Stochastik

Angabe von Wahrscheinlichkeiten

Wahrscheinlichkeiten werden mit dem Buchstaben ${\displaystyle \ P}$ (von frz. probabilité, eingeführt von Laplace) oder ${\displaystyle \ W}$ dargestellt. Sie tragen keine Einheit, sondern sind Zahlen zwischen Null und Eins, wobei auch Null und Eins zulässige Wahrscheinlichkeiten sind. Deshalb können sie als Prozentangaben (20 %), Dezimalzahlen ( ${\displaystyle 0{,}2}$ ), Brüche ( ${\displaystyle {\tfrac {2}{10}}}$ ), Quoten (2 von 10 beziehungsweise 1 von 5) oder Verhältniszahlen (1 zu 4) angegeben werden (alle Angaben beschreiben dieselbe Wahrscheinlichkeit).

Häufig treten Missverständnisse auf, wenn nicht richtig zwischen „zu“ und „von“ unterschieden wird: „1 zu 4“ bedeutet, dass dem einen gewünschten Ereignis 4 ungewünschte Ereignisse gegenüberstehen. Damit gibt es 5 Ereignisse, von denen eins das Gewünschte ist, also „1 von 5“.

Führt man ein Zufallsexperiment mehrmals hintereinander durch, so kann die relative Häufigkeit eines Ereignisses errechnet werden, indem man die absolute Häufigkeit, also die Anzahl geglückter Versuche, durch die Anzahl der unternommenen Versuche dividiert. Für eine unendliche Anzahl von Versuchen geht diese relative Häufigkeit in die Wahrscheinlichkeit über. In der Praxis wird die Anzahl der für eine annehmbare Übereinstimmung von relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit nötigen Versuche oft unterschätzt.

Wahrscheinlichkeiten Null und Eins ↔ unmögliche und sichere Ereignisse

Dass einem Ereignis die Wahrscheinlichkeit Null zugeordnet wird, heißt nur dann, dass dessen Eintritt prinzipiell unmöglich ist, wenn es nur endlich viele verschiedene Versuchsausgänge gibt.

Dies wird durch folgendes Beispiel veranschaulicht: In einem Zufallsexperiment wird eine beliebige reelle Zahl zwischen 0 und 1 gezogen. Es wird davon ausgegangen, dass jede Zahl gleich wahrscheinlich sei – es wird also die Gleichverteilung auf dem Intervall ${\displaystyle [0,1]}$ vorausgesetzt. Dann ist, da es in dem Intervall unendlich viele Zahlen gibt, für jede einzelne Zahl aus dem Intervall die Eintrittswahrscheinlichkeit gleich Null, dennoch ist jede Zahl aus ${\displaystyle [0,1]}$ als Ziehungsergebnis möglich.

Ein unmögliches Ereignis ist im Rahmen dieses Beispiels etwa die Ziehung der 2, also das Elementarereignis ${\displaystyle \{2\}}$ .

Ein Ereignis wird sicher genannt, wenn es die Wahrscheinlichkeit 1 hat. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein unmögliches Ereignis nicht eintritt, ist 1 und es handelt sich um ein sicheres Ereignis. Ein Beispiel für ein sicheres Ereignis beim Würfeln mit einem sechsseitigen Würfel ist das Ereignis „es wird keine Sieben gewürfelt“.

Integritätsbedingungen, Axiomensystem

Grundsätzliche Annahmen der Stochastik sind in den Kolmogorov-Axiomen nach Andrei Kolmogorov beschrieben. Aus diesen und ihren Folgerungen lässt sich schließen, dass:

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, das alle möglichen Versuchsausgänge umfasst, ist ${\displaystyle 1}$ :

${\displaystyle \ P(\Omega )=1.}$

Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist ${\displaystyle 0}$ :

${\displaystyle P(\emptyset )=0.}$

Alle Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen einschließlich Null und Eins:

${\displaystyle 0\leq P(A)\leq 1.}$

Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses und die seines Nichteintretens addieren sich zu Eins:

${\displaystyle P(A)+P({\bar {A}})=1.}$

In einem vollständigen System von Ereignissen ${\displaystyle A_{i}}$ (hierfür müssen alle ${\displaystyle A_{i}}$ paarweise disjunkt sein und ihre Vereinigungsmenge gleich ${\displaystyle \Omega }$ sein) ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten gleich ${\displaystyle 1}$ :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}P(A_{i})=1.}$

Laplace-Experimente

Als Laplace-Experimente, benannt nach dem Mathematiker Pierre-Simon Laplace, werden Zufallsexperimente bezeichnet, für die die folgenden beiden Punkte erfüllt sind:

• Es gibt nur endlich viele mögliche Versuchsausgänge.
• Alle möglichen Ausgänge sind gleich wahrscheinlich.

Einfache Beispiele für Laplace-Experimente sind das Würfeln eines Würfels, das Werfen einer Münze (wenn man davon absieht, dass sie auf dem Rand stehen bleiben kann) und die Lottozahlen.

Die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle P}$ eines Laplace-Experimentes berechnet sich nach

${\displaystyle P(E)={\frac {\mathrm {Anzahl} \,\,\mathrm {der} \,\,\mathrm {f{\ddot {u}}r} \,\,\mathrm {das} \,\,\mathrm {Ergebnis} \,\,\mathrm {g{\ddot {u}}nstigen} \,\,\mathrm {Versuchsausg{\ddot {a}}nge} }{\mathrm {Anzahl} \,\,\mathrm {der} \,\,\mathrm {m{\ddot {o}}glichen} \,\,\mathrm {Versuchsausg{\ddot {a}}nge} }}}$

Wahrscheinlichkeitstheorie

• Zufallsvariable
• Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Gleichverteilung, Normalverteilung, Exponentialverteilung, Binomialverteilung, Bernoulli-Verteilung, hypergeometrische Verteilung, Poisson-Verteilung, Mischverteilung)
• Wahrscheinlichkeitsdichte, Verteilungsfunktion