Carnot-Prozess

Der Carnot-Kreisprozess oder -Zyklus ist ein Gedankenexperiment, das Anfang des 19. Jahrhunderts von Nicolas Léonard Sadi Carnot entworfen wurde. Es umfasst einen über einen Kolben verstellbaren Zylinder, der Wärme- und Kältequellen ausgesetzt oder aber thermal isoliert, also vor Wärmeaustausch geschützt werden kann. Dieser Zylinder wird einem Zyklus ausgesetzt, bei dem zunächst der Inhalt des Zylinders – etwa Dampf – über den Kontakt zur Wärmequelle aufgeheizt wird, sich in der Folge ausdehnt und den Kolben nach außen schiebt. Anschließend werden Zylinder und Wärmequelle getrennt, woraufhin sich der Zylinderinhalt weiter ausdehnt und an Temperatur verliert, bis er die gleiche Temperatur wie die Kältequelle hat. Wird diese nun in Kontakt mit dem Zylinder gebracht, gibt er Temperatur an sie ab, während sich sein Inhalt zusammenzieht. Anschließend wird die Kältequelle entfernt; der Zylinderinhalt komprimiert weiter und gewinnt an Temperatur, bis der Ursprungszustand wiederhergestellt ist. Carnot intendierte diesen rein theoretischen Zyklus nicht als Beschreibung maschineller Prozesse, sondern übertrug mit ihm das Prinzip der Kausalität auf Phänomene, die mit Wärme im Zusammenhang standen: Da der Kreisprozess umkehrbar ist, lässt sich jedes Stadium als alleiniger Effekt der anderen drei Stadien darstellen.

Damit bot der Carnot-Zyklus eine wichtige Neuerung in einer Zeit, in der die Übersetzung von Wärmearbeit und mechanischer Arbeit in einander, wie sie in den aufkommenden Dampfmaschinen stattfand, weder gemessen noch theoretisch dargestellt werden konnte. Mit seiner Hilfe konnten erstmals Phänomene, die mit Wärme in Verbindung standen, in die etablierte Theoriesprache der Mechanik übersetzt werden. Im Laufe des 19. Jahrhunderts wurde der Carnot-Zyklus zu einem Dreh- und Angelpunkt der akademischen Auseinandersetzung um Wärme. Mit seiner Reformulierung durch William Thomson und Rudolf Clausius bildete er die Arena für die Probleme der Energieerhaltung und der Entropie.

Beschreibung

Den Ablauf des Carnot-Prozesses kann man sich so vorstellen, dass ein Gas wechselweise mit einem Wärmereservoir von konstant hoher Temperatur (zur Aufnahme von Wärme) und einem Kältereservoir mit konstant niedrigerer Temperatur (zur Abgabe von Wärme) in Kontakt steht, wobei es wechselweise durch Aufbringen mechanischer Arbeit verdichtet wird und unter Abgabe von mechanischer Arbeit wieder expandiert. Die Differenz zwischen aufgenommener und abgegebener Wärme entspricht im reversiblen Fall der vom Kreisprozess im T-s-Diagramm eingeschlossenen Fläche. Sie ist genau gleich der insgesamt gewonnenen mechanischen Arbeit. Das Gas erreicht nach vollständigem Durchlauf des Prozesses wieder den Ausgangszustand, d. h. alle Zustandsgrößen, wie Temperatur T, Druck p, Volumen V und innere Energie U sind damit wieder so groß wie zu Beginn des Prozesses. Der Prozess ist als ideale Wärmekraftmaschine (rechtsdrehend im T-s-Diagramm) oder als ideale Wärmepumpe bzw. Kältemaschine (linksdrehend) denkbar. Die im Wärmekraft-Prozess gewonnene technische Arbeit kann im Wärmepumpen-Prozess verlustfrei eingesetzt werden, um die beim Wärmekraft-Prozess an das kalte Wärmereservoir (Umgebung) abgegebene Wärme – zusammen mit der in Wärme umgewandelten Antriebsarbeit der Wärmepumpe (Rechteckfläche) – in das heiße Wärmereservoir wieder „hochzupumpen“. Aufgrund dieser Umkehrbarkeit wird der Prozess als reversibel bezeichnet. Der Prozess wäre mit einer periodisch arbeitenden Maschinenanlage nur unter besonders hohem Aufwand und auch nur angenähert realisierbar. Bezüglich eines Prozesses mit Gasen: Es gibt keine Verdichter und keine Expansionsmaschinen, die in einem Arbeitsgang auch die Wärmeübertragung ermöglichen, sodass die Temperatur dabei konstant bleibt. Bezüglich des Prozesses mit Nassdampf: Es gibt zwar Nassdampfturbinen, aber keine Verdichter, die Nassdampf zu Flüssigkeit komprimieren. Außerdem treten in allen Maschinen und bei allen Strömungsvorgängen Reibungsverluste auf.

Darstellung im T-S-Diagramm

Der Carnot-Prozess besteht aus zwei isothermen und zwei isentropen Zustandsänderungen, die im T-S-Diagramm ein Rechteck bilden. Die Entropiezunahme ist in einem reversiblen Prozess mit der zugeführten Wärme und der absoluten Temperatur verknüpft über die Gleichung:

${\displaystyle dS={\frac {\delta Q}{T}}}$

und nach ${\displaystyle \delta Q}$ aufgelöst:

${\displaystyle \delta Q=T\cdot \mathrm {d} S}$

Der Kreisprozess besteht aus folgenden Teilprozessen:

1. Zustandsänderung (1→2): Isotherme Kompression

Im Kontakt mit dem kalten Wärmereservoir wird dem Arbeitsgas bei konstanter Temperatur (isotherm) eine Wärmemenge ${\displaystyle Q_{1,2}}$ entzogen. Dies führt zu einer Verringerung des Volumens von V₁ zu V₂.

Da bei einem isothermen Prozess für ein ideales Gas für die Änderung der inneren Energie ${\displaystyle dU=0}$ gilt, folgt mit dem 1. Hauptsatz ${\displaystyle \delta Q=TdS=pdV}$ . Damit ergibt sich für die abgeführte Wärmemenge durch Integration

${\displaystyle Q_{1,2}=\int _{1}^{2}T\mathrm {d} S}$

${\displaystyle =\int _{S_{1}}^{S_{2}}T\mathrm {d} S=T_{II}\left(S_{2}-S_{1}\right)<0}$

Der Wert für die Wärmemenge wird negativ, d. h. die Wärme wird aus dem System abgezogen.

2. Zustandsänderung (2→3): Isentrope Kompression (adiabat und reibungsfrei)

Das Gas wird isoliert und mittels mechanischer Arbeit isentrop verdichtet, dadurch auf das höhere Temperaturniveau T_I gebracht.

${\displaystyle Q_{2,3}=0}$

3. Zustandsänderung (3→4): Isotherme Expansion

Im Kontakt mit dem heißen Wärmereservoir expandiert das Gas bei konstanter Temperatur T_I. Es gilt das Gleiche wie oben, d.h. ${\displaystyle dU=0}$ . Damit wird die zugeführte Wärmemenge beschrieben durch:

${\displaystyle Q_{3,4}=\int _{3}^{4}T\mathrm {d} S=\int _{S_{2}}^{S_{1}}T\mathrm {d} S=T_{I}\left(S_{1}-S_{2}\right)>0}$

4. Zustandsänderung (4→1): Isentrope Expansion (adiabat und reibungsfrei)

Das Gas expandiert isentrop unter Verrichtung mechanischer Arbeit, bis der Ausgangszustand bezüglich Druck, Volumen und Temperatur wieder erreicht wird.

${\displaystyle Q_{4,1}=0}$

Der Wirkungsgrad

Der erste Hauptsatz der Thermodynamik lautet

${\displaystyle d{U}=\delta {W}\;+\delta {Q}}$

Nach dem Durchlaufen des Kreisprozesses erreichen alle Zustandsgrößen im System, also auch die innere Energie ihren Ausgangswert, ( ${\displaystyle \Delta U=0}$ ). Die nutzbare Arbeit berechnet sich aus:

${\displaystyle W=-Q}$ .

Für den Carnot-Prozess erhält man somit:

${\displaystyle {\begin{matrix}\left|W\right|&=&(Q_{3,4}+Q_{1,2})\\&=&T_{I}\cdot (S_{1}-S_{2})-T_{II}\cdot (S_{1}-S_{2})\\&=&(T_{I}-T_{II})\cdot (S_{1}-S_{2})\end{matrix}}}$

Der Carnot-Wirkungsgrad gibt das Verhältnis von abgegebener Arbeit zur zugeführten Wärme an:

${\displaystyle \eta _{\mathrm {c} }={\frac {\left|W\right|}{Q_{3,4}}}={\frac {T_{I}-T_{II}}{T_{I}}}=1-{\frac {T_{II}}{T_{I}}}}$

Perpetuum Mobile der zweiten Art

In allen vier Phasen des Prozesses wird mechanische Energie umgewandelt. Die insgesamt gewonnene mechanische Energie nach Durchlaufen des Zyklus ist nur von der zugeführten und abgeführten Wärmemenge abhängig. Die gewonnene mechanische Arbeit entspricht der grün hinterlegten Fläche im T-S-Diagramm.

Bei Temperaturen ungleich 0 K liegt der Carnot-Wirkungsgrad immer unter 1. Da es nach dem dritten Hauptsatz der Thermodynamik nicht möglich ist den absoluten Nullpunkt der Temperatur zu erreichen, gibt es keine reale (zyklisch arbeitende) Maschine, die lediglich einem Reservoir Wärme entzieht und diese vollständig in Arbeit umsetzt. Eine Maschine, die bei vorgegebenen Temperaturen der Wärmereservoirs einen Wirkungsgrad größer dem Carnot-Wirkungsgrad hätte, nennt man ein Perpetuum Mobile zweiter Art. Letztendlich könnte mit der gewonnenen Arbeit wieder der Umkehrprozess als Kältemaschine durchlaufen werden, und es könnte dann eine größere Wärmemenge ${\displaystyle Q_{2,\mathrm {rev} }}$ erzeugt werden als die im Wärmekraftmaschinenprozess eingesetzte.

Die Exergie ist in der Thermodynamik als der Anteil einer thermischen Energie definiert, der als Arbeit genutzt werden kann. Dementsprechend kann der Carnot-Wirkungsgrad auch ausgedrückt werden durch:

${\displaystyle \eta _{\mathrm {c} }={\frac {\text{Exergie}}{\text{thermische Energie}}}}$

Der nicht in Arbeit umwandelbare Anteil der thermischen Energie wird als Anergie bezeichnet.

Darstellung des Prozesses mit idealem Gas im p-V-Diagramm

Im Fall des idealen Gases als Arbeitsmedium lassen sich die spezifischen Volumenänderungsarbeiten überschaubar darstellen. Die einzelnen Arbeiten, die für Zustandsänderungen aufzubringen sind, werden hier unter der Annahme, dass sie positiv (+) sind, dargestellt und erst später bei der Bilanzierung mit dem entsprechenden Vorzeichen versehen:

• 1 - 2 : isotherme Kompression ${\displaystyle {(}T_{1}=T_{2}{)}}$ :

${\displaystyle \ w_{1,2}=RT_{1}\ln {\frac {V_{2}}{V_{1}}}=RT_{1}\ln {\frac {p_{1}}{p_{2}}}}$

• 2 - 3 : isentrope Kompression ${\displaystyle {(}{d}Q=Q_{2-3}=0{)}}$ , es gilt:

${\displaystyle \ w_{2,3}=c_{V}(T_{3}-T_{2})}$

• 3 - 4 : isotherme Expansion ${\displaystyle {(}T_{3}=T_{4}{)}}$ :

${\displaystyle \ w_{3,4}=RT_{3}\ln {\frac {V_{4}}{V_{3}}}=RT_{3}\ln {\frac {p_{3}}{p_{4}}}}$

• 4 - 1 : isentrope Expansion ${\displaystyle {(}{d}Q=Q_{4-1}=0{)}}$

${\displaystyle \ w_{4,1}=c_{V}(T_{4}-T_{1})}$

Arbeit des Carnot-Prozesses

Die Gesamtarbeit des Prozesses ergibt sich mit der Konvention, dass aus dem System herausgehende Wärme und Arbeit mit negativen Vorzeichen (-) versehen werden, zu:

${\displaystyle \ w_{{\text{Carnot}},\mathrm {ges} }=\ w_{1,2}+w_{2,3}-w_{3,4}-w_{4,1}}$

${\displaystyle =RT_{1}\ln {\tfrac {p_{2}}{p_{1}}}-RT_{3}\ln {\tfrac {p_{3}}{p_{4}}}+c_{V}(T_{3}-T_{2})-c_{V}(T_{4}-T_{1})}$

mit ${\displaystyle \ T_{1}=T_{2}}$ und ${\displaystyle \ T_{3}=T_{4}}$ sowie der Isentropengleichung ${\displaystyle \ {\tfrac {T_{a}}{T_{b}}}=\left({\tfrac {p_{a}}{p_{b}}}\right)^{\frac {\kappa -1}{\kappa }}}$ (um das Druckverhältnis p ₃/ p ₄ aufzulösen) ergibt sich:

${\displaystyle w_{\mathrm {ges} }=R\cdot (T_{1}-T_{3})\cdot \ln {\tfrac {p_{2}}{p_{1}}}<0}$

Siehe auch

• Absolute Temperatur
• Clausius-Rankine-Kreisprozess
• Carnot-Methode
• Carnotisierung
• Zustandsänderung
• Stirlingmotor
• Wärmepumpe
• Kältemaschine

Literatur

• Isabelle Stengers: Cosmopolitics I. University of Minnesota Press, Minneapolis 2010. ISBN 978-0-8166-5686-8.

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