Angabe von Wahrscheinlichkeiten

Wahrscheinlichkeiten werden mit dem Buchstaben ${\displaystyle \ P}$ dargestellt. Das erinnert an das lateinische probabilitas, aus dem das französische probabilité und das englische probability wurden.^[11] Eingeführt wurde diese Schreibweise von Laplace.^[12] Er unterscheidet in seinen Veröffentlichungen zwischen possibilité, was wir heute relative Häufigkeit nennen, und probabilité.^[13]

Wahrscheinlichkeiten tragen keine Einheit, sondern sind Zahlen zwischen 0 und 1, wobei auch 0 und 1 zulässige Wahrscheinlichkeiten sind. Deshalb können sie als Prozentangaben (20 %), Dezimalzahlen ( ${\displaystyle 0{,}2}$), Brüche ( ${\displaystyle {\tfrac {2}{10}}}$), Quoten (2 von 10 beziehungsweise 1 von 5) oder Verhältniszahlen (1 zu 4) angegeben werden (alle diese Angaben beschreiben ein und dieselbe Wahrscheinlichkeit).

Häufig treten Missverständnisse auf, wenn nicht zwischen „zu“ und „von“ unterschieden wird: „1 zu 4“ bedeutet, dass dem einen gewünschten Ereignis 4 ungewünschte Ereignisse gegenüberstehen. Damit gibt es zusammen 5 Ereignisse, von denen eines das Gewünschte ist, also „1 von 5“.

Laplace-Experimente

Als Laplace-Experimente, benannt nach dem Mathematiker Pierre-Simon Laplace, werden Zufallsexperimente bezeichnet, für die die folgenden beiden Punkte erfüllt sind:

• Es gibt nur endlich viele mögliche Versuchsausgänge.
• Alle möglichen Ausgänge sind gleich wahrscheinlich.

Einfache Beispiele für Laplace-Experimente sind das Würfeln mit idealen Würfeln, das Werfen einer idealen Münze (wenn man davon absieht, dass sie auf dem Rand stehen bleiben kann) und die Ziehung der Lottozahlen.

Die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle P}$ für das Eintreten des Ereignisses E bei einem Laplace-Experiment berechnet sich nach der Gleichung

${\displaystyle P(E)={\frac {\text{Anzahl der für das Ereignis E günstigen Versuchsausgänge}}{\text{Anzahl aller möglichen Versuchsausgänge}}}\,}$ ^[14]

Integritätsbedingungen, Axiomensystem

Grundsätzliche Annahmen der Stochastik sind in den Kolmogorov-Axiomen nach Andrei Kolmogorov beschrieben. Aus diesen und ihren Folgerungen lässt sich schließen, dass:

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ${\displaystyle \Omega }$, das alle möglichen Versuchsausgänge umfasst, ist ${\displaystyle 1}$:

${\displaystyle \ P(\Omega )=1.}$

Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ${\displaystyle \emptyset }$ ist ${\displaystyle 0}$:

${\displaystyle P(\emptyset )=0.}$

Alle Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle P(E)}$ liegen zwischen einschließlich null und eins:

${\displaystyle 0\leq P(E)\leq 1.}$

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses E und die für das Eintreten des Gegenereignisses ${\displaystyle {\bar {E}}}$ (Nichteintreten des Ereignisses) addieren sich zu Eins:

${\displaystyle P(E)+P({\bar {E}})=1.}$

In einem vollständigen System von Ereignissen ${\displaystyle E_{i}}$ (hierfür müssen alle ${\displaystyle E_{i}}$ paarweise disjunkt sein und ihre Vereinigungsmenge gleich ${\displaystyle \Omega }$ sein) ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten gleich ${\displaystyle 1}$:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}P(E_{i})=1.}$ ^[15]

Wahrscheinlichkeiten Null und Eins – unmögliche und sichere Ereignisse

Wenn ein Ereignis unmöglich ist, dann besitzt es die Wahrscheinlichkeit 0. Umgekehrt kann aus der Wahrscheinlichkeit 0 nur dann geschlossen werden, dass das Ereignis unmöglich ist, wenn es nur endlich viele verschiedene Versuchsausgänge gibt. Für Zufallsversuche mit unendlich vielen Versuchsausgängen veranschaulicht es dieses Gegenbeispiel: In einem Zufallsexperiment wird eine beliebige reelle Zufallszahl zwischen 0 und 1 gezogen. Es wird davon ausgegangen, dass jede Zahl gleich wahrscheinlich sei – es wird also die Gleichverteilung auf dem Intervall ${\displaystyle [0,1]}$ vorausgesetzt. Dann ist für jede einzelne Zahl aus dem Intervall die Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden, gleich 0, da es in diesem Intervall unendlich viele Zahlen gibt. Dennoch ist jede Zahl aus ${\displaystyle [0,1]}$ als Ziehungsergebnis möglich. Ein unmögliches Ereignis im Rahmen dieses Beispiels ist etwa die Ziehung der 2, also das Eintreten des Elementarereignisses ${\displaystyle \{2\}}$.^[16]

Wenn ein Ereignis sicher eintritt, dann besitzt es die Wahrscheinlichkeit 1. Ein Beispiel für ein sicheres Ereignis beim Würfeln mit einem sechsseitigen Würfel ist das Ereignis „es wird keine Sieben gewürfelt“ oder „es wird eine Zahl zwischen 1 und 6 gewürfelt“. Umgekehrt kann aus der Wahrscheinlichkeit 1 nur dann geschlossen werden, dass das Ereignis sicher eintritt, wenn es nur endlich viele Versuchsausgänge gibt. Für Zufallsversuche mit unendlich vielen Ausgängen veranschaulicht es dieses Gegenbeispiel: Man würfelt solange, bis zum ersten Mal eine „6“ eintritt. Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendwann einmal „6“ fällt, ist 1, aber es ist keineswegs sicher, dass einmal „6“ fallen muss.^[17]

Wahrscheinlichkeitstheorie

• Wahrscheinlichkeit
• Ergebnis, Ereignis, Ergebnismenge
• Baumdiagramm und Pfadregeln, Urnenmodell, Laplace-Formel
• Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung
• bedingte Wahrscheinlichkeit, Satz von Bayes, Vierfeldertafel
• Zufallsvariable
• Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Gleichverteilung, diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, stetige Verteilung, Binomialverteilung, Multinomialverteilung, Normalverteilung, Exponentialverteilung, Bernoulli-Verteilung, hypergeometrische Verteilung, Poisson-Verteilung, Mischverteilung)
• Wahrscheinlichkeitsdichte, Verteilungsfunktion