Irrationalität und Transzendenz

Die Zahl ${\displaystyle \pi }$ ist eine irrationale Zahl, also eine reelle, aber keine rationale Zahl. Das bedeutet, dass sie nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$, also nicht als Bruch ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$, dargestellt werden kann. Das wurde 1761 (oder 1767) von Johann Heinrich Lambert bewiesen.^{[13][A 2]}

Tatsächlich ist die Zahl ${\displaystyle \pi }$ sogar transzendent, was bedeutet, dass es kein Polynom mit rationalen Koeffizienten gibt, das ${\displaystyle \pi }$ als eine Nullstelle hat. Das wurde erstmals von Ferdinand von Lindemann 1882 bewiesen. Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist, ${\displaystyle \pi }$ nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken, und dass die exakte Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist.

Die ersten 100 Nachkommastellen

Da ${\displaystyle \pi }$ eine irrationale Zahl ist, lässt sich ihre Darstellung in keinem Stellenwertsystem vollständig angeben: Die Darstellung ist stets unendlich lang und nicht periodisch. Bei den ersten 100 Nachkommastellen in der Dezimalbruchentwicklung^[14]

${\displaystyle \pi =3{,}141\;592\;653\;589\;793\;238\;462\;643\;383\;279\;502\;884\;197\;169\;399\;375\;105\;820\;974\;944\;592\;307\;816\;406\;286\;208\;998\;628\;034\;825\;342\;117\;067\;9\ldots }$

ist keine Regelmäßigkeit ersichtlich. Auch weitere Nachkommastellen genügen statistischen Tests auf Zufälligkeit (siehe auch Frage der Normalität).^[15]

Darstellung zu anderen Zahlenbasen

Im Binärsystem ausgedrückt ist

${\displaystyle \pi =11.0010\;0100\;0011\;1111\;0110\;1010\;1000\;1000\;1000\;0101\;1010\;0011\;0000\;1000\;1101\;0011\;0001\;0011\;0001\;1001\;1000\;1010\;0010\;1110\dots }$ (Siehe OEIS-Folge OEIS:A004601).

In OEIS sind auch die Zahlen der Darstellungen zu den Basen 3 bis 16 und 60 angegeben.

Kettenbruchentwicklung

Eine alternative Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Da ${\displaystyle \pi }$ irrational ist, ist diese Darstellung unendlich lang. Der reguläre Kettenbruch^{[A 3]} der Kreiszahl beginnt so:

${\displaystyle \pi =3+{\frac {1}{7+{\frac {1}{15+{\frac {1}{1+{\frac {1}{292+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}$

Eine mit der regulären Kettenbruchentwicklung verwandte Entwicklung von ${\displaystyle \pi }$ ist diejenige als negativ-regelmäßiger Kettenbruch^{[A 4]} (Folge A280135 in OEIS):

${\displaystyle \pi =4-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{17-{\frac {1}{294-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}$

Anders als bei der Eulerschen Zahl ${\displaystyle e}$ konnten bislang bei der regulären Kettenbruchdarstellung von ${\displaystyle \pi }$ keine Muster oder Gesetzmäßigkeiten festgestellt werden.^[16]

Jedoch gibt es nicht-reguläre Kettenbruchdarstellungen von ${\displaystyle \pi }$, bei denen einfache Gesetzmäßigkeiten erkennbar sind:^[17]

${\displaystyle \pi =3+{\frac {1^{2}}{\scriptstyle 6+{\frac {3^{2}}{6+{\frac {5^{2}}{6+{\frac {7^{2}}{6+{\frac {9^{2}}{6+{\frac {11^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}}}={\frac {4}{1+{\frac {1^{2}}{2+{\frac {3^{2}}{2+{\frac {5^{2}}{2+{\frac {7^{2}}{2+{\frac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\frac {4}{\scriptstyle 1+{\frac {1^{2}}{3+{\frac {2^{2}}{5+{\frac {3^{2}}{7+{\frac {4^{2}}{9+{\frac {5^{2}}{11+\ddots }}}}}}}}}}}}}$

Näherungsbrüche der Kreiszahl

Aus ihrer regulären Kettenbruchdarstellung ergeben sich als beste Näherungsbrüche der Kreiszahl (Zähler Folge A002485 in OEIS bzw. Nenner Folge A002486 in OEIS) die folgenden:^[18][19]

Schritt	Kettenbruch	Näherungsbruch	Dezimaldarstellung (falsche Ziffern in rot)	Absoluter Fehler bei der Umfangsberechnung eines Kreises von 1000 km Durchmesser
${\displaystyle {\frac {p_{0}}{q_{0}}}}$	${\displaystyle [3]}$	${\displaystyle {\frac {3}{1}}}$	${\displaystyle 3{,}{\color {red}0}}$	−141,59 km
${\displaystyle {\frac {p_{1}}{q_{1}}}}$	${\displaystyle [3;7]}$	${\displaystyle {\frac {22}{7}}}$	${\displaystyle 3{,}14{\color {red}2\;85\;\ldots }}$	+1,26 km
${\displaystyle {\frac {p_{2}}{q_{2}}}}$	${\displaystyle [3;7,15]}$	${\displaystyle {\frac {333}{106}}}$	${\displaystyle 3{,}141\;5{\color {red}09\;4\ldots }}$	−83,22 m
${\displaystyle {\frac {p_{3}}{q_{3}}}}$	${\displaystyle [3;7,15,1]}$	${\displaystyle {\frac {355}{113}}}$	${\displaystyle 3{,}141\;592\;{\color {red}920\;\ldots }}$	+26,68 cm
${\displaystyle {\frac {p_{4}}{q_{4}}}}$	${\displaystyle [3;7,15,1,292]}$	${\displaystyle {\frac {103993}{33102}}}$	${\displaystyle 3{,}141\;592\;653\;{\color {red}011\;\ldots }}$	−0,58 mm
${\displaystyle {\frac {p_{5}}{q_{5}}}}$	${\displaystyle [3;7,15,1,292,1]}$	${\displaystyle {\frac {104348}{33215}}}$	${\displaystyle 3{,}141\;592\;653\;{\color {red}921\;\ldots }}$	+0,33 mm
${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle {\frac {p_{10}}{q_{10}}}}$	${\displaystyle [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3]}$	${\displaystyle {\frac {4272943}{1360120}}}$	${\displaystyle 3{,}141\;592\;653\;589\;{\color {red}389\;\ldots }}$	−0,4 µm (Wellenlänge blauen Lichts)
${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle {\frac {p_{20}}{q_{20}}}}$	${\displaystyle [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1]}$	${\displaystyle {\frac {21053343141}{6701487259}}}$	${\displaystyle 3{,}141\;592\;653\;589\;793\;238\;462\;{\color {red}381\;\ldots }}$	−2,6·10−16 m (kleiner als ein Proton)

Der absolute Fehler in der Praxis wird dabei schnell vernachlässigbar: Mit der 20. Näherung ${\displaystyle \left({\tfrac {p_{20}}{q_{20}}}\right)}$ stimmen 21 Nachkommastellen mit denen der Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ überein. Mit diesem Näherungsbruch wäre erst der Umfang eines Kreises von etwa 3,8 Billiarden km Durchmesser (das entspricht der Entfernung zum Polarstern) um einen Millimeter falsch (nämlich zu kurz) berechnet.

Sphärische Geometrie

In der Kugelgeometrie ist der Begriff Kreiszahl nicht gebräuchlich, da das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser in diesem Fall nicht mehr für alle Kreise gleich, sondern von deren Größe abhängig ist. Für einen Kreis mit einem sehr viel kleineren Durchmesser als dem der Kugel, auf deren Oberfläche er „gezeichnet“ wird (etwa ein Kreis mit 1 m Durchmesser auf der kugeligen Erdoberfläche), ist die Krümmung der Kugelfläche gegenüber der euklidischen Kreisebene meist vernachlässigbar klein, bei größeren Kreisen oder hoher Präzisionsanforderung muss sie berücksichtigt werden.

Normalität

Es ist noch offen, ob ${\displaystyle \pi }$ eine normale Zahl ist, das heißt, ob ihre binäre (oder jede andere n-äre) Zahlendarstellung jede mögliche endliche Binär- bzw. sonstige Zifferngruppe gleichermaßen enthält – so wie es die Statistik erwarten ließe, wenn man eine Zahl vollkommen nach dem Zufall erzeugte. Umgekehrt wäre es beispielsweise auch denkbar, dass irgendwann nur noch zwei Ziffern in unregelmäßiger Folge auftreten.^[20]

Wenn ${\displaystyle \pi }$ eine normale Zahl ist, dann enthält ihre (nur theoretisch mögliche) vollständige Stellenwertdarstellung alle nur denkbaren Muster, zum Beispiel sämtliche bisher und zukünftig geschriebenen Bücher in codierter Binärform (analog zum Infinite-Monkey-Theorem).

Bailey und Crandal zeigten im Jahr 2000 mit der Bailey-Borwein-Plouffe-Formel, dass die Normalität von ${\displaystyle \pi }$ zur Basis 2 auf eine Vermutung der Chaostheorie reduziert werden kann.^{[A 5]}

Physiker der Purdue-Universität haben im Jahre 2005 die ersten 100 Millionen Dezimalstellen von ${\displaystyle \pi }$ auf ihre Zufälligkeit hin untersucht und mit kommerziellen Zufallszahlengeneratoren verglichen. Der Forscher Ephraim Fischbach und sein Mitarbeiter Shu-Ju Tu konnten dabei keinerlei verborgene Muster in der Zahl ${\displaystyle \pi }$ entdecken. Demnach sei nach Ansicht Fischbachs die Zahl ${\displaystyle \pi }$ tatsächlich eine gute Quelle für Zufälligkeit. Allerdings schnitten einige Zufallszahlengeneratoren noch besser als ${\displaystyle \pi }$ ab.

Erste Näherungen

Archimedes von Syrakus

Konstantes Verhältnis bei Flächen- wie Umfangsberechnung

Archimedes von Syrakus bewies, dass der Umfang eines Kreises sich zu seinem Durchmesser genauso verhält wie die Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius. Das jeweilige Verhältnis ergibt also in beiden Fällen die Kreiszahl. Für Archimedes und noch für viele Mathematiker nach ihm war unklar, ob die Berechnung von ${\displaystyle \pi }$ nicht doch irgendwann zum Abschluss käme, ob ${\displaystyle \pi }$ also eine rationale Zahl sei, was die jahrhundertelange Jagd auf die Zahl verständlich werden lässt. Zwar war den griechischen Philosophen mit der Irrationalität von ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ die Existenz derartiger Zahlen bekannt, dennoch hatte Archimedes keinen Grund, bei einem Kreis von vornherein eine rationale Darstellbarkeit der Flächenberechnung auszuschließen. Denn es gibt durchaus allseitig krummlinig begrenzte Flächen, die sich als rationale Zahl darstellen lassen, sogar von Kreisteilen eingeschlossene wie die Möndchen des Hippokrates.

Annäherung durch Vielecke

Archimedes versuchte wie auch andere Forscher, sich mit regelmäßigen Vielecken dem Kreis anzunähern und auf diese Weise Näherungen für ${\displaystyle \pi }$ zu gewinnen. Mit umbeschriebenen und einbeschriebenen Vielecken, beginnend bei Sechsecken, durch wiederholtes Verdoppeln der Eckenzahl bis zu 96-Ecken, berechnete er obere und untere Schranken für den Kreisumfang.^[23] Er kam zu der Abschätzung, dass das gesuchte Verhältnis etwas kleiner als ${\displaystyle 3+{\tfrac {10}{70}}}$ sein müsse, jedoch größer als ${\displaystyle 3+{\tfrac {10}{71}}}$:

${\displaystyle 3{,}1408450\approx 3+{\frac {10}{71}}<\pi <3+{\frac {10}{70}}\approx 3{,}1428571}$

Laut Heron besaß Archimedes eine noch genauere Abschätzung, die aber falsch überliefert ist:

${\displaystyle 3+{\frac {9552}{67441}}<\pi <3+{\frac {10835}{62351}}\qquad (3{,}1416349<\pi <3{,}1737743)}$

Wilbur Knorr korrigierte zu:^[24]

${\displaystyle 3+{\frac {8915}{62991}}<\pi <3+{\frac {9552}{67441}}\qquad (3{,}1415281<\pi <3{,}1416349)}$

4. bis 15. Jahrhundert

Wie in manchen anderen gesellschaftlichen und kulturellen Bereichen gab es auch in der Mathematik in den westlichen Kulturen eine sehr lange Zeit des Stillstandes nach Ende der Antike und während des Mittelalters. Fortschritte in der Annäherung an ${\displaystyle \pi }$ erzielten in dieser Zeit vor allem chinesische und persische Wissenschaftler.

Im dritten Jahrhundert bestimmte Liu Hui aus dem 192-Eck die Schranken 3,141024 und 3,142704 sowie später aus dem 3072-Eck den Näherungswert 3,1416.^[25]

Um 480 berechnete der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chongzhi (429–500) für die Kreiszahl ${\displaystyle 3{,}1415926<\pi <3{,}1415927}$, also die ersten 7 Dezimalstellen. Er kannte auch den fast genauso guten Näherungsbruch ${\displaystyle {\tfrac {355}{113}}}$ (das ist der dritte Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung von ${\displaystyle \pi }$), der in Europa erst im 16. Jahrhundert gefunden wurde (Adriaan Metius, deshalb auch Metius-Wert genannt). Im 14. Jahrhundert berechnete Zhao Youqin die Kreiszahl über ein 16384-Eck auf sechs Dezimalstellen genau.

In seinem 1424 abgeschlossenen Werk Abhandlung über den Kreis berechnete der persische Wissenschaftler Dschamschid Masʿud al-Kaschi mit einem 3×2²⁸-Eck ${\displaystyle 2\pi }$ bereits auf 16 Stellen genau.^[26]

16. bis 19. Jahrhundert

In Europa gelang es Ludolph van Ceulen 1596, die ersten 35 Dezimalstellen von ${\displaystyle \pi }$ zu berechnen. Angeblich opferte er 30 Jahre seines Lebens^[27] für diese Berechnung. Van Ceulen steuerte allerdings noch keine neuen Gedanken zur Berechnung bei. Er rechnete einfach nach der Methode des Archimedes weiter, aber während Archimedes beim 96-Eck aufhörte, setzte Ludolph die Rechnungen bis zum einbeschriebenen ${\displaystyle 2^{62}}$-Eck fort. Der Name Ludolphsche Zahl erinnert an seine Leistung.

Der französische Mathematiker François Viète variierte 1593 die Archimedische Exhaustionsmethode, indem er den Flächeninhalt eines Kreises durch eine Folge einbeschriebener ${\displaystyle 2^{n}}$-Ecke annäherte. Daraus leitete er als Erster eine geschlossene Formel für ${\displaystyle \pi }$ in Form eines unendlichen Produktes ab:

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \dots }$

Der englische Mathematiker John Wallis entwickelte 1655 das nach ihm benannte wallissche Produkt:

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \dots }$

Wallis zeigte 1655 diese Reihe Lord Brouncker, dem ersten Präsidenten der „Royal Society“, der die Gleichung als Kettenbruch wie folgt darstellte:

${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{\;\,\ddots }}}}}}}}}}}$

Allmählich wurden die Rechnungen komplizierter, Gottfried Wilhelm Leibniz steuerte 1682 folgende Reihendarstellung bei:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}\mp \dotsb }$

Siehe auch Kreiszahlberechnung nach Leibniz.

Diese war indischen Mathematikern bereits im 15. Jahrhundert bekannt. Leibniz entdeckte sie für die europäische Mathematik neu und bewies die Konvergenz dieser unendlichen Summe. Die obige Reihe ist wegen ${\displaystyle \arctan 1={\tfrac {\pi }{4}}}$ auch ein Spezialfall ( ${\displaystyle \theta =1}$) der Reihenentwicklung des Arkustangens, die der schottische Mathematiker James Gregory in den 1670er Jahren fand:

${\displaystyle \arctan \theta ={\frac {\theta ^{1}}{1}}-{\frac {\theta ^{3}}{3}}+{\frac {\theta ^{5}}{5}}-{\frac {\theta ^{7}}{7}}\pm \dotsb }$

Sie war in der folgenden Zeit Grundlage vieler Approximationen von ${\displaystyle \pi }$, die alle lineare Konvergenzgeschwindigkeit haben.

Im Jahr 1706 beschrieb William Jones in seinem Werk Synopsis palmariorum matheseos die von ihm entwickelt Reihe, mit der er 100 Nachkommastellen von ${\displaystyle \pi }$ bestimmte.

„Let ${\displaystyle \alpha =2{\sqrt {3}}}$. […] Then ${\displaystyle \alpha -{\frac {1}{3}}{\frac {3\alpha }{9}}+{\frac {1}{5}}{\frac {\alpha }{9}}-{\frac {1}{7}}{\frac {3\alpha }{9^{2}}}+{\frac {1}{9}}{\frac {\alpha }{9^{2}}}-{\frac {1}{11}}{\frac {3\alpha }{9^{3}}}+{\frac {1}{13}}{\frac {\alpha }{9^{3}}}}$, &c.“^[7]

Ebenfalls im Jahr 1706 berechnete John Machin mit seiner Formel gleichfalls die ersten 100 Dezimalstellen von ${\displaystyle \pi }$. Seine Gleichung

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$

lässt sich zusammen mit der taylorschen Reihenentwicklung der Arkustangensfunktion für schnelle Berechnungen verwenden. Diese Formel lässt sich im Reellen über das Additionstheorem des Arkustangens gewinnen, einfacher geht es durch Betrachtung des Argumentes der komplexen Zahl

${\displaystyle (5+\mathrm {i} )^{4}\cdot (239-\mathrm {i} )=114244+114244\;\mathrm {i} =(1+\mathrm {i} )\cdot 114244}$.

Im Laufe der Zeit wurden noch mehr Formeln dieser Art gefunden. Ein Beispiel stammt von Carl Størmer (1896):

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\,\arctan {\frac {1}{57}}+7\,\arctan {\frac {1}{239}}-12\,\arctan {\frac {1}{682}}+24\,\arctan {\frac {1}{12943}}}$,

was gleichbedeutend damit ist, dass Real- und Imaginärteil der Gaußschen Zahl

${\displaystyle (57+\mathrm {i} )^{44}\cdot (239+\mathrm {i} )^{7}\cdot (682-\mathrm {i} )^{12}\cdot (12943+\mathrm {i} )^{24}=(1+\mathrm {i} )\cdot n}$ mit ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$

gleich sind.^{[A 6]}

Leonhard Euler führte in seiner im Jahre 1748 erschienenen Introductio in Analysin Infinitorum im ersten Bande ${\displaystyle \pi }$ bereits auf 148 Stellen genau an. Von Euler entdeckte Formeln (siehe auch Riemannsche ζ-Funktion):

${\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\dotsb ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

${\displaystyle \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}},\quad \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}},\quad \dotsc }$

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{8}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}+\dotsb }$

${\displaystyle {\frac {\pi -3}{4}}={\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4}}-{\frac {1}{4\cdot 5\cdot 6}}+{\frac {1}{6\cdot 7\cdot 8}}\mp \dotsb }$

Irrationalität

Johann Heinrich Lambert bewies 1761/1767 die Irrationalität der Kreiszahl. Damit stand erstmalig fest, dass eine exakte oder abschließende Berechnung nicht möglich ist.

1770 publizierte Lambert einen Kettenbruch, der heute meist in der Form

${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1^{2}}{3+\textstyle {\frac {2^{2}}{5+\textstyle {\frac {3^{2}}{7+\textstyle {\frac {4^{2}}{9+\textstyle {\frac {5^{2}}{11+\textstyle {\frac {6^{2}}{\;\,\ddots }}}}}}}}}}}}}$

geschrieben wird. Bei der Berechnung der Kreiszahl liefert er pro Schritt im Mittel etwa 0,76555 Dezimalstellen, im Vergleich zu anderen Kettenbrüchen relativ viel.

Numerische Verfahren ab dem 20. Jahrhundert

Im 20. Jahrhundert wurden Iterationsverfahren entwickelt, die eine deutlich effizientere Berechnung „neuer“ Nachkommastellen von ${\displaystyle \pi }$ gestatten.

1914 fand der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan bei Untersuchungen von elliptischen Funktionen und Modulfunktionen die folgende Formel:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {\sqrt {8}}{9801}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(4n)!\cdot (1103+26390n)}{(n!)^{4}\cdot 396^{4n}}}}$

Die ersten Iterationen dieses Verfahrens liefern folgende Ergebnisse:

Iterationen	ergibt Ausdruck ( ${\displaystyle \pi \approx ...}$)	entspricht dezimal (falsche Ziffern in rot)
${\displaystyle n=0}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\cdot {\frac {9\;801}{4\;412}}}$	${\displaystyle 3{,}141\;592\;{\color {red}7\ldots }}$
${\displaystyle n=0\ldots 1}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\cdot {\frac {2\;510\;613\;731\;736}{1\;130\;173\;253\;125}}}$	${\displaystyle 3{,}141\;592\;653\;589\;793\;{\color {red}8\ldots }}$
${\displaystyle n=0\ldots 2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\cdot {\frac {2\;286\;635\;172\;367\;940\;241\;408}{1\;029\;347\;477\;390\;786\;609\;545}}}$	${\displaystyle 3{,}141\;592\;653\;589\;793\;238\;462\;64{\color {red}9\ldots }}$
${\displaystyle n=0\ldots 3}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\cdot {\frac {17\;252\;765\;328\;978\;109\;815\;564\;789\;153\;792}{7\;766\;473\;062\;254\;307\;011\;793\;347\;201\;855}}}$	${\displaystyle 3{,}141\;592\;653\;589\;793\;238\;462\;643\;383\;279\;5{\color {red}5\ldots }}$

Es wird also die Wurzel aus 2 mit immer „längeren“ Näherungsbrüchen multipliziert. Pro Iteration liefert dieses Verfahren etwa 8 weitere korrekte Nachkommastellen.

Diese hocheffizienten Verfahren wurden erst mit der Entwicklung von Computern mit Langzahlarithmetik interessant, durch die der reine Rechenaufwand immer weniger ins Gewicht fiel, so dass komplizierte Iterationsverfahren mit quadratischer oder noch höherer Konvergenz praktisch durchführbar wurden.^[28]

BBP-Reihen

1995 entdeckte Simon Plouffe zusammen mit Peter Borwein und David Harold Bailey eine neuartige Reihendarstellung für ${\displaystyle \pi }$:

${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\dfrac {1}{16^{k}}}\left({\dfrac {4}{8k+1}}-{\dfrac {2}{8k+4}}-{\dfrac {1}{8k+5}}-{\dfrac {1}{8k+6}}\right)}$

Diese Reihe (auch Bailey-Borwein-Plouffe-Formel genannt) ermöglicht es, die ${\displaystyle n}$-te Stelle einer binären, hexadezimalen oder beliebigen Darstellung zu einer Zweierpotenz-Basis von ${\displaystyle \pi }$ zu berechnen, ohne dass zuvor die ${\displaystyle n-1}$ vorherigen Ziffernstellen berechnet werden müssen.

Später wurden für ${\displaystyle \pi }$ weitere BBP-Reihen gefunden:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}+{\frac {4}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+7}}\right)\\&={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {8}{8k+1}}+{\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}-{\frac {2}{8k+5}}-{\frac {2}{8k+6}}-{\frac {1}{8k+7}}\right)\\&=\;\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{4^{k}}}\left({\frac {2}{4k+1}}+{\frac {2}{4k+2}}+{\frac {1}{4k+3}}\right)\end{aligned}}}$

Tröpfelalgorithmus

Eng verwandt mit den Verfahren zur Ziffernextraktion sind Tröpfelalgorithmen, bei denen die Ziffern eine nach der anderen berechnet werden. Den ersten solchen Algorithmus zur Berechnung von ${\displaystyle \pi }$ fand Stanley Rabinowitz.^[29] Seitdem sind weitere Tröpfelalgorithmen zur Berechnung von ${\displaystyle \pi }$ gefunden worden.

Methode von Gauß, Brent und Salamin

Die Berechnung der Bogenlänge einer Lemniskate über elliptische Integrale und deren Approximation über das Arithmetisch-geometrische Mittel nach Gauß liefert das schnell konvergierende Verfahren von Salamin und Brent zur numerischen Berechnung.^[30] Grundlage hierfür ist die folgende zuerst von Gauß vermutete Darstellung von ${\displaystyle \pi }$:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=\mathrm {AGM} (1,{\sqrt {2}})\int _{0}^{1}{\frac {2\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{4}}}}}$

Letzteres Integral ist auch als lemniskatische Konstante bekannt. Es gilt dann

${\displaystyle \pi ={\frac {4\mathrm {AGM} (1,{\frac {1}{\sqrt {2}}})^{2}}{1-\sum _{j=1}^{\infty }2^{j+1}c_{j}^{2}}}}$,

wobei sich das arithmetisch-geometrische Mittel über die Iteration

${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+b_{n-1}}{2}},\qquad b_{n}={\sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}}}$

mit zwei initialen Argumenten ${\displaystyle a_{0},b_{0}>0}$ berechnet und ${\displaystyle c_{n}^{2}=a_{n}^{2}-b_{n}^{2}}$ gesetzt wird.^[31]

Berechnung mittels Flächenformel

Diese Berechnung nutzt den Zusammenhang aus, dass ${\displaystyle \pi }$ in der Flächenformel des Kreises enthalten ist, dagegen nicht in der Flächenformel des umschreibenden Quadrats.

Die Formel für den Flächeninhalt des Kreises mit Radius ${\displaystyle r}$ lautet

${\displaystyle A_{K}=\pi r^{2}}$,

der Flächeninhalt des Quadrates mit Seitenlänge ${\displaystyle 2r}$ errechnet sich als

${\displaystyle A_{Q}=(2r)^{2}}$.

Für das Verhältnis der Flächeninhalte eines Kreises und seines umschreibenden Quadrats ergibt sich also

${\displaystyle {\frac {A_{K}}{A_{Q}}}={\frac {\pi r^{2}}{(2r)^{2}}}={\frac {\pi }{4}}}$.

Damit lässt sich ${\displaystyle \pi }$ als das Vierfache dieses Verhältnisses schreiben:

${\displaystyle \pi =4\,{\frac {A_{K}}{A_{Q}}}}$.

Programm

Als Beispiel ist ein Algorithmus angegeben, in dem die Flächenformel demonstriert wird, mit der ${\displaystyle \pi }$ näherungsweise berechnet werden kann.

Man legt dazu über das Quadrat ein Gitter und berechnet für jeden einzelnen Gitterpunkt, ob er auch im Kreis liegt. Das Verhältnis der Gitterpunkte innerhalb des Kreises zu den Gitterpunkten innerhalb des Quadrats wird mit 4 multipliziert. Die Genauigkeit der damit gewonnenen Näherung von ${\displaystyle \pi }$ hängt von der Gitterweite ab und wird mittels ${\displaystyle r}$ kontrolliert. Mit ${\displaystyle r=10}$ erhält man z. B. 3,16 und mit ${\displaystyle r=100}$ bereits 3,1428. Für das Ergebnis 3,14159 ist allerdings schon ${\displaystyle r=10000}$ zu setzen, was sich durch den zweidimensionalen Lösungsansatz auf die Zahl der notwendigen Rechenvorgänge in quadratischer Form niederschlägt.

 r = 10000
 kreistreffer = 0
 quadrattreffer = r ^ 2
 for i = 0 to r - 1
   x = i + 0.5
   for j = 0 to r - 1
     y = j + 0.5
     if x ^ 2 + y ^ 2 <= r ^ 2 then
       kreistreffer = kreistreffer + 1
 return 4 * kreistreffer / quadrattreffer

Anmerkung: Das obige Programm ist nicht für die schnellstmögliche Ausführung auf einem realen Computersystem optimiert, sondern aus Gründen der Verständlichkeit so klar wie möglich formuliert worden. Weiterhin ist die Kreisfläche insofern unpräzise bestimmt, als nicht die Koordinaten der Mitte für die jeweiligen Flächeneinheiten benutzt werden, sondern der Flächenrand. Durch die Betrachtung eines Vollkreises, dessen Fläche für die erste und letzte Zeile gegen Null geht, ist die Abweichung für großes ${\displaystyle r}$ marginal.

Die Konstante Pi ist für den Alltagsgebrauch in Computerprogrammen typischerweise bereits vorberechnet vorhanden, üblicherweise ist der zugehörige Wert dabei mit etwas mehr Stellen angegeben, als ihn die leistungsfähigsten Datentypen dieser Computersprache aufnehmen können.

Alternatives Programm

Dieses Programm summiert die Fläche des Kreises aus im Verhältnis zum Radius sehr schmalen Streifen. Es verwendet die Gleichungen
${\displaystyle y=\pm {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$ und ${\displaystyle \pi ={\frac {A_{K}}{r^{2}}}}$ sowie ${\displaystyle \pi =\int _{-1}^{1}2{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x}$.

n := 1000000 // Halbe Anzahl der Streifen
s := 0       // Summe der Flächeninhalte

for x := -1 to +1 step 1/n:
    // Flächeninhalt des Streifens an der Stelle x hinzuaddieren.
    // Die Höhe des Streifens wird exakt in der Mitte des Streifens gemessen.
    // Die 2 steht für die obere plus die untere Hälfte.
    // Der Faktor 1/n ist die Breite des Streifens.
    s += 2 * sqrt(1 - x*x) * 1/n

pi := s

Die x-Koordinaten der untersuchten Fläche gehen von ${\displaystyle -1}$ bis ${\displaystyle +1}$. Da Kreise rund sind und dieser Kreis sein Zentrum auf den Koordinaten ${\displaystyle 0,0}$ hat, liegen die y-Koordinaten ebenfalls im Bereich von ${\displaystyle -1}$ bis ${\displaystyle +1}$. Das Programm teilt die zu untersuchende Fläche in 2 Millionen schmale Streifen auf. Jeder dieser Streifen hat dieselbe Breite, nämlich ${\displaystyle 1/n}$. Die Oberkante eines jeden Streifens ist jedoch unterschiedlich und ergibt sich aus der obigen Formel zu ${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$, im Code wird das als sqrt(1 - x*x) geschrieben. Die Höhe eines jeden Streifens geht von der Oberkante bis zur Unterkante. Da die beiden Kanten bei Kreisen gleich weit von der Mittellinie entfernt sind, ist die Höhe genau das Doppelte der Kantenlänge, daher die 2 im Code.

Nach dem Durchlaufen der for-Schleife befindet sich in der Variablen s der Flächeninhalt des Kreises mit Radius 1. Um aus dieser Zahl den Wert von Pi zu ermitteln, muss diese Zahl gemäß der Formel ${\displaystyle A=\pi \cdot r^{2}}$ noch durch ${\displaystyle r^{2}}$ geteilt werden. In diesem Beispiel ist ${\displaystyle r=1}$, daher ist das im Programmcode weggelassen.

Statistische Bestimmung

Berechnung mit einem Monte-Carlo-Algorithmus

Eine Methode zur Bestimmung von ${\displaystyle \pi }$ ist die statistische Methode. Für die Berechnung lässt man zufällige Punkte auf ein Quadrat „regnen“ und berechnet, ob sie innerhalb oder außerhalb eines einbeschriebenen Kreises liegen. Der Anteil der innen liegenden Punkte ist approximiert ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$.

Diese Methode ist ein Monte-Carlo-Algorithmus; die Genauigkeit der nach einer festen Schrittzahl erreichten Näherung von ${\displaystyle \pi }$ lässt sich daher nur mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit angeben. Durch das Gesetz der großen Zahlen steigt jedoch im Mittel die Genauigkeit mit der Schrittzahl.

Der Algorithmus für diese Bestimmung ist:

function approximiere_pi(tropfenzahl)

    innerhalb := 0   // Zählt die Tropfen innerhalb des Kreises

    // So oft wiederholen, wie es Tropfen gibt:
    for i := 1 to tropfenzahl do

        // Zufälligen Tropfen im Quadrat [0,0] bis (1,1) erzeugen
        x := random(0.0 ..< 1.0)
        y := random(0.0 ..< 1.0)

        // Wenn der Tropfen innerhalb des Kreises liegt …
        if x * x + y * y <= 1.0
            innerhalb++   // Zähler erhöhen

    return 4.0 * innerhalb / tropfenzahl

Die 4.0 im Code ergibt sich daraus, dass in der Tröpfchensimulation nur die Anzahl für einen Viertelkreis berechnet wurde. Um daraus die (hochgerechnete) Anzahl für einen ganzen Kreis zu bekommen, muss die berechnete Anzahl noch mit 4 multipliziert werden. Da die Zahl Pi das Verhältnis zwischen der Kreisfläche und dem Quadrat des Radius ist, muss die so erhaltene Zahl noch durch das Quadrat des Radius geteilt werden. Der Radius ist in diesem Fall 1, daher kann das Teilen weggelassen werden.

Näherungskonstruktionen

Zur geometrischen Konstruktion der Zahl ${\displaystyle \pi }$ gibt es die Näherungskonstruktion von Kochański aus dem Jahr 1685, mit der man einen Näherungswert der Kreiszahl mit einem Fehler von weniger als 0,002 Prozent bestimmen kann.^[56] Es handelt sich also um eine Näherungskonstruktion für die (exakt nicht mögliche) Quadratur des Kreises.

143 Jahre später, nämlich 1828, veröffentlichte C. G. Specht seine Zweite Annäherungs-Construction des Kreis-Umfanges im Journal für die reine und angewandte Mathematik. Für die Annäherung fand er den Wert^[57]

${\displaystyle 5\cdot {\sqrt {\frac {439}{278}}}=6{,}28318528\ldots }$

Halbiert man diesen Wert, ergibt sich eine Dezimalzahl, bei der sieben Nachkommastellen mit denen der Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ übereinstimmen:

${\displaystyle 3{,}141\;592\;6{\color {red}40\;1\ldots }\;\approx \pi }$

Bei einem Kreis mit Radius ${\displaystyle r=1}$ ist dieser Wert auch gleich dem Flächeninhalt des Dreiecks ${\displaystyle AEM}$, mit anderen Worten, der Flächeninhalt des Dreiecks ist nahezu gleich dem des Kreises.

Beachtenswert ist, erst im Jahr 1914, d. h. 86 Jahre später, verbesserte Srinivasa Ramanujan – in seiner zweiten Quadratur des Kreises – die Genauigkeit des nahezu flächengleichen Quadrats um eine auf acht gemeinsame Nachkommastellen mit der Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$.

Eine zeichnerische Darstellung wird in dem oben angeführten Journal nicht erfasst; hierzu die Anmerkung des Herausgebers:

Die nachfolgende Beschreibung der nebenstehenden Konstruktion ist eine Anlehnung an das Original der Konstruktionsbeschreibung.^[57]

Zeichne zuerst den Einheitskreis um den Punkt ${\displaystyle A}$ und dann ab ${\displaystyle A}$ eine gerade Linie; dabei ergibt sich ${\displaystyle a}$. Anschließend wird in ${\displaystyle A}$ eine Senkrechte zur Geraden errichtet; sie erzeugt ${\displaystyle M}$. Es folgen auf der Geraden ab ${\displaystyle a}$ hintereinander vier Halbkreise mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {Aa}}}$ jeweils um den sich neu ergebenden Schnittpunkt, dabei entstehen die Punkte ${\displaystyle m,p,q}$ und ${\displaystyle B}$. Nach der Dreiteilung der Strecken ${\displaystyle {\overline {mp}}}$ in ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle o}$ sowie ${\displaystyle {\overline {qB}}}$ in ${\displaystyle r}$ und ${\displaystyle s}$, wird nun der Punkt ${\displaystyle M}$ mit ${\displaystyle m}$ verbunden. Die dabei entstandene Strecke ${\displaystyle {\overline {Mm}}}$ auf die Senkrechte ab ${\displaystyle A}$ abgetragen ergibt ${\displaystyle R}$. Verbinde auch den Punkt ${\displaystyle R}$ mit ${\displaystyle r}$ und übertrage die neue Strecke ${\displaystyle {\overline {Rr}}}$ ab ${\displaystyle A}$ auf die Senkrechte; es ergibt sich ${\displaystyle C}$. Es geht weiter mit den Verbindungen der Punkte ${\displaystyle C}$ mit ${\displaystyle o}$ sowie ${\displaystyle C}$ mit ${\displaystyle B}$. Beim Übertragen der Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ auf die Strecke ${\displaystyle {\overline {Co}}}$ ab ${\displaystyle C}$ ergibt sich ${\displaystyle c}$. Abschließend zeichne ab ${\displaystyle c}$ eine Parallele zur Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$, die ${\displaystyle {\overline {CB}}}$ in ${\displaystyle d}$ schneidet. Die somit entstandene Strecke ${\displaystyle {\overline {Cd}}}$ entspricht annähernd dem Wert ${\displaystyle 2\pi }$.

Die Annäherung an die Kreiszahl ${\displaystyle \pi ={\tfrac {U}{d}}}$ kann z. B. auf folgende Art und Weise verdeutlicht werden:

Wäre der Durchmesser ${\displaystyle d}$ eines Kreises ${\displaystyle 200\;\mathrm {km} }$, würde sein angenäherter Umfang ${\displaystyle U=d\pi }$ nur um ca.  ${\displaystyle 2{,}7\;\mathrm {mm} }$ kürzer als sein theoretischer Wert sein.

Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

Die nebenstehende Darstellung zeigt die Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ als Strecke, erstellt mit Hilfe der Quadratrix des Hippias.

Es beginnt mit einer Geraden ab dem Punkt ${\displaystyle A}$ und einer Senkrechten auf diese Gerade durch ${\displaystyle A}$. Anschließend wird der Halbkreis mit dem Radius ${\displaystyle r=1}$ um ${\displaystyle A}$ gezogen; dabei ergeben sich die Schnittpunkte ${\displaystyle B,D}$ und ${\displaystyle E}$. Nun konstruiert man das Quadrat ${\displaystyle ABCD}$ mit der Seitenlänge 1. Es folgt die Konstruktion der Quadratrix, ohne „Lücke“ auf der x-Achse, mit der Parameterkurve ${\displaystyle \gamma \colon (-\pi ,\pi )\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$:^[58][59]

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}}$

mit

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&={\begin{cases}{\frac {2}{\pi }}t\cot(t)\,&,t\in (-\pi ,\pi )\setminus \{0\}\\{\frac {2}{\pi }}\,&,t=0\end{cases}}\\y(t)&={\frac {2}{\pi }}t\end{aligned}}}$

Die Quadratrix schneidet nach dem Satz des Dinostratos die Seite ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ihres zugehörigen Quadrates im Punkt ${\displaystyle F}$ und generiert damit auf der Geraden, nun als Zahlengerade genutzt, den Wert ${\displaystyle {\tfrac {2}{\pi }}}$. Das Errichten der Senkrechten auf die Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ab ${\displaystyle {\tfrac {2}{\pi }}}$ bis zum Halbkreis ergibt den Schnittpunkt ${\displaystyle G}$. Nach der Verlängerung der Strecke ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ über ${\displaystyle C}$ hinaus und dem Zeichnen einer geraden Linie ab ${\displaystyle A}$ durch ${\displaystyle G}$ bis zur Verlängerung ergibt sich der Schnittpunkt ${\displaystyle H}$. Eine Möglichkeit u. a. ist nun, die Länge der Strecke ${\displaystyle {\overline {AH}}}$ mit Hilfe des Strahlensatzes zu bestimmen. In der Zeichnung ist ersichtlich, dass ${\displaystyle {\tfrac {2}{\pi }}}$ der Strecke ${\displaystyle {\overline {AF}}}$ entspricht. Infolgedessen sind nach dem ersten Strahlensatz die Verhältnisse der Abschnitte

${\displaystyle |AF|:|AB|=|AG|:|AH|}$,

umgeformt und die entsprechenden Werte eingesetzt ergibt sich

${\displaystyle |AH|={\frac {\frac {1}{1}}{\frac {2}{\pi }}}\cdot 1={\frac {\pi }{2}}}$.

Nun wird der Kreisbogen mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {AH}}}$ um ${\displaystyle A}$ bis auf die Zahlengerade gezogen; es entsteht der Schnittpunkt ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$. Der abschließende Thaleskreis über ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$ ab dem Punkt ${\displaystyle A}$ ergibt somit exakt die Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$.

Archimedische Spirale als zusätzliches Hilfsmittel

Eine sehr einfache Konstruktion der Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ zeigt das nebenstehende Bild, erzeugt mithilfe der archimedischen Spirale.

Parameterdarstellung einer archimedischen Spirale:

${\displaystyle x=a(\varphi )\cos \varphi ,\;\;y=a(\varphi )\sin \varphi }$

Nach dem Einzeichnen der ${\displaystyle x}$- und ${\displaystyle y}$-Achse eines kartesischen Koordinatensystems erzeugt man im Koordinatenursprung ${\displaystyle O}$ eine archimedische Spirale mit der Parameterkurve:

${\displaystyle f:{\begin{aligned}x=2\varphi \cos(\varphi )\\y=2\varphi \sin(\varphi )\end{aligned}}{\Biggr \}}0\leq \varphi \leq 2\pi }$,

mit ${\displaystyle a=2}$ wird der Drehwinkel der Spirale ${\displaystyle \varphi =\pi .}$^[60]

Die Spirale schneidet die ${\displaystyle y}$-Achse in ${\displaystyle B}$ und liefert somit bereits nach einer Vierteldrehung ${\displaystyle {\overline {OB}}=\pi .}$

Der auf die ${\displaystyle y}$-Achse projizierte Halbkreis mit Radius ${\displaystyle r=1}$ sowie die Strecke ${\displaystyle {\overline {OC}}=\pi }$ (grüne Linien) dienen lediglich der Verdeutlichung des Ergebnisses.

Formeln, die π enthalten

Formeln der Analysis

Im Bereich der Analysis spielt ${\displaystyle \pi }$ ebenfalls in vielen Zusammenhängen eine Rolle, zum Beispiel bei

• der Integraldarstellung ${\displaystyle \pi =\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{1+x^{2}}}=2\cdot \int _{-1}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{1+x^{2}}}}$, die Karl Weierstraß 1841 nutzte, um ${\displaystyle \pi }$ zu definieren,^[64]
• der unendlichen Reihe: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ (Euler, siehe auch Riemannsche Zetafunktion),
• der gaußschen Normalverteilung: ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\mathrm {d} x={\sqrt {\pi }}}$ oder in anderer Darstellung: ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-|x|^{2}}\mathrm {d} x=\pi }$,
• der Stirling-Formel als Näherung der Fakultät für große ${\displaystyle n}$: ${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$,
• der Fourier-Transformation: ${\displaystyle F(\omega )={\mathcal {F}}\{f\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t}$.

Formeln der Funktionentheorie

Wie für alle Teilgebiete der Analysis ist auch für die Funktionentheorie (und darüber hinaus für die gesamte komplexe Analysis) die Kreiszahl von grundlegender Bedeutung. Als herausragende Beispiele sind hier

• die Euler-Identität ${\displaystyle e^{\mathrm {i} \pi }+1=0}$^{[A 7]}

zu nennen sowie

• die Integralformel von Cauchy ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta }$.^[65][66]

Darüber hinaus wird die Bedeutung der Kreiszahl ebenfalls augenfällig in den Formeln zur Partialbruchzerlegung der komplexwertigen trigonometrischen Funktionen, die im Zusammenhang mit dem Satz von Mittag-Leffler stehen. Hier sind vor allem

• die Partialbruchzerlegung des Kotangens:^{[67][68][69][70]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi \cot(\pi z)&=\sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{\frac {1}{z+n}}\\&={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{z-n}}+{\frac {1}{z+n}}\right)\\&={\frac {1}{z}}+2z\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}-n^{2}}}\\&=z\cdot \sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{\frac {1}{z^{2}-n^{2}}}\quad (z\in {\mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} })\\\end{aligned}}}$

zu erwähnen sowie die daraus – neben weiteren! – zu gewinnenden

• Partialbruchzerlegungen zu Sinus und Kosinus:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}\right)^{2}&=\sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{\frac {1}{(z-n)^{2}}}\quad (z\in {\mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} })\\\left({\frac {\pi }{\cos(\pi z)}}\right)^{2}&=\sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{\frac {1}{(z-{\tfrac {2n-1}{2}})^{2}}}\quad \left(z\in \mathbb {C} \setminus \left\{{\frac {2n-1}{2}}\colon n\in \mathbb {Z} \right\}\right)\\\end{aligned}}}$

Die obige Partialbruchreihe zum Sinus liefert dann durch Einsetzen von ${\displaystyle z={\frac {1}{2}}}$ die bekannte Reihendarstellung^[71]

${\displaystyle {\frac {{\pi }^{2}}{8}}=1+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{25}}+{\frac {1}{49}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}}$,

die ihrerseits direkt zu der eulerschen Reihendarstellung

${\displaystyle {\frac {{\pi }^{2}}{6}}=1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$

führt.

Neben diesen von den Partialbruchreihen herrührenden π-Formeln kennt die Funktionentheorie noch eine große Anzahl weiterer davon, die statt der Darstellung mit unendlichen Reihen eine Darstellung mittels unendlicher Produkte aufweisen. Viele von ihnen gehen auf das Werk von Leonhard Euler zurück (s. u.).