Arithmetisches Mittel

Anwendungsbeispiel

Ein Auto fährt eine Stunde lang 100 km/h und die darauf folgende Stunde 200 km/h. Mit welcher konstanten Geschwindigkeit muss ein anderes Auto fahren, um denselben Weg ebenfalls in zwei Stunden zurückzulegen?

Der Weg ${\displaystyle s_{1}}$ , den das erste Auto insgesamt zurückgelegt hat, beträgt

${\displaystyle s_{1}=100\ \mathrm {km/h} \cdot 1\ \mathrm {h} +200\ \mathrm {km/h} \cdot 1\ \mathrm {h} }$

und der des zweiten Autos

${\displaystyle s_{2}=v_{2}\cdot 2\ \mathrm {h} ,}$

wobei ${\displaystyle v_{2}}$ die Geschwindigkeit des zweiten Autos ist. Aus ${\displaystyle s_{1}=s_{2}}$ ergibt sich

${\displaystyle v_{2}\cdot 2\ \mathrm {h} =100\ \mathrm {km/h} \cdot 1\ \mathrm {h} +200\ \mathrm {km/h} \cdot 1\ \mathrm {h} }$

und damit

${\displaystyle v_{2}={\frac {100\ \mathrm {km/h} \cdot 1\ \mathrm {h} +200\ \mathrm {km/h} \cdot 1\mathrm {h} }{2\ \mathrm {h} }}={\frac {100\ \mathrm {km} +200\ \mathrm {km} }{2\ \mathrm {h} }}=150\ \mathrm {km/h} .}$

Arithmetisch

Das arithmetische Mittel zweier Zahlen ${\displaystyle a,b}$ ist diejenige Zahl ${\displaystyle m}$ , für die

${\displaystyle m-a=b-m}$

gilt.

Wahrscheinlichkeitstheoretisch

Sind ${\displaystyle X_{1},\dotsc ,X_{n}}$ Zufallsvariablen, die unabhängig und identisch verteilt mit Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ und Varianz ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ sind, so hat der Stichprobenmittelwert ${\displaystyle {\bar {X}}:={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ ebenfalls den Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ , aber die kleinere Varianz ${\displaystyle \sigma ^{2}/n}$ . Hat also eine Zufallsvariable endlichen Erwartungswert und endliche Varianz, so folgt aus der Tschebyschow-Ungleichung, dass das arithmetische Mittel einer Stichprobe gegen den Erwartungswert der Zufallsvariablen stochastisch konvergiert. Das arithmetische Mittel ist daher nach vielen Kriterien eine geeignete Schätzung für den Erwartungswert der Verteilung, aus der die Stichprobe stammt. Es ist allerdings sehr empfindlich gegenüber Ausreißern (siehe Median).

Deskriptive Statistik

Das gewichtete Mittel wird beispielsweise verwendet, wenn man Mittelwerte ${\displaystyle x_{i}}$ , ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ aus ${\displaystyle n}$ Stichproben der gleichen Grundgesamtheit mit verschiedenen Stichprobenumfängen ${\displaystyle w_{i}}$ miteinander kombinieren will:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}\cdot x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}}$ .

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Sind die ${\displaystyle X_{i}}$ unabhängig verteilte Zufallsgrößen (d. h. ${\displaystyle X_{1}}$ ist eine Zufallsgröße mit den Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{11},\dots ,X_{1n}}$ und ${\displaystyle X_{2}}$ ist eine Zufallsgröße mit den Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{21},\dots ,X_{2m}}$ …) mit gemeinsamem Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ aber unterschiedlichen Varianzen ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$ , so hat der gewichtete Mittelwert ebenfalls Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ und seine Varianz beträgt

${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}}{\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\right)^{2}}}}$ .

Wählt man

${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}}$ ,

so vereinfacht sich die Varianz zu

${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{4}}}\sigma _{i}^{2}}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}\right)^{2}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}\right)^{2}}}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}}}}$ .

Aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung folgt

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}\right)\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\right)^{2}}$ .

Die Wahl der Gewichte ${\displaystyle w_{i}=1/\sigma _{i}^{2}}$ oder eine Wahl proportional dazu minimiert also die Varianz ${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}^{2}}$ des gewichteten Mittels. Mit dieser Formel lassen sich die Gewichte ${\displaystyle w_{i}}$ abhängig von der Varianz des jeweiligen Wertes, der dementsprechend den Mittelwert mehr oder weniger stark beeinflusst, zweckmäßig wählen.

Sind die ${\displaystyle X_{i}}$ speziell Stichprobenmittelwerte vom Umfang ${\displaystyle n_{i}}$ aus derselben Grundgesamtheit, so hat ${\displaystyle X_{i}}$ die Varianz ${\displaystyle \sigma ^{2}/n_{i}}$ , also ist die Wahl ${\displaystyle w_{i}=n_{i}}$ optimal.

Beispiele

Das arithmetische Mittel ${\displaystyle {\bar {x}}_{1}}$ der ${\displaystyle n_{1}=3}$ Zahlen 1, 2 und 3 beträgt 2, das arithmetische Mittel ${\displaystyle {\bar {x}}_{2}}$ der ${\displaystyle n_{2}=2}$ Zahlen 4 und 5 beträgt 4,5. Das arithmetische Mittel aller 5 Zahlen ergibt sich als mit dem Stichprobenumfang gewichteter Mittelwert der Teilmittelwerte:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1+2+3+4+5}{5}}={\frac {3{\frac {1+2+3}{3}}+2{\frac {4+5}{2}}}{3+2}}={\frac {n_{1}{\bar {x}}_{1}+n_{2}{\bar {x}}_{2}}{n_{1}+n_{2}}}={\frac {6+9}{3+2}}=3.}$

Liegen die Beobachtungen als klassierte Häufigkeit vor, kann man das arithmetische Mittel näherungsweise als gewichtetes Mittel bestimmen, wobei die Klassenmitten als Wert und der Klassenumfang als Gewicht zu wählen sind. Sind beispielsweise in einer Schulklasse ein Kind in der Gewichtsklasse 20 bis 25 kg, 7 Kinder in der Gewichtsklasse 25 bis 30 kg, 8 Kinder in der Gewichtsklasse 30 bis 35 kg und 4 Kinder in der Gewichtsklasse 35 bis 40 kg, so lässt sich das Durchschnittsgewicht als

${\displaystyle {\frac {1\cdot 22{,}5+7\cdot 27{,}5+8\cdot 32{,}5+4\cdot 37{,}5}{1+7+8+4}}={\frac {625}{20}}=31{,}25}$

abschätzen. Um die Güte dieser Schätzung zu ermitteln, muss man dann den minimal / maximal möglichen Mittelwert ermitteln, indem man pro Intervall die kleinsten / größten Werte zugrunde legt. Damit ergibt sich dann, dass der tatsächliche Mittelwert zwischen 28,75 kg und 33,75 kg liegt. Der Fehler der Schätzung 31,25 beträgt also maximal +/-2,5kg oder +/-8%.

Weiteres Beispiel: Ein Bauer stellt im Nebenerwerb 100 kg Butter her. 10 kg kann er für 10 €/kg verkaufen, weitere 10 kg für 6 €/kg und den Rest muss er für 3 €/kg abgeben. Zu welchem (gewichtetem) Durchschnittspreis hat er seine Butter verkauft? Lösung: (10 kg · 10 €/kg + 10 kg · 6 €/kg + 80 kg · 3 €/kg) / (10 kg + 10 kg + 80 kg) = 400 € / 100 kg = 4 €/kg. Der mit der jeweils verkauften Menge gewichtete Durchschnittspreis entspricht also dem fixen Preis, zu dem die Gesamtmenge verkauft werden müsste, um den gleichen Erlös zu erzielen wie beim Verkauf von Teilmengen zu wechselnden Preisen.