Masse (Physik)

Direkte Massenbestimmung

Die sogenannte direkte Messung der (schweren) Masse erfolgt am ruhenden Körper durch Vergleich mit einer Referenzmasse. Zwei Massen sind gleich, wenn sie im selben Schwerefeld die gleiche Gewichtskraft haben. Dies kann man mit einer Balkenwaage überprüfen. Dabei ist die Stärke des Schwerefeldes unerheblich, es muss nur von Null verschieden und an den Orten der beiden Körper gleich sein. Zur Festlegung der Masseneinheit siehe Urkilogramm.

Indirekte Massenbestimmung

Die Masse kann auch über Kräfte und Beschleunigungen bestimmt werden. In der newtonschen Mechanik ist jede Bewegungsänderung proportional zu der Kraft, welche die Bewegungsänderung verursacht hat (s. u.: ${\displaystyle {\vec {F}}=m\cdot {\vec {a}}}$ ). Masse ist somit die Proportionalitätskonstante zwischen Kraft und Beschleunigung:

${\displaystyle m={\frac {|{\vec {F}}|}{|{\vec {a}}|}}}$

Die Beschleunigung ${\displaystyle {\vec {a}}}$ gibt dabei die durch eine Kraft ${\displaystyle {\vec {F}}}$ verursachte Geschwindigkeitsänderung an.

Beispiel zur trägen Masse: Wird ein Körper durch die konstante Kraft ${\displaystyle F=6\,\mathrm {N} }$ innerhalb des Zeitintervalls ${\displaystyle \Delta t=2\,\mathrm {s} }$ um ${\displaystyle \Delta v=3\,\mathrm {\tfrac {m}{s}} }$ schneller, so ist seine Beschleunigung

${\displaystyle a={\frac {\Delta v}{\Delta t}}\;=\;1{,}5\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} .}$

Seine Masse beträgt dann

${\displaystyle m={\frac {F}{a}}\;=\;4\,\mathrm {kg} .}$

Beispiel zur schweren Masse: Durch die Gravitation der Erde werden frei fallende Körper mit

${\displaystyle a=9{,}81\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} \qquad \left(={\text{Ortsfaktor }}g=9{,}81\,\mathrm {\frac {N}{kg}} \right)}$

beschleunigt. Ein Körper, der auf der Erdoberfläche mit der Gewichtskraft ${\displaystyle F=6\,\mathrm {N} }$ angezogen wird, hat die Masse

${\displaystyle m={\frac {F}{a}}\;=\;0{,}612\,\mathrm {kg} .}$

Relativistische Masse

Um dennoch die Newtonsche Formel beibehalten zu können, wurde der Begriff relativistische Masse

${\displaystyle m_{\text{rel.}}(v)={\frac {m}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

eingeführt, sodass ${\displaystyle {\vec {p}}=m_{\text{rel.}}(|{\vec {v}}|)\,\cdot {\vec {v}}}$ gilt. Die Größe ${\displaystyle m}$ wird in diesem Zusammenhang „Ruhemasse“ genannt und oft mit ${\displaystyle m_{0}}$ bezeichnet: ${\displaystyle m_{0}=m_{\text{rel.}}(v{\mathord {=}}0).}$ Der Begriff der relativistischen oder relativistisch veränderlichen Masse wird in der populären Literatur und teilweise auch in der Experimentalphysik heute noch benutzt, jedoch zunehmend vermieden, weil die relativistische Masse ${\displaystyle m_{\text{rel.}}(v)}$ an Stelle von ${\displaystyle m}$ nur in den Gleichungen für den Impuls und für die relativistische Energie ${\displaystyle E=m_{\text{rel.}}(v)\,\cdot c^{2}}$ zu richtigen Ergebnissen führt, im newtonschen Gravitationsgesetz und im newtonschen Gesetz ${\displaystyle {\vec {F}}=m_{\text{rel.}}(v)\cdot {\vec {a}}}$ eingesetzt aber falsche Ergebnisse hervorbringt (außer wenn die Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung steht).

Die Kraft ${\displaystyle {\vec {F}}}$ ist gleich der zeitlichen Änderung des Impulses, in der speziellen Relativitätstheorie

${\displaystyle {\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {m\,{\vec {a}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m\,{\vec {v}}\,({\vec {v}}\cdot {\vec {a}})}{c^{2}\,({\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}})^{3}}}}$

oder, nach der Beschleunigung ${\displaystyle {\vec {a}}}$ aufgelöst,

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {1}{\sqrt {m^{2}+p^{2}/c^{2}}}}{\bigl (}{\vec {F}}-{\vec {v}}({\vec {v}}\cdot {\vec {F}})/c^{2}{\bigr )}\,.}$

Man sieht, dass die Beschleunigung nicht immer in Richtung der Kraft zeigt, sondern i. A. auch einen Anteil in Richtung der Geschwindigkeit hat. Eine Kraft ${\displaystyle {\vec {F}}}$ bewirkt bei unterschiedlichen Geschwindigkeiten des Teilchens verschiedene Beschleunigungen. Die Masse ist also kein einfacher Proportionalitätsfaktor zwischen Kraft und Beschleunigung wie in der newtonschen Mechanik. Die unterschiedliche Trägheit in Richtung der Bewegung und quer dazu hatte man zunächst mit den Begriffen der longitudinalen und transversalen Masse zu erfassen versucht, die aber heute nicht mehr verwendet werden.

In diesem und anderen Artikeln wird die Größe ${\displaystyle m_{\text{rel.}}(v)}$ nicht weiter verwendet, und das Symbol ${\displaystyle m}$ für die Masse hat stets die Bedeutung der Ruhemasse, also ${\displaystyle m=m_{0}.}$

Ruheenergie

Unter der Ruheenergie ${\displaystyle E_{0}}$ versteht man die Energie eines Körpers in seinem Ruhesystem. Sie ist eine feststehende Eigenschaft des Körpers, die nicht von seinem Bewegungszustand abhängt. Es gilt:

${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$ .

Damit ist die Ruhenergie durch die Masse des Körpers eindeutig bestimmt und umgekehrt. Beide Größen unterscheiden sich nur durch den konstanten Faktor ${\displaystyle c^{2}}$ und sind daher äquivalent (siehe Äquivalenz von Masse und Energie).

Die Masse verknüpft die Energie ${\displaystyle E}$ und den Impuls über die allgemeingültige Energie-Impuls-Beziehung (Herleitung siehe Viererimpuls):

${\displaystyle \left(m\,c^{2}\right)^{2}=E^{2}-p^{2}c^{2}.}$

Gemäß dieser Gleichung liegen im vierdimensionalen Raum aller denkbaren Energie- und Impulswerte die physikalisch möglichen Energien eines Teilchens der Masse ${\displaystyle m}$ auf einer dreidimensionalen Fläche, der sogenannten Massenschale. Sie ist ein Hyperboloid ( ${\displaystyle y^{2}-x^{2}=1}$ beschreibt eine Hyperbel in der xy-Ebene).

Für einen ruhenden Körper ( ${\displaystyle {\vec {p}}{\mathord {=}}0}$ ) wird aus der Energie-Impuls-Beziegung Einsteins berühmte obige Gleichung ${\displaystyle E_{0}=mc^{2}.}$

Für ein Teilchen ohne Masse folgt ${\displaystyle E=|{\vec {p}}|c\,.}$ Solche Teilchen bewegen sich relativ zu jedem Bezugssystem mit der in der speziellen Relativitätstheorie postulierten oberen Grenzgeschwindigkeit, der Lichtgeschwindigkeit. Dies ist etwa bei Photonen der Fall. Der umgekehrte Schluss ist ebenfalls richtig: Teilchen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, sind masselos.

Invariante Masse und Schwerpunktsenergie

Von der Ruhemasse eines Teilchens wird die invariante Masse, mehrerer freier Teilchen unterschieden:

${\displaystyle \left(m_{\text{invariant}}\,c^{2}\right)^{2}=\left(\sum _{i=1}^{N}E_{i}\right)^{2}-\left(\sum _{i=1}^{N}{\vec {p}}_{i}\right)^{2}\,c^{2},}$

wobei ${\displaystyle N}$ die Anzahl der Teilchen ist. Nach Division durch den konstanten Faktor ${\displaystyle c^{2}}$ ergibt sich daraus die Schwerpunktsenergie. Diese physikalische Größe ist invariant unter Lorentztransformation. Sie gibt den Energiebetrag an, der für die Erzeugung neuer Teilchen bei einer Teilchenkollisionen zur Verfügung steht. Die Schwerpunktenergie ist daher in der experimentellen Teilchenphysik von Bedeutung. Die Formel zur Berechnung der Schwerpunktenergie kann für ${\displaystyle N=1}$ auch auf ein einzelnes Teilchen angewandt werden und stimmt dann gerade mit dessen Masse überein.

Massendefekt

Gibt ein geschlossenes System Energie über die Systemgrenzen z. B. in Form von Strahlung ab, so verringert sich der Energieinhalt des Systems und damit seine Masse. In diesem Sinne ist die Masse in der modernen Physik keine Erhaltungsgröße mehr, wenngleich sich dies in alltäglichen Situationen kaum bemerkbar macht.

Bei Kernreaktionen werden jedoch Energiemengen freigesetzt, die gegenüber der Ruhenergie der Kernbausteine nicht mehr zu vernachlässigen sind. Die Tatsache, dass die Bindungsenergie dazu führt, dass ein Atomkern eine geringere Masse hat als die Summe seiner Bausteine, wird Massendefekt genannt. Die Bindungsenergie liegt bei den meisten Atomkernen zwischen 7 und 9 MeV pro Nukleon und bewirkt dadurch einen Massendefekt zwischen 0,7 und 0,9 Prozent. Sehr leichte Atomkerne (²H, ³H, ³He, Li, Be, B) weisen mit 1 bis 6 MeV geringere Bindungsenergien pro Nukleon und mit 0,1 und 0,6 Prozent geringere Massendefekte auf.

Die Bindungsenergie chemischer Bindungen liegt mit typischen 2 bis 7 eV pro Bindung (pro Nukleon wäre sie entsprechend dem Molekülgewicht noch einmal deutlich kleiner) um 7 bis 9 Größenordnungen darunter. Daher konnte ein chemischer Massendefekt bisher noch nicht durch Wägung nachgewiesen werden.

Zwar liegen die Werte bei einigen Reaktionen im Bereich der Nachweisgrenze aktueller Massekomparatoren ( ${\displaystyle 1\ldots 2\cdot 10^{-8}}$  Prozent): Der größte chemische Massendefekt ist ${\displaystyle 2{,}25\cdot 10^{-7}}$  Prozent bei der Bindung ${\displaystyle \mathrm {2H\ \rightarrow \,H_{2}} }$ . Zu ${\displaystyle \mathrm {Li+F\ \rightarrow \ LiF} }$ gehört ein Massendefekt von ${\displaystyle 2{,}47\cdot 10^{-8}}$  Prozent. Jedoch sind diese Reaktionen stark exotherm und müssten daher in dickwandigen und absolut dichten Reaktionsgefäßen stattfinden, so dass die relative Massenänderung, die nach dem Abkühlen zu beobachten wäre, mit ${\displaystyle <10^{-9}}$  Prozent in einem nicht mehr nachweisbaren Bereich liegt.

Dass im Bereich der Chemie der Massendefekt sich der Messung entzieht, ist seinerseits die Grundlage des von Antoine Lavoisier entdeckten Massenerhaltungssatzes. Diese Erkenntnis trug Ende des 18. Jahrhunderts maßgeblich zur Abkehr von der Alchemie und Phlogistontheorie bei und wurde damit eine wichtige Grundlage der auf die chemischen Elemente gestützten Chemie.