Innere Energie

Eine Stoffsorte (K = 1)

Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik beschreibt eine Änderung der inneren Energie als Summe der Wärmezufuhren und -entzüge sowie der verrichteten Arbeit am entsprechenden (geschlossenen) System:

${\displaystyle \mathrm {d} U=\delta Q+\delta W=T\cdot dS-p\cdot dV}$

mit

• der absoluten Temperatur ${\displaystyle T}$
• der Entropie ${\displaystyle S}$
• dem Druck ${\displaystyle p}$ und
• dem Volumen ${\displaystyle V}$ .

Auf der rechten Seite schreibt man jeweils ${\displaystyle \delta }$ statt ${\displaystyle \mathrm {d} }$ , weil es sich nicht wie bei der Zustandsgröße ${\displaystyle U}$ um totale Differentiale handelt, sondern um die partiellen Differentiale der Prozessgrößen ${\displaystyle Q}$ und ${\displaystyle W}$ . Der letzte Term hat ein negatives Vorzeichen, weil eine Vergrößerung des Volumens mit einer Abgabe von Arbeit verbunden ist.

Integriert:

${\displaystyle \mathrm {\Delta } U=Q+W=\int {T\cdot dS}-\int {p\cdot dV}.}$

Auf jedem geschlossenen Weg ${\displaystyle c}$ gilt:

${\displaystyle \oint \limits _{c}{\rm {d}}U=0,}$

wie immer man die Differentiale ${\displaystyle \mathrm {d} S}$ und ${\displaystyle \mathrm {d} V}$ wählt.

Daher gilt für stationäre Kreisprozesse:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {\Delta } U&=0\\\Leftrightarrow Q_{1}-\left|Q_{2}\right|+W_{1}-\left|W_{2}\right|&=0,\end{aligned}}}$

wobei die mit 1 indizierten Energien zugeführt werden (positiv) und die mit 2 indizierten abgeführt (negativ) (vergl. Energiebilanz für Kreisprozesse).

Bei variabler Stoffmenge ${\displaystyle n}$ bzw. Teilchenzahl ${\displaystyle N}$ gehört auch das chemische Potential ${\displaystyle \mu }$ zum totalen Differential hinzu (Fundamentalgleichung):

${\displaystyle \mathrm {d} U=T\cdot dS-p\cdot \mathrm {d} V+\mu \cdot \mathrm {d} N.}$

Mehrere Stoffsorten (K > 1)

Innere Energie ${\displaystyle U}$ und ihre natürlichen Variablen (Entropie  ${\displaystyle S}$ , Volumen  ${\displaystyle V}$ und Stoffmenge  ${\displaystyle N}$ ) sind allesamt extensive Zustandsgrößen. Die innere Energie ändert sich bei einer Skalierung des thermodynamischen Systems proportional zur entsprechenden Zustandsgröße (S,V) mit dem Proportionalitätsfaktor  ${\displaystyle \alpha }$ :

${\displaystyle U(\alpha \cdot S,\alpha \cdot V,\alpha \cdot (N_{1},\dots ,N_{K}))=\alpha \cdot U(S,V,N_{1},\dots ,N_{K})}$

mit ${\displaystyle N_{i}}$ ( ${\displaystyle i=1,\dots ,K}$ ) : Stoffmenge der Teilchen vom Typ ${\displaystyle i}$ .

Eine solche Funktion wird homogene Funktion ersten Grades genannt.

Mit dem Euler-Theorem und dem ersten Hauptsatz folgt die Euler-Gleichung für die innere Energie:[3]

${\displaystyle U=TS-pV+{\sum _{i=1}^{K}}\,\mu _{i}N_{i}.}$

Gleichverteilungssatz für ideales Gas

Für ein ideales Gas gilt der Gleichverteilungssatz (innere Energie verteilt auf jeden Freiheitsgrad mit je ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\,k_{\mathrm {B} }T}$ ).

Für ein ideales Gas mit drei Freiheitsgraden und ${\displaystyle N}$ Teilchen ergibt sich:

${\displaystyle U={\frac {3}{2}}\ Nk_{\mathrm {B} }T}$

oder für ${\displaystyle n}$ Mol eines idealen Gases:

${\displaystyle U={\frac {3}{2}}\ nRT.}$

jeweils mit

• ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ - Boltzmann-Konstante
• ${\displaystyle R}$ - ideale Gaskonstante.