Kreiszahl

Die Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ (Pi) ist eine mathematische Konstante, die als Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser definiert ist. Dieses Verhältnis ist unabhängig von der Größe des Kreises. ${\displaystyle \pi }$ ist eine irrationale und transzendente Zahl und kommt in zahlreichen Teilgebieten der Mathematik, auch außerhalb der Geometrie, vor. Die Dezimalbruchentwicklung der Kreiszahl beginnt mit

${\displaystyle \pi =3{,}14159\ldots }$

Die Kreiszahl und manche ihrer Eigenschaften waren bereits in der Antike bekannt, die Bezeichnung mit dem griechischen Buchstaben Pi ( ${\displaystyle \pi }$ ) (nach dem Anfangsbuchstaben des griechischen Wortes περιφέρεια – peripheria, „Randbereich“ bzw. περίμετρος – perimetros, „Umfang“) wurde im 18. Jahrhundert durch Leonhard Euler populär, nachdem sie bereits vorher unter anderem von William Oughtred (Theorematum in libris Archimedis de Sphaera et Cylindro Declaratio, 1647) und William Jones (Synopsis palmariorum matheseos, 1706) verwendet worden war.

Mathematische Grunddaten

Definition

Es existieren mehrere gleichwertige Definitionen für die Kreiszahl  ${\displaystyle \pi }$ . Gebräuchlich ist etwa die Festlegung als

• das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser oder
• die Fläche eines Kreises mit dem Radius r = 1.

In der Analysis ist es zweckmäßiger, zunächst den Kosinus über seine Taylorreihe zu definieren und dann die Kreiszahl als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus (nach Edmund Landau).

Irrationalität und Transzendenz

Die Zahl ${\displaystyle \pi }$ ist eine irrationale Zahl, also eine reelle, aber keine rationale Zahl. Das bedeutet, dass sie nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$ , also als Bruch ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ dargestellt werden kann. Das wurde 1761 (oder 1767) von Johann Heinrich Lambert bewiesen[1].

Tatsächlich ist die Zahl ${\displaystyle \pi }$ sogar transzendent, was bedeutet, dass es kein Polynom endlichen Grades mit rationalen Koeffizienten gibt, das ${\displaystyle \pi }$ als eine Nullstelle hat. Das wurde erstmals von Ferdinand von Lindemann 1882 bewiesen. Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist, ${\displaystyle \pi }$ nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken. Eine Folge davon ist unter anderem, dass die exakte Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist.

Die ersten 100 Nachkommastellen

Da ${\displaystyle \pi }$ eine irrationale Zahl ist, lässt sich ihre Darstellung in keinem Stellenwertsystem vollständig angeben: Die Darstellung ist stets unendlich lang und nicht periodisch. Bei den ersten 100 Nachkommastellen in der Dezimalbruchentwicklung[2]

${\displaystyle \pi }$ = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 …

ist keine Regelmäßigkeit ersichtlich. Auch weitere Nachkommastellen genügen statistischen Tests auf Zufälligkeit. Siehe auch den Abschnitt zur Frage der Normalität.[3]

Kettenbruchentwicklung

Eine alternative Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Da ${\displaystyle \pi }$ irrational ist, ist auch diese Darstellung unendlich lang.

Im Gegensatz zur Eulerschen Zahl e konnten aber bislang bei der (regulären) Kettenbruchdarstellung von ${\displaystyle \pi }$ keinerlei Regelmäßigkeiten festgestellt werden.

Die Genauigkeit von 200 dezimalen Nachkommastellen erhält man mit 194 Teilnennern (Folge A001203 in OEIS):

${\displaystyle \pi }$ = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, 1, 2, 2, 6, 3, 5, 1, 1, 6, 8, 1, 7, 1, 2, 3, 7, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 16, 1, 161, 45, 1, 22, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 24, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 10, 2, 5, 4, 1, 2, 2, 8, 1, 5, 2, 2, 26, 1, 4, 1, 1, 8, 2, 42, 2, 1, 7, 3, 3, 1, 1, 7, 2, 4, 9, 7, 2, 3, 1, 57, 1, 18, 1, 9, 19, 1, 2, 18, 1, 3, 7, 30, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 8, 1, 1, 2, 1, 15, 1, 2, 13, 1, 2, 1, 4, 1, 12, 1, 1, 3, 3, 28, 1, 10, 3, 2, 20, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 3, 2, 1, 6, 1, 4, …]

${\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}$

Eine weitere Kettenbruchdarstellung von ${\displaystyle \pi }$ ist[4]

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{\ddots }}}}}}}}}}}$

Sphärische Geometrie

In der Kugelgeometrie ist der Begriff Kreiszahl nicht gebräuchlich, da das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser in diesem Fall nicht mehr für alle Kreise gleich, sondern von deren Größe abhängig ist. Für Kreise mit einem sehr viel kleineren Durchmesser als dem der Kugel, auf deren Oberfläche er „gezeichnet“ wird (etwa ein Kreis mit 1 m Durchmesser auf der kugeligen Erdoberfläche), ist der Abstand des Mittelpunktes zur (euklidischen) Kreisebene sehr klein und damit der Unterschied zur normalen euklidischen Geometrie vernachlässigbar, ansonsten muss die Abweichung jedoch berücksichtigt werden.

Bezeichnung

Die Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ wird auch Archimedes-Konstante und nach Ludolph van Ceulen Ludolphsche Zahl genannt. Der englische Mathematiker William Jones verwendete in seiner Synopsis Palmariorum Matheseos (1706) als erster den griechischen Kleinbuchstaben ${\displaystyle \pi }$ , um das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser auszudrücken.[5]

Bereits einige Zeit früher verwendete der englische Mathematiker William Oughtred in seiner erstmals 1647 veröffentlichten Schrift Theorematum in libris Archimedis de Sphæra & Cylyndro Declaratio die Bezeichnung ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{\delta }}}$ , um das Verhältnis von halbem Kreisumfang (semiperipheria) zu Halbmesser (semidiameter) auszudrücken, d. h. ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{\delta }}=3{,}1415...}$ [6] Dieselben Bezeichnungen verwendete um 1664 auch der englische Mathematiker Isaac Barrow. David Gregory verwendete ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{\rho }}}$ (1697) für das Verhältnis von Umfang zu Radius.[7]

Leonhard Euler verwendete erstmals 1737 den griechischen Kleinbuchstaben ${\displaystyle \pi }$ für die Kreiszahl, nachdem er zuvor p verwendet hatte. Seitdem ist aufgrund der Bedeutung Eulers diese Bezeichnung allgemein üblich.

Geschichte der Zahl π – von Schätzungen zur Rekordjagd

Schon vor den Griechen suchten Menschen nach dieser geheimnisvollen Zahl, und obwohl die Schätzungen immer genauer wurden, gelang es erstmals dem griechischen Mathematiker Archimedes um 250 v. Chr., die Zahl mathematisch einzugrenzen. In der weiteren Geschichte wurden die Versuche zur größtmöglichen Annäherung an ${\displaystyle \pi }$ phasenweise zu einer regelrechten Rekordjagd, die zuweilen skurrile und auch aufopfernde Züge annahm.

Die alltägliche Praxis drängt zu ersten Schätzungen

Aus praktischen Erwägungen heraus versuchten die Menschen schon in sehr früher Zeit, dem Phänomen Kreis näherzukommen. So ist das Verhältnis vom Umfang zum Durchmesser eines Kreises beispielsweise wichtig für die Berechnung der Länge des Beschlages eines Rades, das Binden eines Kranzes oder das Volumen eines Fasses.

Dabei beziehen sich die ältesten Überlieferungen immer auf konkrete Objekte; ob die mathematische Gesetzmäßigkeit erkannt wurde, ist unklar. So ließ der Bibel zufolge König Salomo durch den Kupferschmied Hiram von Tyrus für den israelitischen Tempel ein rundes Wasserbecken herstellen:

Somit lässt sich für das beschriebene Objekt ein Verhältnis von Umfang zu Durchmesser mit dem Wert 3 folgern. Man kann annehmen, dass eine ungenaue Messung oder Überlieferung von Umfang und Durchmesser vorliegt.

Den Wert 3 nutzte man auch im alten China. Genauer waren die Angaben in Ägypten. Das älteste bekannte Rechenbuch der Welt, das Rechenbuch des Ahmes (auch Papyrus Rhind, 17. Jahrhundert v. Chr.), nennt den Wert  ${\displaystyle \left({\tfrac {16}{9}}\right)^{2}\approx 3{,}1604.}$ Als Näherung für ${\displaystyle \pi }$ benutzten die Babylonier 3 oder auch ${\displaystyle 3+{\tfrac {1}{8}}=3{,}125.}$ In Indien benutzte man in den Sulbasutras, den Schnurregeln zur Konstruktion von Altären, den Wert  ${\displaystyle \left({\tfrac {26}{15}}\right)^{2}\approx 3{,}0044}$ für ${\displaystyle \pi .}$ Der indische Mathematiker Aryabhata bestimmte im 6. Jahrhundert den Wert der Kreiszahl für damalige Verhältnisse sehr genau auf ${\displaystyle 3{,}125.}$

Archimedes von Syrakus

Für Archimedes von Syrakus (um 287 v. Chr. bis 212 v. Chr.) und noch für viele Mathematiker nach ihm war unklar, ob die Berechnung von ${\displaystyle \pi }$ nicht doch irgendwann zum Abschluss käme, ob ${\displaystyle \pi }$ also eine rationale Zahl sei, was die jahrhundertelange Jagd auf die Zahl verständlich werden lässt. Zwar war den griechischen Philosophen mit der Irrationalität von ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ die Existenz derartiger Zahlen bekannt, dennoch hatte Archimedes keinen Grund, bei einem Kreis von vornherein eine rationale Darstellbarkeit der Flächenberechnung auszuschließen. Denn es gibt durchaus allseitig krummlinig begrenzte Flächen, die sogar von Kreisteilen eingeschlossen sind, die sich als rationale Zahl darstellen lassen wie die Möndchen des Hippokrates.

Erst 1761/1767 konnte Johann Heinrich Lambert die Irrationalität von ${\displaystyle \pi }$ beweisen, auch wenn die Mathematiker es schon lange vermutet hatten.

Umbeschreibung und Einbeschreibung bis zu 96 Ecken

Archimedes versuchte wie auch andere Forscher, sich mit Vielecken dem Kreis anzunähern und auf diese Weise Näherungen für ${\displaystyle \pi }$ zu gewinnen. Er bewies, dass der Umfang eines Kreises sich zu seinem Durchmesser genauso verhält wie die Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius, das jeweilige Verhältnis ergibt also in beiden Fällen die gleiche Größe (die Kreiszahl). Mit umbeschriebenen und einbeschriebenen Vielecken bis hin zum 96-Eck berechnete er obere und untere Schranken für den Kreisumfang. Er kam zu der für die damalige Zeit äußerst bedeutsamen Abschätzung, dass das gesuchte Verhältnis etwas kleiner als ${\displaystyle 3+{\tfrac {10}{70}}}$  sein müsse, jedoch größer als ${\displaystyle 3+{\tfrac {10}{71}}}$  :

${\displaystyle 3{,}1408450\approx 3+{\tfrac {10}{71}}<\pi <3+{\tfrac {10}{70}}\approx 3{,}1428571}$

Nach Heron besaß Archimedes eine noch genauere Abschätzung, die aber falsch überliefert ist:

${\displaystyle 3+{\tfrac {9552}{67441}}<\pi <3+{\tfrac {10835}{62351}}}$

Wilbur Knorr korrigiert zu:

${\displaystyle 3+{\tfrac {8915}{62991}}<\pi <3+{\tfrac {9552}{67441}}}$       ${\displaystyle (3{,}1415281<\pi <3{,}1416349)}$

Genauer und genauer – von Zu Chongzhi über Ludolph van Ceulen zu John Machin

Wie in manchen anderen gesellschaftlichen und kulturellen Bereichen gab es auch in der Mathematik in den westlichen Kulturen eine sehr lange Zeit des Stillstandes nach Ende der Antike und während des Mittelalters. Fortschritte in der Annäherung an ${\displaystyle \pi }$ erzielten in dieser Zeit vor allem chinesische und persische Wissenschaftler. Im dritten Jahrhundert bestimmte Liu Hui aus dem 192-Eck die Schranken 3,141024 und 3,142704, später aus dem 3072-Eck den Näherungswert 3,14159. Um 480 berechnete der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chong-Zhi (430–501) für die Kreiszahl 3,1415926 <  ${\displaystyle \pi }$  < 3,1415927, also die ersten 7 Dezimalstellen. Er kannte auch den fast genauso guten Näherungsbruch ${\displaystyle {\tfrac {355}{113}}}$ (das ist der dritte Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung von ${\displaystyle \pi }$ ), der in Europa erst im 16. Jahrhundert gefunden wurde. In seinem 1424 abgeschlossenen Werk Abhandlung über den Kreis berechnete der persische Wissenschaftler Dschamschid Masʿud al-Kaschi mit einem 3·2²⁸-Eck 2 ${\displaystyle \cdot \pi }$ bereits auf 16 Stellen genau.[8]

Im 16. Jahrhundert erwachte dann auch in Europa die Mathematik wieder aus ihrem langen Schlaf. 1596 gelang es Ludolph van Ceulen, die ersten 35 Dezimalstellen von ${\displaystyle \pi }$ zu berechnen. Angeblich opferte er 30 Jahre seines Lebens für diese Berechnung. Van Ceulen steuerte allerdings noch keine neuen Gedanken zur Berechnung bei. Er rechnete einfach nach der Methode des Archimedes weiter, aber während Archimedes beim 96-Eck aufhörte, setze Ludolph die Rechnungen bis zum eingeschriebenen ${\displaystyle 2^{62}}$ -Eck fort. Der Name ludolphsche Zahl erinnert an seine Leistung.

Der französische Mathematiker François Viète variierte 1593 die Archimedische Exhaustionsmethode, indem er den Flächeninhalt eines Kreises durch eine Folge eingeschriebener ${\displaystyle 2^{n}}$ -Ecke annäherte. Daraus leitete er als Erster eine geschlossene Formel für ${\displaystyle \pi }$ in Form eines unendlichen Produktes ab:

${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \dots ={\frac {2}{\pi }}}$

Der englische Mathematiker John Wallis entwickelte 1655 das nach ihm benannte wallissche Produkt:

${\displaystyle {\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \dots ={\frac {\pi }{2}}}$

Wallis zeigte 1655 diese Reihe Lord Brouncker, dem ersten Präsidenten der „Royal Society“, der die Gleichung als Kettenbruch wie folgt darstellte:

${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{\;\,\ddots }}}}}}}}}}}$

Allmählich wurden die Rechnungen komplizierter, Leibniz steuerte 1682 folgende Reihendarstellung bei:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}\mp \cdots ={\frac {\pi }{4}}}$

Siehe auch Kreiszahlberechnung nach Leibniz.

Diese war indischen Mathematikern bereits im 15. Jahrhundert bekannt. Leibniz entdeckte sie für die europäische Mathematik neu und bewies die Konvergenz dieser unendlichen Summe. Die obige Reihe ist wegen ${\displaystyle \arctan 1={\tfrac {\pi }{4}}}$ auch ein Spezialfall (θ = 1) der Reihenentwicklung des Arcustangens, die der schottische Mathematiker James Gregory in den 1670ern fand:

${\displaystyle \arctan \theta ={\frac {\theta ^{1}}{1}}-{\frac {\theta ^{3}}{3}}+{\frac {\theta ^{5}}{5}}-{\frac {\theta ^{7}}{7}}\pm \cdots }$

Sie war Grundlage vieler Approximationen von ${\displaystyle \pi }$ in der folgenden Zeit. John Machin berechnete mit seiner Formel von 1706 die ersten 100 Stellen von ${\displaystyle \pi }$ . Seine Gleichung

${\displaystyle 4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}={\frac {\pi }{4}}}$

lässt sich zusammen mit der taylorschen Reihenentwicklung der Arcustangens-Funktion für schnelle Berechnungen verwenden. Diese Formel lässt sich im Reellen über das Additionstheorem des Arkustangens gewinnen, einfacher geht es durch Betrachtung des Argumentes der komplexen Zahl

${\displaystyle (5+i)^{4}\cdot (239-i)=114244+114244i=114244\cdot e^{i\cdot {\frac {\pi }{4}}}.}$

Leonhard Euler führte in seiner im Jahre 1748 erschienenen Introductio in Analysin Infinitorum im ersten Bande ${\displaystyle \pi }$ bereits auf 148 Stellen genau an. Von Euler entdeckte Formeln (siehe auch Riemannsche ζ-Funktion):

${\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots =\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

${\displaystyle \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}},\quad \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}},\quad \cdots }$

${\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4}}-{\frac {1}{4\cdot 5\cdot 6}}+{\frac {1}{6\cdot 7\cdot 8}}\mp \cdots ={\frac {\pi -3}{4}}}$

Johann Heinrich Lambert publizierte 1770 einen Kettenbruch, der heute meist in der Form

${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1^{2}}{3+\textstyle {\frac {2^{2}}{5+\textstyle {\frac {3^{2}}{7+\textstyle {\frac {4^{2}}{9+\textstyle {\frac {5^{2}}{11+\textstyle {\frac {6^{2}}{\;\,\ddots }}}}}}}}}}}}}$

geschrieben wird. Pro Schritt ergeben sich etwa 0,76555 Dezimalstellen, was im Vergleich mit anderen Kettenbrüchen relativ hoch ist, sodass sich dieser Kettenbruch besonders gut zur Berechnung von ${\displaystyle \pi }$ eignet.

Handwerker benutzten in Zeiten vor Rechenschieber und Taschenrechner die Näherung ${\displaystyle {\tfrac {22}{7}}\approx 3{,}142857}$ und berechneten damit vieles im Kopf. Der Fehler gegenüber ${\displaystyle \pi }$ beträgt etwa 0,04 %. Für alltägliche praktische Situationen war das völlig ausreichend.

Eine andere oft genutzte Näherung war der Bruch ${\displaystyle {\tfrac {355}{113}}\approx 3{,}1415929}$  , immerhin auf sieben Stellen genau. Allen diesen rationalen Näherungswerten für ${\displaystyle \pi }$ ist gemeinsam, dass sie partiellen Auswertungen der Kettenbruchentwicklung von ${\displaystyle \pi }$ entsprechen, z. B.:

${\displaystyle {\frac {22}{7}}=[3;7],\quad {\frac {355}{113}}=[3;7,15,1]}$

Keine der bislang entwickelten Formeln konnte zur effizienten Berechnung von Näherungswerten für ${\displaystyle \pi }$ dienen, auch die erstaunliche Entdeckung des Inders S. Ramanujan aus dem Jahr 1914, basierend auf Untersuchungen von elliptischen Funktionen und Modulfunktionen, war dazu noch nicht geeignet:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {\sqrt {8}}{9801}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(4n)!\cdot (1103+26390n)}{(n!)^{4}\cdot 396^{4n}}}}$

Solche effizienteren Verfahren, deren Implementation allerdings Langzahlarithmetik benötigt, sind Iterationsverfahren mit quadratischer oder noch höherer Konvergenz.[9]

Moderne Näherungsrechnung und Bestimmung

BBP-Reihen

1995 entdeckte David Harold Bailey, zusammen mit Peter Borwein und Simon Plouffe, eine neuartige Reihendarstellung (BBP-Reihe) für ${\displaystyle \pi }$ :

${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)}$

Diese Reihe (auch Bailey-Borwein-Plouffe-Formel genannt) erlaubt es auf einfache Weise, die ${\displaystyle n}$ -te Stelle einer binären, hexadezimalen oder beliebigen Darstellung zu einer 2er-Potenzbasis von ${\displaystyle \pi }$ zu berechnen, ohne dass zuvor die ${\displaystyle n-1}$ vorherigen Ziffernstellen berechnet werden müssen.[10] Baileys Website, enthält eine Herleitung des Verfahrens und auch Implementierungen in verschiedenen Programmiersprachen.

Später wurden für ${\displaystyle \pi }$ weitere BBP-Reihen gefunden:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &={\tfrac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {1}{16^{k}}}\left({\tfrac {8}{8k+2}}+{\tfrac {4}{8k+3}}+{\tfrac {4}{8k+4}}-{\tfrac {1}{8k+7}}\right)\\&={\tfrac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {1}{16^{k}}}\left({\tfrac {8}{8k+1}}+{\tfrac {8}{8k+2}}+{\tfrac {4}{8k+3}}-{\tfrac {2}{8k+5}}-{\tfrac {2}{8k+6}}-{\tfrac {1}{8k+7}}\right)\\&=\;\;\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{k}}{4^{k}}}\left({\tfrac {2}{4k+1}}+{\tfrac {2}{4k+2}}+{\tfrac {1}{4k+3}}\right)\end{aligned}}}$

Berechnung mittels Flächenformel

Diese Berechnung nutzt den Zusammenhang aus, dass ${\displaystyle \pi }$ in der Flächenformel des Kreises enthalten ist, dagegen nicht in der Flächenformel des umschreibenden Quadrats.

Die Formel für den Flächeninhalt des Kreises mit Radius ${\displaystyle r}$ lautet

${\displaystyle A_{K}=\pi r^{2}}$ ,

der Flächeninhalt des Quadrates mit Seitenlänge ${\displaystyle 2r}$ errechnet sich als

${\displaystyle A_{Q}=(2r)^{2}}$ .

Für das Verhältnis der Flächeninhalte eines Kreises und seines umschreibenden Quadrats ergibt sich also

${\displaystyle {\frac {A_{K}}{A_{Q}}}={\frac {\pi r^{2}}{(2r)^{2}}}={\frac {\pi }{4}}}$ .

Damit lässt sich ${\displaystyle \pi }$ als das Vierfache dieses Verhältnisses schreiben: ${\displaystyle \pi =4\,{\frac {A_{K}}{A_{Q}}}}$ .

Programm

Als Beispiel ist ein Algorithmus angegeben, in dem die Flächenformel demonstriert wird, mit der ${\displaystyle \pi }$ näherungsweise berechnet werden kann.

Man legt dazu über das Quadrat ein Gitter und berechnet für jeden einzelnen Gitterpunkt, ob er auch im Kreis liegt. Das Verhältnis der Gitterpunkte innerhalb des Kreises zu den Gitterpunkten innerhalb des Quadrats wird mit 4 multipliziert. Die Genauigkeit der damit gewonnenen Näherung von ${\displaystyle \pi }$ hängt von der Gitterweite ab und wird mittels ${\displaystyle r}$ kontrolliert. Mit ${\displaystyle r=10}$ erhält man z. B. 3,16 und mit ${\displaystyle r=100}$ bereits 3,1428. Für das Ergebnis 3,14159 ist allerdings schon ${\displaystyle r=10000}$ zu setzen, was sich durch den zweidimensionalen Lösungsansatz auf die Zahl der notwendigen Rechenvorgänge in quadratischer Form niederschlägt.

r = 10000
kreistreffer = 0
quadrattreffer = r ^ 2
for i = 0 to r-1
  x = i + 0.5
  for j = 0 to r-1
    y = j + 0.5
    if x ^ 2 + y ^ 2 <= r ^ 2 then
      kreistreffer = kreistreffer + 1
ausgabe 4*kreistreffer / quadrattreffer { 3.14159388 }

Anmerkung: Das obige Programm ist nicht für die schnellstmögliche Ausführung auf einem realen Computersystem optimiert, sondern aus Gründen der Verständlichkeit so klar wie möglich formuliert worden. Weiterhin ist die Kreisfläche insofern unpräzise bestimmt, als nicht die Koordinaten der Mitte für die jeweiligen Flächeneinheiten benutzt werden, sondern der Flächenrand. Durch die Betrachtung eines Vollkreises, dessen Fläche für die erste und letzte Zeile gegen Null geht, ist die Abweichung für großes ${\displaystyle r}$ marginal.

Die Konstante Pi ist für den Alltagsgebrauch in Computerprogrammen typischerweise bereits vorberechnet vorhanden, üblicherweise ist der zugehörige Wert dabei mit etwas mehr Stellen angegeben, als ihn die leistungsfähigsten Datentypen dieser Computersprache aufnehmen können.

Statistische Bestimmung

Eine sehr interessante Methode zur Bestimmung von ${\displaystyle \pi }$ ist die statistische Methode. Für die Berechnung lässt man zufällige Punkte auf ein Quadrat „regnen“ und berechnet, ob sie innerhalb oder außerhalb eines eingeschriebenen Kreises liegen. Der Anteil der innen liegenden Punkte ist gleich ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$ .

Diese Methode ist ein Monte-Carlo-Algorithmus; die Genauigkeit der nach einer festen Schrittzahl erreichten Näherung von ${\displaystyle \pi }$ lässt sich daher nur mit einer gewissen Irrtumswahrscheinlichkeit angeben. Durch das Gesetz der großen Zahlen steigt jedoch im Mittel die Genauigkeit mit der Schrittzahl.

Der folgende Algorithmus ist in der Programmiersprache Java geschrieben:

public static double approximiere_pi(int tropfenzahl) {
  double pi = 0;
  int innerhalb = 0;
  int gesamt = tropfenzahl;

  while (tropfenzahl > 0) { // generiere Tropfen und addiere je nach Zugehörigkeit
    double dotx = Math.random();
    double doty = Math.random();

    if (dotx*dotx + doty*doty <= 1) {
      // Punkt liegt innerhalb des Kreises
      innerhalb++;
    } else {
      // Punkt liegt außerhalb des Kreises
    }

    tropfenzahl--;
  }

  pi = 4*(double)innerhalb/gesamt;
  return pi;
}

Buffonsches Nadelproblem

Eine weitere auf Wahrscheinlichkeiten beruhende und ungewöhnliche Methode ist das Buffonsche Nadelproblem und stammt von Georges-Louis Leclerc de Buffon, der sie 1727 im Alter von 20 Jahren erfand. Buffon warf Stöcke über die Schulter auf einen gekachelten Fußboden. Anschließend zählte er, wie oft sie die Fugen trafen. Eine praktikablere Variante beschrieb Jakow Perelman im Buch Unterhaltsame Geometrie. Man nehme eine kurze, ca. 2 cm lange Nadel – oder einen anderen Metallstift mit ähnlicher Länge und Durchmesser, am besten ohne Spitze – und zeichne auf ein Blatt Papier eine Reihe dünner paralleler Striche, die um die doppelte Länge der Nadel voneinander entfernt sind. Dann lässt man die Nadel sehr häufig (mehrere hundert- oder tausendmal) aus einer gewissen Höhe auf das Blatt fallen und notiert, ob die Nadel eine Linie schneidet oder nicht. Es kommt nicht darauf an, wie man das Berühren eines Striches durch ein Nadelende zählt. Die Division der Gesamtzahl ${\displaystyle N}$ der Nadelwürfe durch die Zahl ${\displaystyle P}$ der Fälle, in denen die Nadel eine Linie geschnitten hat, ergibt

${\displaystyle {\frac {N}{P}}={\frac {\pi }{2}}{\frac {d}{\ell }},}$

wobei ${\displaystyle \ell }$ die Länge der Nadeln und ${\displaystyle d}$ den Abstand der Linien auf dem Papier bezeichnet. Daraus ergibt sich leicht eine Näherung für ${\displaystyle \pi .}$ [11] Die Nadel kann dabei auch gebogen oder mehrfach geknickt sein, wobei in diesem Fall auch mehr als ein Schnittpunkt pro Wurf möglich ist und entsprechend mehrfach gezählt werden muss. In der Mitte des 19. Jahrhunderts kam der Schweizer Astronom Rudolf Wolf durch 5000 Nadelwürfe auf einen Wert von ${\displaystyle \pi \approx 3{,}159.}$

Geometrische Näherungskonstruktion

Zur geometrischen Konstruktion der Zahl ${\displaystyle \pi }$ gibt es die Näherungskonstruktion von Kochański, mit der man einen Näherungswert der Kreiszahl mit einem Fehler von weniger als 0,002 Prozent bestimmen kann. Es handelt sich also um eine Näherungskonstruktion für die (exakt nicht mögliche) Quadratur des Kreises.

Formeln, Anwendungen, offene Fragen

Formeln, die π enthalten

Formeln der Geometrie

In der Geometrie treten die Eigenschaften von ${\displaystyle \pi }$ als Kreiszahl unmittelbar hervor.

• Umfang eines Kreises mit Radius ${\displaystyle r}$ : ${\displaystyle U=2\pi r}$
• Fläche eines Kreises mit Radius ${\displaystyle r}$ : ${\displaystyle A=\pi r^{2}}$
• Volumen einer Kugel mit Radius ${\displaystyle r}$ : ${\displaystyle V={\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}}$
• Oberfläche einer Kugel mit Radius ${\displaystyle r}$ : ${\displaystyle A_{O}=4\pi r^{2}}$
• Volumen eines Zylinders mit Radius ${\displaystyle r}$ und Höhe ${\displaystyle a}$ : ${\displaystyle V=r^{2}\pi a}$
• Volumen eines durch die Rotation des Graphen ${\displaystyle y=f(x)}$ um die ${\displaystyle x}$ -Achse definierten Rotationskörpers mit den Grenzen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ : ${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}f(x)^{2}\mathrm {d} x}$

Formeln der Analysis

${\displaystyle \pi }$ spielt daneben in vielen mathematischen Zusammenhängen eine Rolle, zum Beispiel bei

• der unendlichen Reihe: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ (Euler, s. auch den Artikel Riemannsche ζ-Funktion#Spezielle Funktionswerte)
• der gaußschen Normalverteilung: ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\mathrm {d} x={\sqrt {\pi }}}$ oder in anderer Darstellung: ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-|x|^{2}}\mathrm {d} x=\pi }$
• der Kettenbruchdarstellung

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{\ddots }}}}}}}}}}}$

• der Stirling-Formel als Näherung der Fakultät für große ${\displaystyle n}$ : ${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$
• der Fourier-Transformation: ${\displaystyle F(\omega )={\mathcal {F}}\{f\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,\mathrm {d} t}$
• der Euler-Identität: ${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

Diese Identität als Kombination der Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ , der ebenfalls transzendenten eulerschen Zahl ${\displaystyle e}$ , der Imaginären Einheit ${\displaystyle i}$ und der beiden grundlegenden Zahlen 0 und 1 wird als eine der „schönsten mathematischen Formeln“ angesehen.

Formeln der Funktionentheorie

Auch in der Funktionentheorie bzw. komplexen Analysis taucht die Kreiszahl auf. Darunter bei

• der Integralformel von Cauchy: ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta .}$ [12]

Formeln der Zahlentheorie

• Die relative Häufigkeit, dass zwei zufällig gewählte natürliche Zahlen, die unterhalb einer Schranke ${\displaystyle M}$ liegen, teilerfremd sind, strebt mit ${\displaystyle M\rightarrow \infty }$ gegen ${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}}$ .

Formeln der Physik

In der Physik spielt ${\displaystyle \pi }$ neben

• der Kreisbewegung: ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ (Winkelgeschwindigkeit gleich ${\displaystyle 2\pi }$ mal Umlauffrequenz)

vor allem bei Wellen eine Rolle, da dort ${\displaystyle \pi }$ über die Sinus- und Kosinusfunktion eingeht. Somit also zum Beispiel

• in der Quantenmechanik: ${\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}}$ (Heisenbergsche Unschärferelation).

Außerdem

• in der Berechnung der Knicklast ${\displaystyle F_{K}={\frac {\pi ^{2}EI}{s^{2}}}}$ ,
• bei der Reibung von Partikeln in Flüssigkeiten (Gesetz von Stokes) ${\displaystyle F_{R}=6\,\pi \,\eta \,r\,v\!}$

Anwendungen und Nutzen heutiger Berechnungen

Die Näherungswerte und -verfahren zur Kreiszahl waren lange Zeit insbesondere für die angewandten Wissenschaften, wie etwa im Ingenieurbau, sehr wertvoll; die neueren Näherungswerte hingegen haben bereits so viele Stellen, dass ein praktischer Nutzen kaum noch gegeben ist.

Beispielsweise genügen zur Berechnung des Kreisumfangs auf einen Millimeter Genauigkeit

• bei einem Radius von 30 Metern vier Dezimalstellen von ${\displaystyle \pi }$ ,
• beim Erdradius zehn Dezimalstellen,
• bei einem Radius mit dem Abstand Erde-Sonne 15 Dezimalstellen.

Wie viele Stellen sind wohl erforderlich, um den größten in unserem Universum vorstellbaren realen Kreis mit der größten vorstellbaren Genauigkeit zu berechnen? Das Licht des Urknalls in Form der Mikrowellen-Hintergrundstrahlung erreicht uns aus einer Entfernung, die sich als das Produkt des Weltalters (etwa 1,3·10¹⁰ a) mit der Lichtgeschwindigkeit (etwa 300.000 km·s^-1 oder 9,46·10¹⁵ m·a^-1) ergibt, also rund 1,3·10²⁶ m. Der Kreis mit diesem Radius hat also einen Umfang von etwa 8,17·10²⁶ m. Die kleinste physikalisch sinnvolle Längeneinheit ist die Planck-Länge von etwa 10^-35 m. Der Kreis besteht also aus 8,17·10⁶¹ Planck-Längen. Um ihn aus dem gegebenen Radius (vorausgesetzt, dieser wäre auf eine Planck-Länge genau bekannt) mit der Genauigkeit von einer Planck-Länge zu berechnen, würden also schon 62 Dezimalstellen von ${\displaystyle \pi }$ ausreichen.

Im August 2010 lag der Rekord bei numerischen Berechnungen bei etwa 5 Billionen Dezimalstellen. Ein praktischer Nutzen dieser Rechnungen liegt in der Möglichkeit, Computer-Hardware und -Software zu testen, da bereits kleine Rechenfehler zu vielen falschen Stellen von ${\displaystyle \pi }$ führen.

Offene Frage der Normalität

Eine zurzeit besonders aktuelle mathematische Frage bezüglich ${\displaystyle \pi }$ ist, ob sie eine normale Zahl ist, d. h. ob sie zum Beispiel in einer binären (oder jeder anderen n-ären) Zahlendarstellung jede mögliche endliche Binär- bzw. sonstige Zifferngruppe gleichermaßen enthält – so wie es die Statistik erwarten ließe, wenn man eine Zahl vollkommen nach dem Zufall erzeugen würde.

In letzter Konsequenz würde das beispielsweise bedeuten, dass ${\displaystyle \pi }$ alle bisher und zukünftig geschriebenen Bücher irgendwo in codierter Binär-Form enthalten muss. Siehe auch das Infinite-Monkey-Theorem.

Bailey und Crandal zeigten im Jahr 2000 mit der oben erwähnten Bailey-Borwein-Plouffe-Formel, dass die Normalität von ${\displaystyle \pi }$ zur Basis 2 auf eine Vermutung der Chaostheorie reduziert werden kann.[13]

Physiker der Purdue Universität haben im Jahre 2005 die ersten 100 Millionen Dezimalstellen von ${\displaystyle \pi }$ auf ihre Zufälligkeit hin untersucht und mit kommerziellen Zufallszahlengeneratoren verglichen. Der Forscher Ephraim Fischbach und sein Mitarbeiter Shu-Ju Tu konnten dabei keinerlei verborgene Muster in der Zahl ${\displaystyle \pi }$ entdecken. Demnach sei nach Ansicht Fischbachs die Zahl ${\displaystyle \pi }$ tatsächlich eine gute Quelle für Zufälligkeit. Allerdings schnitten einige Zufallszahlengeneratoren noch besser als ${\displaystyle \pi }$ ab.

Bislang ist nicht einmal bekannt, ob nicht ab einer gewissen Stelle beispielsweise nur noch die Ziffern 5 und 6 auftreten.[14]

Sonstiges

Rekorde und Kuriositäten

• Freunde der Zahl ${\displaystyle \pi }$ gedenken zum einen am 14. März der Kreiszahl mit dem Pi-Tag wegen der amerikanischen Datumsnotation 3/14. Zum anderen wird am 22. Juli ein ${\displaystyle \pi }$ -Näherungstag gefeiert, mit dem die Näherung 22/7 von Archimedes geehrt wird.
• Im Jahr 1897 wurden im US-Bundesstaat Indiana mit dem Indiana-Pi-Bill-Gesetzentwurf (“for an act introducing a new mathematical truth”) für die Zahl ${\displaystyle \pi }$ per Gesetz 4 bzw. 3,2 vorgeschlagen. Der Hobbymathematiker Edwin J. Goodwin war sicher, die Quadratur des Kreises gefunden zu haben. Er schlug der Regierung den Handel vor, auf alle Tantiemen aus der Anwendung seiner Entdeckung in der mathematischen Aus- und Weiterbildung zu verzichten, wenn seine Entdeckung zum Gesetz erhoben würde. Erst nach der Aufklärung durch einen „gestandenen“ Mathematiker, der von dem Gesetzesvorhaben zufällig in der Zeitung las, vertagte die zweite Kammer des Parlaments den vom Repräsentantenhaus (Landtag) bereits einstimmig beschlossenen Entwurf auf unbestimmte Zeit. Das Guinness-Buch der Rekorde kennt diese Geschichte etwas anders: „Der ungenaueste Wert von ${\displaystyle \pi }$ . Im Jahre 1897 verabschiedete die Generalversammlung von Indiana ein Gesetz (Bill Nr. 246), nach dem der Wert von ${\displaystyle \pi }$ de jure vier ist.“
• Die Versionsnummer des Textsatzprogramms TeX von Donald Knuth wird entgegen den üblichen Konventionen der Software-Entwicklung seit den 1990ern so inkrementiert, dass sie sich langsam ${\displaystyle \pi }$ annähert. Die aktuelle Version aus dem Jahr 2008 trägt die Nummer 3,1415926.
• Wissenschaftler senden mit Radioteleskopen die Kreiszahl ins Weltall. Sie sind der Meinung, dass andere Zivilisationen diese Zahl kennen müssen, wenn sie das Signal auffangen können.
• Der aktuelle Rekord im Pi-Vorlesen liegt bei 108.000 Nachkommastellen in 30 Stunden. Der Weltrekordversuch begann am 3. Juni 2005 um 18:00 Uhr und wurde am 5. Juni 2005 pünktlich um 0:00 Uhr erfolgreich beendet. Über 360 freiwillige Leser lasen jeweils 300 Nachkommastellen. Organisiert wurde der Weltrekord vom Mathematikum in Gießen.

Film, Musik, Kultur und Literatur

• 1966 nannte Alfred Hitchcock eine Gruppe von DDR-Fluchthelfern in seinem Film Der zerrissene Vorhang (1966) Pi.
• 1981 wurde Carl Sagans Buch Contact veröffentlicht. Das Buch beschreibt das SETI-Programm zur Suche nach außerirdischer Intelligenz und damit verbundene philosophische Betrachtungen. Es endet mit der fiktiven Beantwortung der Frage, ob das Universum zufällig entstanden ist oder planvoll geschaffen wurde. Die Zahl ${\displaystyle \pi }$ spielt für die spannende und im Rahmen der Handlung folgerichtige Antwort die zentrale Rolle.

• 1998 veröffentlichte Darren Aronofsky (Requiem for a Dream) den Film „Pi“ (1998), in dem ein mathematisches Genie (Sean Gullette als „Maximilian Cohen“) die Weltformel aus ${\displaystyle \pi }$ herausfiltern möchte.
• Auf dem 2005 erschienenen Doppelalbum Aerial von Kate Bush ist ein Lied der Zahl Pi gewidmet.
• Im Jahr 2005 benannte sich der bis dahin als „Prinz Porno“ bekannte deutsche Rapper Friedrich Kautz wegen Verwechselungen in Zusammenhang mit seinem Künstlernamen und seiner Stil-Richtung in Prinz Pi um. Seither gilt das Pi-Symbol auch als sein Markenzeichen.
• Die im November 2006 eröffnete Medieninstallation Pi in der Wiener Opernpassage widmet sich unter anderem der Kreiszahl.
• Im Film Nachts im Museum 2 (2009) ist die Kreiszahl die Kombination für die Tafel des Ahkmenrah. Die Kombination wird mithilfe von Wackelkopf-Einsteins gelöst und öffnet in dem Film das Tor zur Unterwelt.
• Die progressive Deathcore-Band After the Burial hat auf ihrem Debütalbum Forging A Future Self das Lied Pi (The Mercury God Of Infinity) veröffentlicht. Es besteht aus einem Akustikgitarrensolo, auf das ein Breakdown folgt, dessen Rhythmus an die ersten 110 Stellen der Kreiszahl angelehnt ist.[15]

Pi-Sport

Aus dem Lernen von Pi ist ein Sport geworden. Das Memorieren der Zahl Pi gilt als beste Möglichkeit, das Merken langer Zahlen unter Beweis zu stellen. Der Chinese Chao Lu ist offizieller Weltrekordhalter mit bestätigten 67.890 Nachkommastellen, welche er am 20. November 2005 fehlerfrei in einer Zeit von 24 Stunden und 4 Minuten aufsagte. Er wird sowohl vom Guinness Book of Records als auch von der Pi World Ranking List als Rekordhalter geführt.

Der inoffizielle Weltrekord im Memorieren von Pi lag im Oktober 2006 bei 100.000 Stellen, aufgestellt von Akira Haraguchi. Der Japaner brach damit seinen ebenfalls noch inoffiziellen alten Rekord von 83.431 Nachkommastellen. Den deutschen Rekord hält Jan Harms mit 9.140 Stellen. Für das Memorieren von Pi werden spezielle Mnemotechniken angewandt. Die Technik unterscheidet sich dabei nach Geschmack des Gedächtniskünstlers, seinen Begabungen und der Menge der zu memorierenden Nachkommastellen.

Für das Merken der ersten Ziffern von Pi gibt es einfache Merksysteme, dazu Pi-Sport - Merkregeln.

Entwicklung der Nachkommastellen von π

Den Rekord der Berechnung von ${\displaystyle \pi }$ hielt 2010 einige Monate lang der in Paris lebende Softwareentwickler Fabrice Bellard mit 2.699.999.990.000 (rund 2,7 Billionen) Stellen.[16] Für die Berechnung benutze Bellard einen handelsüblichen Core-i7-PC. Die Berechnung dauerte insgesamt 131 Tage. 103 Tage für die Binärdarstellung, 13 Tage für eine Plausibilitätsprüfung, 12 Tage für die Umrechnung in die Dezimalform und drei weitere Tage zum Verifizieren, damit man mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit von einem korrekten Ergebnis ausgehen kann.[17]

Mathematiker	Jahr	Dezimalstellen	Methode
Ägypten, Rechenbuch des Ahmes (Papyrus Rhind)	ca. 17. Jahrhundert v. Chr.	1	nur beispielhaft
Archimedes	ca. 250 v. Chr.	2	96-Eck
Liu Hui	nach 263	5	3072-Eck
Zu Chong-Zhi	ca. 480	6
Dschamschid Masʿud al-Kaschi	ca. 1424	15	${\displaystyle 3\cdot 2^{28}}$ -Eck
Ludolph van Ceulen	1596	20
Ludolph van Ceulen	1610	35	${\displaystyle 2^{62}}$ -Eck
Jurij Vega	1794	126
William Shanks	1853	(527)	Reihenentwicklung von   ${\displaystyle \arctan 1/5}$   und   ${\displaystyle \arctan 1/239}$ . Berechnung der ersten 707 Dezimalstellen von ${\displaystyle \pi }$ per Hand berechnet. Im Jahr 1945 wurde entdeckt, dass die letzten 180 Stellen falsch waren.
Levi B. Smith, John W. Wrench	1949	1.120
Daniel Shanks, John W. Wrench	1961	100.265
Yasumasa Kanada, Sayaka Yoshino, Yoshiaki Tamura	1982	16.777.206
Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura, Yoshinobu Kubo	1987	134.217.700
David und Gregory Chudnovsky	1989	1.011.196.691
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi	1997	51.539.600.000
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi	1999	206.158.430.000
Yasumasa Kanada	2002	1.241.100.000.000	Berechnung: ${\displaystyle \pi =48\arctan(1/49)+128\arctan(1/57)-20\arctan(1/239)+48\arctan(1/110443)}$ Verifikation: ${\displaystyle \pi =176\arctan(1/57)+28\arctan(1/239)-48\arctan(1/682)+96\arctan(1/12943)}$ [18]
Daisuke Takahashi	2009	2.576.980.370.000	Gauß-Legendre-Algorithmus
Fabrice Bellard	2010	2.699.999.990.000	Chudnovsky-Algorithmus
Shigeru Kondo, Alexander Yee[19]	2010	5.000.000.000.000	Berechnung: Chudnovsky-Formel, Verifikation: Plouffes Formel und Bellards Formel
Shigeru Kondo, Alexander Yee[20]	2011	10.000.000.000.000	Berechnung: Chudnovsky-Formel, Verifikation: Plouffes Formel und Bellards Formel. Rechenzeit: 191 Tage

Alternative Kreiszahl τ

Der amerikanische Mathematiker Bob Palais schlug 2001 in einer Ausgabe des Mathematik-Magazins „The Mathematical Intelligencer“ vor, für ${\displaystyle \pi }$ , statt wie bisher den Quotienten aus Umfang und Durchmesser eines Kreises, in Zukunft den Quotienten aus Umfang und Radius (entsprechend ${\displaystyle 2\pi }$ ) als grundlegende Konstante zu verwenden.[21] Seine Argumentation beruht darauf, dass in vielen mathematischen Formeln der Faktor ${\displaystyle 2}$ vor der Kreiszahl auftauche. Ein weiteres Argument ist die Tatsache, dass ${\displaystyle \tau }$ im Bogenmaß einen Vollwinkel darstellt, statt wie ${\displaystyle \pi }$ einen halben Winkel, wodurch ${\displaystyle \tau }$ weniger willkürlich wirkt. Eine neu normierte Kreiszahl,[22] für deren Notation Michael Hartl und Peter Harremoës den griechischen Buchstaben ${\displaystyle \tau }$ (Tau) vorschlugen,[23] würde diese Formeln verkürzen. Nach dieser Konvention gilt dann ${\displaystyle \tau =2\pi \Leftrightarrow \pi ={\frac {\tau }{2}}}$ . Der Vorschlag hat sich bislang nicht durchgesetzt.

Literatur

• Jörg Arndt, Christoph Haenel: Π [Pi]. Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-66258-8 (mit CD-ROM, 1. Auflage. 1998 - ohne CD-ROM, ISBN 3-540-63419-3). 
• Petr Beckmann: A History of π. St. Martin's Press, New York City 1976, ISBN 978-0-312-38185-1 (englisch). 
• Ehrhard Behrends (Hrsg.): Π [Pi] und Co. Kaleidoskop der Mathematik. Springer, Berlin / Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-77888-2. 
• David Blatner: Π [Pi]. Magie einer Zahl. In: rororo Sachbuch. rororo 61176, Reinbek bei Hamburg 2001, ISBN 3-499-61176-7 (Originaltitel: The Joy of Π [pi]. Übersetzt von Hainer Kober). 
• Jonathan Borwein, Peter Borwein: Pi and the AGM. A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. In: Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advan. 2. Auflage. Wiley, New York NY 1998, ISBN 0-471-31515-X (englisch). 
• Egmont Colerus: Vom Einmaleins zum Integral. Mathematik für Jedermann. In: rororo-Sachbuch. rororo 6692, Reinbek bei Hamburg 1974 / 1982, ISBN 3-499-16692-5. 
• Jean-Paul Delahaye: Π [Pi]. Die Story. Birkhäuser, Basel 1999, ISBN 3-7643-6056-9. 
• Keith Devlin: Sternstunden der modernen Mathematik. berühmte Probleme und neue Lösungen. 2. Auflage. dtv-Taschenbuch 4591, München 1992, ISBN 3-423-04591-4 (Originaltitel: Mathematics. Übersetzt von Doris Gerstner, Lizenz des Birkhäuser-Verlags, Basel). 
• Paul Karlson: Vom Zauber der Zahlen. Eine unterhaltsame Mathematik für jedermann. In: Das moderne Sachbuch. 8., überarbeitete Auflage. Band 41. Ullstein, Berlin 1965 (ohne ISBN, früherer Titel: Du und der Zauber der Zahlen). 
• Karel Markowski: Die Berechnung der Zahl Π [(Pi)] aus Sinus- und Tangens-Intervallen. 1. Auflage. Trigon, Potsdam 2007, ISBN 978-3-9810752-1-2. 
• Jakow Perelman: Unterhaltsame Geometrie. Volk und Wissen, Berlin 1962. 
• Jürgen Petigk: Dreieckige Kreise oder wie man Π [Pi] mit einer Nadel bestimmen kann. Mathematische Rätsel, Training fürs Gehirn. Komet, Köln 2007, ISBN 978-3-89836-694-6 (1998 als Mathematik in der Freizeit bei Aulis-Verlag Deubner, Köln erschienen, ISBN 3-7614-1997-X). 
• Karl Helmut Schmidt: Π [Pi]. Geschichte und Algorithmen einer Zahl. Books on Demand GmbH, Norderstedt 2001, ISBN 3-8311-0809-9 (o. J. [2001]). 
• Heinrich Tietze: Mathematische Probleme. Gelöste und ungelöste mathematische Probleme aus alter und neuer Zeit. Vierzehn Vorlesungen für Laien und Freunde der Mathematik. Beck, München 1990, ISBN 3-406-02535-8 (Sonderausgabe in einem Band, 1990 auch als dtv-Taschenbuch 4398 / 4399, ISBN 3-423-04398-9 - Band 1 und, ISBN 3-423-04399-7 - Band 1). 

Weblinks

  Commons: Pi  – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

  Wiktionary: Kreiszahl  – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Albrecht Beutelspacher (Mathematikum Gießen): Mathematik zum Anfassen - Die Zahl ${\displaystyle \pi }$ (Bayern α)
• Werner Scholz: Die Geschichte der Approximationen der Zahl TU Wien, 3. November 2001
• Archimedes und die Ermittlung der Kreiszahl
• The ${\displaystyle \pi }$ -Search Page – Ziffernfolgen innerhalb von ${\displaystyle \pi }$ suchen (200 Mio. Stellen, sehr schnell)
• Pibel.de – Auf dieser Website steht die Zahl Pi auf bis zu 10 Millionen Kommastellen zum Download bereit
• Aktuelle Weltrangliste der ${\displaystyle \pi }$ -Auswendiglerner (englisch)
• Monte-Carlo-Methode zur Approximation von π

Einzelnachweise

1. ↑ http://books.google.de/books?id=fKhEAAAAcAAJ&pg=PA156&dq=25510582+:+80143857&hl=de&sa=X&ei=CBupUfPLJ6WTiAKAsoAw&ved=0CDYQ6AEwAA#v=onepage&q&f=false
2. ↑ pi to 10,000 digits. Peter Alfeld, Department of Mathematics, University of Utah; Eine Aufstellung der ersten 10 Millionen Stellen findet sich auf pibel.de (PDF; 6,6 MB)
3. ↑ siehe z. B. Test mit den ersten 100 Millionen Stellen, siehe http://www.physorg.com/pdf3886.pdf
4. ↑ Siehe Euler's continued fraction formula: A continued fraction for π in der englischsprachigen Wikipedia.
5. ↑ William Jones: Synopsis Palmariorum Matheseos: Or, a New Introduction to the Mathematics. Containing the Principles of Arithmetic & Geometry. Demonstrated, in a Short and Easie Method; with Their Application to the most Useful Parts thereof: As, Resolving of Equations, Infinite Series, Making the Logarithms; Interest, Simple and Compound; The Chief Properties of the Conic Sections; Mensuration of Surfaces and Solids; The Fundamental Precepts of Perspective; Trigonometry; The Laws of Motion apply'd to Mechanic Powers, Gunnery, &c. Design'd for the Benefit, and adapted to the Capacities of Beginners. London: Matthews, 1706, S. 243 noch: „1/2 Periphery ( ${\displaystyle \pi }$ )“ mit Angabe des Verhältnis von halbem Umfang zu Radius bzw. Umfang zu Durchmesser auf 100 Nachkommastellen genau; S. 263 dann: „3.14159, &c. = ${\displaystyle \pi }$ . […] Whence in the Circle, any one of these three, [area] a, [circumference] c, [diameter] d, being given, the other two are found, as, d = c ÷ ${\displaystyle \pi }$ = (a ÷ 1/4 ${\displaystyle \pi }$ )^1/2, c = d × ${\displaystyle \pi }$ = (a × 4 ${\displaystyle \pi }$ )^1/2, a = 1/4 ${\displaystyle \pi }$ × d² = c² ÷ 4 ${\displaystyle \pi }$ .“
6. ↑ William Oughtred: Theorematum in libris Archimedis de Sphæra & Cylyndro Declaratio. 1663. In: Clavis Mathematicae. Lichfield, Oxford 1667, S. 201–214, hier S. 203.
7. ↑ Vgl. David Eugene Smith: History of Mathematics. Band 2. Dover, New York 1953, S. 312 (The Symbol ${\displaystyle \pi }$ ).
8. ↑ Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg 2009, ISBN 978-3-642-02361-3, S. 172.
9. ↑ Siehe: Borwein, Pi and the AGM
10. ↑ Besonders offensichtlich ist das für die Hexadezimaldarstellung.
11. ↑ Ehrhard Behrends, Peter Gritzmann, Günter M. Ziegler: ${\displaystyle \pi }$ und Co., Kaleidoskop der Mathematik. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-77888-2, S. 157.
12. ↑ E. Freitag: Funktionentheorie 1. Spinger Verlag, ISBN 3-540-31764-3, S. 87.
13. ↑ Für weitere Details siehe die Webseite von Bailey.
14. ↑ Delahaye: π die Story, 1999, S. 211
15. ↑ Das Lied auf YouTube mit Erklärung des Rhythmus in der Videobeschreibung, verfasst von einem der Gitarristen
16. ↑ Pi Computation Record Pressemitteilung auf Bellards Website
17. ↑ Pi-Berechnungsrekord auf handelsüblichem PC - Meldung vom 8. Januar 2010 18:54
18. ↑ Yasumasa Kanada: Current publisized world record of pi calculation is as in the followings. In: Kanada Laboratory home page. 20. Oktober 2005; abgerufen am 1. Mai 2010 (englisch). 
19. ↑ Neuer Mathematik-Rekord: Ein amerikanischer Student und ein japanischer Tüftler haben nach eigenen Angaben die Kreiszahl Pi auf fünf Billionen Nachkommastellen genau berechnet. auf: Spiegel online. 5. August 2010.
20. ↑ Alexander J. Yee, Shigeru Kondo: Round 2... 10 Trillion Digits of Pi. auf: numberworld.org, 22. Oktober 2011.
21. ↑ Bob Palais: π is wrong! In: The Mathematical Intelligencer. Volume 23, Number 3, 2001, Springer-Verlag, New York, S. 7–8. Online verfügbar: PDF, 144Kb
22. ↑ Physiker will Pi abschaffen. auf: Spiegel online. 28. Juni 2011, abgerufen am 29. Juni 2011.
23. ↑ Tauday / The Tau Manifesto, abgerufen am 16. April 2011. Bob Palais selbst schlug zunächst ein doppeltes π vor, siehe Homepage von Bob Palais an der University of Utah, abgerufen am 15. April 2011.

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