displaystyle \Delta p_{W}}$ Druck am Druckventil

${\displaystyle A_{W}}$ Querschnittsfläche des Druckventils

${\displaystyle v_{W}}$ Einströmgeschwindigkeit in den Windkessel

${\displaystyle {\frac {dv_{W}}{dt}}}$ Geschwindigkeitsverringerung beim Einströmen in den Windkessel

Beispielsweise ergibt sich für L = 5 m, A = A_W (Leitungsquerschnitt dem Ventilquerschnitt entsprechend), ${\displaystyle v_{W}}$ = 3 m/s (Anfangsgeschwindigkeit für die Windkesseleinströmung), Einströmzeit 0,1s (Druckventil offen) und daraus folgend ${\displaystyle {\frac {dv_{W}}{dt}}}$ = 30 m/s² (Linearität vorausgesetzt) ein Wert von ${\displaystyle \Delta p_{W}}$ = 1,5 bar. Die maximal erreichbare Förderhöhe beträgt also 15 m. Die Einströmzeit ist u. a. abhängig vom Luftvolumen und vom Druck (Tiefendruck der Steigleitung) im Windkessel.

Bei (5) beginnt das Druckventil wegen des nun im Windkessel vorhandenen Gegendrucks zu schließen, wobei aus dem Windkessel eine Rückströmung in Richtung des Wasserreservoirs erfolgt. Diese Rückströmung wird beim vollständigen Schließen des Ventils schlagartig unterbrochen, so dass ein Unterdruck (6) auftritt, da das Wasser wegen seiner Trägheit weiter in Richtung Reservoir zu strömen bestrebt ist und durch die geschlossenen Ventile daran gehindert wird. Der Unterdruck löst das Öffnen des Stoßventils aus. Das eigentliche Öffnen erfolgt durch die Kraft der Feder bzw. des Gewichtes des Ventils. Das Triebwasser strömt mit sich erhöhender Geschwindigkeit durch das Ventil. Beim Erreichen der Endstellung (7) des Ventils (voll geöffnet) erfolgt in gleicher Weise wie beim sekundären Druckstoß (2) am Druckventil eine kurzzeitige Druckerhöhung. Nachdem das Triebwasser im Ventil eine Geschwindigkeit erreicht hat, die eine ausreichende Druckdifferenz über dem Ventil zur Folge hat, schließt das Stoßventil (8) und ein neuer Zyklus beginnt.

Stoßgeräusche

Ein weiteres Problem stellen die erheblichen Schallemissionen beim Druckstoß dar. In Wohn- oder Naturgebieten erfordern sie Maßnahmen zum Lärmschutz. Die dem Stoß ausgesetzten Teile der Konstruktion sind wegen der auftretenden Kräfte zumeist ganz aus Metall, wodurch die Stoßgeräusche auch auf Trieb- und Steigleitung übertragen werden. Als Gegenmaßnahme dient der Einbau (kurzer) Kunststoffrohrstücke an oder nahe den vom Widder abgehenden Rohrenden. Auf diese Weise wird die Ausbreitung der Geräusche über die Rohre deutlich verringert. Weitere Möglichkeiten sind klassischer Lärmschutz wie die Umhüllung mit einer Schalldämmung und – vor allem in Wohnbereichen – der unterirdische Einbau.