Lineare Unabhängigkeit

Lineare Gleichungssysteme

In einer Linearkombination sind die Koeffizienten eindeutig bestimmt, wenn die Vektoren ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dotsc ,\mathbf {v} _{n}}$ linear unabhängig sind. Dies kann zur Feststellung der Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen benutzt werden. Das lineare Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Spaltenvektoren der Koeffizientenmatrix linear unabhängig sind.

Die Überprüfung, ob zum Beispiel drei Vektoren (hier: ${\displaystyle \mathbf {u} }$ , ${\displaystyle \mathbf {v} }$ und ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ) aus ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ linear unabhängig sind, entspricht dem Lösen eines linearen Gleichungssystems. Dazu wird aus

${\displaystyle a_{1}\,\mathbf {u} +a_{2}\,\mathbf {v} +a_{3}\,\mathbf {w} =\mathbf {0} }$

ein homogenes lineares Gleichungssystem gebildet:

${\displaystyle a_{1}\,u_{x}+a_{2}\,v_{x}+a_{3}\,w_{x}=0}$

${\displaystyle a_{1}\,u_{y}+a_{2}\,v_{y}+a_{3}\,w_{y}=0}$

${\displaystyle a_{1}\,u_{z}+a_{2}\,v_{z}+a_{3}\,w_{z}=0}$

und mittels des gaußschen Eliminationsverfahrens nach ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}}$ gelöst. Gibt es nur eine einzige Lösung, nämlich ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=a_{3}=0}$ , dann sind die Vektoren linear unabhängig. Existieren weitere Lösungen, sind die Vektoren linear abhängig.

Basen

Wichtig ist das Konzept der linearen Unabhängigkeit in Bezug auf eine Basis eines Vektorraums. Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Basen erlauben es, in beliebigen Vektorräumen mit Koordinaten zu rechnen.

Einzelner Vektor

Der Vektor ${\displaystyle \mathbf {v} }$ sei ein Element des Vektorraums ${\displaystyle V}$ über ${\displaystyle K}$ . Dann ist der einzelne Vektor ${\displaystyle \mathbf {v} }$ für sich genau dann linear unabhängig, wenn gilt, dass ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$ (d. h. ungleich dem Nullvektor ist).

Denn aus der Definition des Vektorraums folgt, dass wenn

${\displaystyle a\,\mathbf {v} =0}$ mit ${\displaystyle a\in K}$ , ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$

nur ${\displaystyle a=0}$ oder ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} }$ sein kann!

Vektoren in der Ebene

Die Vektoren ${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}}}$ sind in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ linear unabhängig.

Beweis: Für ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ gelte

${\displaystyle a\,\mathbf {u} +b\,\mathbf {v} =\mathbf {0} ,}$

d. h.

${\displaystyle a\,{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+b\,{\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$

Dann gilt

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a-3b\\a+2b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}},}$

also

${\displaystyle a-3b=0\ \wedge \ a+2b=0.}$

Dieses Gleichungssystem ist nur für die Lösung ${\displaystyle a=0}$ , ${\displaystyle b=0}$ (die sogenannte triviale Lösung) erfüllt; d. h. ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle v}$ sind linear unabhängig.

Standardbasis im n-dimensionalen Raum

Im Vektorraum ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ betrachte folgende Elemente (die natürliche oder Standardbasis von ${\displaystyle V}$ ):

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(1,0,0,\dots ,0)}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}=(0,1,0,\dots ,0)}$

${\displaystyle \dots }$

${\displaystyle \mathbf {e} _{n}=(0,0,0,\dots ,1)}$

Dann ist die Vektorfamilie ${\displaystyle (\mathbf {e} _{i})_{i\in I}}$ mit ${\displaystyle I=\{1,2,\dots ,n\}}$ linear unabhängig.

Beweis:    Für ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R} }$ gelte

${\displaystyle a_{1}\,\mathbf {e} _{1}+a_{2}\,\mathbf {e} _{2}+\dotsb +a_{n}\,\mathbf {e} _{n}=\mathbf {0} .}$

Dann gilt aber auch

${\displaystyle a_{1}\,\mathbf {e} _{1}+a_{2}\,\mathbf {e} _{2}+\dots +a_{n}\,\mathbf {e} _{n}=(a_{1},a_{2},\ \dots ,a_{n})=\mathbf {0} ,}$

und daraus folgt, dass ${\displaystyle a_{i}=0}$ für alle ${\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}}$ .

Funktionen als Vektoren

Sei ${\displaystyle V}$ der Vektorraum aller Funktionen ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ . Die beiden Funktionen ${\displaystyle \mathrm {e} ^{t}}$ und ${\displaystyle \mathrm {e} ^{2t}}$ in ${\displaystyle V}$ sind linear unabhängig.

Beweis: Es seien ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ und es gelte

${\displaystyle a\,\mathrm {e} ^{t}+b\,\mathrm {e} ^{2t}=0}$

für alle ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ . Leitet man diese Gleichung nach ${\displaystyle t}$ ab, dann erhält man eine zweite Gleichung

${\displaystyle a\,\mathrm {e} ^{t}+2b\,\mathrm {e} ^{2t}=0}$

Indem man die erste von der zweiten Gleichung subtrahiert, erhält man

${\displaystyle b\,\mathrm {e} ^{2t}=0}$

Da diese Gleichung für alle ${\displaystyle t}$ und damit insbesondere auch für ${\displaystyle t=0}$ gelten muss, folgt daraus durch Einsetzen von ${\displaystyle t=0}$ , dass ${\displaystyle b=0}$ sein muss. Setzt man das so berechnete ${\displaystyle b}$ wieder in die erste Gleichung ein, dann ergibt sich

${\displaystyle a\,\mathrm {e} ^{t}+0=0}$

Daraus folgt wieder, dass (für ${\displaystyle t=0}$ ) ${\displaystyle a=0}$ sein muss.

Da die erste Gleichung nur für ${\displaystyle a=0}$ und ${\displaystyle b=0}$ lösbar ist, sind die beiden Funktionen ${\displaystyle \mathrm {e} ^{t}}$ und ${\displaystyle \mathrm {e} ^{2t}}$ linear unabhängig.

Reihen

Sei ${\displaystyle V}$ der Vektorraum aller reellwertigen stetigen Funktionen ${\displaystyle f\colon (0,1)\to \mathbb {R} }$ auf dem offenen Einheitsintervall. Dann gilt zwar

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n},}$

aber dennoch sind ${\displaystyle {\tfrac {1}{1-x}},1,x,x^{2},\ldots }$ linear unabhängig. Linearkombinationen aus Potenzen von ${\displaystyle x}$ sind nämlich nur Polynome und keine allgemeinen Potenzreihen, insbesondere also in der Nähe von 1 beschränkt, so dass sich ${\displaystyle {\tfrac {1}{1-x}}}$ nicht als Linearkombination von Potenzen darstellen lässt.

Zeilen und Spalten einer Matrix

Interessant ist auch die Frage, ob die Zeilen einer Matrix linear unabhängig sind oder nicht. Dabei werden die Zeilen als Vektoren betrachtet. Falls die Zeilen einer quadratischen Matrix linear unabhängig sind, so nennt man die Matrix regulär, andernfalls singulär. Die Spalten einer quadratischen Matrix sind genau dann linear unabhängig, wenn die Zeilen linear unabhängig sind. Beispiel einer Folge von regulären Matrizen: Hilbert-Matrix.

Rationale Unabhängigkeit

Zahlen aus ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , die sich nicht als Linearkombinationen mit Zahlen aus ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ darstellen lassen nennt man rational unabhängig oder inkommensurabel (siehe auch Inkommensurabilität (Mathematik)). Die Zahlen ${\displaystyle \lbrace 1,\,{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\rbrace }$ sind rational unabhängig, oder inkommensurabel. Die Zahlen ${\displaystyle \lbrace 1,\,{\tfrac {1}{\sqrt {2}}},1+{\sqrt {2}}\rbrace }$ sind rational abhängig.