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vom 18.05.2020, aktuelle Version,

Knicken

Ein Lineal (Eulerfall  2) wird von oben belastet und knickt aus.

Unter Knicken versteht man in der Technischen Mechanik das (plötzliche) Versagen von Stäben durch seitliches Ausweichen unter axialer Druckbeanspruchung. Das Knicken tritt dann ein, wenn der Stab bei Druckerhöhung sein stabiles Gleichgewicht verliert. Die in der Praxis immer vorhandenen minimalen Abweichungen von der völlig symmetrischen Belastung und gleichmäßigen Form des Stabs führen bei stärkerer Beanspruchung zunächst zur elastischen Biegung des Stabs. Ab einer kritischen Beanspruchung gibt der Stab (plötzlich) nach, verformt sich stark und verliert fast seine gesamte Tragfähigkeit. Die kritische Druckbeanspruchung hängt nicht von der Biegefestigkeit des Stabmaterials, sondern lediglich von dessen Elastizität (E-Modul) ab. Die kritische Druckspannung ist i. d. R. wesentlich kleiner als die Biege- und Druckfestigkeit des Materials, so dass der Stab nur wegen Verlust seines Gleichgewichtes versagt.[1]

Während bei sehr kurzen Stäben unter einer zu hohen Druck-Belastung das Material nachgibt, versagen Stäbe ab einer gewissen Länge durch Knicken, bevor die höchstzulässige Druckspannung des Materials erreicht ist. Die Gefahr des Knickens ist abhängig von:

  • der Einleitung der Druckkraft (symmetrisch oder einseitig asymmetrisch),
  • der Lagerung der Enden des Stabs (etwa per Drehgelenk, verschieblich mit Schub- oder Drehschubgelenk oder fest eingespannt); siehe “Eulersche Knickfälle”
  • der Geometrie des Stabquerschnitts, aus der sich das Flächenträgheitsmoment ergibt,
  • dem Elastizitätsmodul des Materials, aus dem der Stab gefertigt ist.

Man unterscheidet

  • Biegeknicken (seitliches Ausweichen der Stabachse),
  • Drillknicken (Verdrehen des Stabquerschnitts) und
  • Biegedrillknicken (Verdrehen eines Stabquerschnitts bei gleichzeitigem seitlichen Ausweichen).

Dieser Artikel behandelt nur das Knicken eines stabförmigen Bauelements unter Druckkraft. Es ist dabei nicht relevant, ob nach der anfänglichen elastischen Verformung eine plastische Verformung eintritt oder ob der Stab aus sprödem Material besteht und daher durch die aus der Verformung resultierende Biegespannung bricht. Ersteres wird im Alltag gewöhnlich als "Knicken" bezeichnet. Umgangssprachlich wird dabei natürlich nicht unterschieden, ob die Biegung und das resultierende Knicken durch eine reine Druckkraft oder vielmehr durch ein von außen eingebrachtes Biegemoment hervorgerufen wird. Letzteres kommt im Alltag wesentlich häufiger vor.

Eulersche Knickfälle (Biegeknicken)

Die vier Eulerfälle mit folgenden Randbedingungen (v.  l.  n.  r.):
1 )  eingespannt/ frei, 2 )  gelenkig/ gelenkig, 3 )  eingespannt/ gelenkig, 4 )  eingespannt/ eingespannt
Ein Stab im Knickversuch: Eulerfall 2 wegen Drehgelenk unten und Schubgelenk mit zusätzlichem Drehgelenk oben.

Nach Leonhard Euler, der das Knicken schlanker Stäbe als erster behandelt hat, sind vier Fälle für das Knicken des elastischen Stabes mit mittig wirkender Druckkraft benannt. Diese vier Eulerfälle sind in der Baupraxis und Maschinentechnik nicht die einzigen, die vorkommen. Es fehlen z. B. die Fälle, wenn der Stab oben vertikal geführt ist, aber seitlich ausweichen kann. Der zusätzlich unten eingespannte Stab ist ein sinnvolles Modell für Säulen in Skelettbauweise und entspricht numerisch dem Eulerfall (2)[2]. Weiter fehlen elastisch gebettete Stäbe (z. B. Pfähle) als auch Drehfedermodelle, die in der Realität praktisch immer vorherrschen, da man i. d. R. weder ideale Einspannungen noch ideale Gelenke herstellen kann.

Euler untersuchte das Gleichgewicht der Spannungen an bereits verformten Stäben, dieser Lösungsansatz war für seine Zeit neu und führte zu umfangreichen Erkenntnissen innerhalb der Stabilitätstheorie.

Der Eulerfall (2)

Die Eulerschen Knickfälle gelten für Stäbe mit konstantem Querschnitt über die ganze Länge. Für jeden dieser Fälle ermittelte er die kritische Druckkraft, bei deren Überschreiten das Knicken eintritt. Hierzu gibt es unterschiedliche Möglichkeiten der Herleitung.[3] Die folgende Herleitung für den sogenannten Eulerfall (2) hat den Vorteil, besonders anschaulich zu sein.[4]

Man geht von einer beliebig kleinen, schon vorhandenen sinusförmigen Verbiegung aus. Mit dem Biegemoment aus der Druckkraft und dem Ausbiegemaximum    kann mit der Differentialgleichung der Elastischen Linie die sich einstellende zusätzliche Ausbiegung   errechnet werden. Diese ergibt ein weiteres zusätzliches Biegemoment und die weitere zusätzliche Ausbiegung  . Der Vorgang wiederholt sich unendlich viele Male. Die Gesamt-Ausbiegung ist

+ ... .

Die jeweils folgende Ausbiegung sei   (mit i≥1) .

Damit folgt

.

Da die jeweils folgende der vorhergehenden Biegung ähnlich ist (sinusförmig), kann geschrieben werden:

= ... ,

und mit  

.

Diese geometrische Reihe konvergiert. Ihr Summenwert ist endlich groß. Mit anderen Worten: Wenn   ,  hat die Endausbiegung    einen endlichen Wert. Bei     knickt der Stab aus.

  wird Knickbedingung genannt.

Die kritische Druckkraft    bzw. die Eulerkraft errechnet sich wie folgt:

Gleichung für angenommene anfängliche Biegelinie:

  ( : Stablänge = : Knicklänge).

Differentialgleichung für :

  ( : Elastizitätsmodul; : axiales Flächenträgheitsmoment des Querschnittes)

Nach zweimaliger Integration (Randbedingungen , wenn bzw. ) und Einsetzungen:

.
.

Wenn   , dann ist die kritische Druckkraft:

.

Die Eulerfälle (1) und (4)

In diesen beiden Eulerfällen sind die sinusförmig angenommenen Biegelinien andere Ausschnitte einer ganzen Sinuslinie (siehe obige Abbildung), weshalb ihre Gleichungen unmittelbar aus der für den Fall (2) folgen:

(2):   halbe Sinuslinie >> Länge   ,      ,

(1):  viertel Sinuslinie >> Länge   ,      ,
(4):  ganze Sinuslinie >> Länge   ,      .

: Stablänge, : Knicklänge

 wird als Knicklängenbeiwert und    als Knicklänge bezeichnet.

Die anderen kritischen Druckkräfte sind  :

(1):
(4):

Der Eulerfall (3)

.[3]

(3):

Weitere Größen

Als weitere Größe wird der Schlankheitsgrad verwendet:

wobei für den Trägheitsradius des Querschnittes steht.

Weiterhin ergibt sich die Knickspannung zu:

Die Funktion ergibt eine Hyperbel zweiten Grades, die so genannte Euler-Hyperbel. Dividiert durch den Elastizitätsmodul ergibt sich die Knickdehnung, eine Größe, die nur von der Geometrie (Länge, Querschnittsform und -größe, Lagerung) abhängig ist.

Nicht elastisches Ausknicken nach Tetmajer

Wassertürme stellen aufgrund der in gefülltem Zustand hohen einwirkenden Last besonders knickgefährdete Strukturen dar. Dieser Wasserturm ist daher mit zwei zusätzlichen Versteifungsebenen versehen

Bei gedrungenen Stäben schließt sich unterhalb eines Grenzschlankheitsgrades ein Bereich des Knickens an, der nicht mehr alleine durch die Elastizität des Materiales gekennzeichnet ist. Für einen Baustahl mit der Bezeichnung S235JR (S235JRG2 – alte Bezeichnung: St37) liegt die Grenze für bei 105. Für andere Werkstoffe werden ähnliche Grenzwerte angegeben.

Die Grenzschlankheit lässt sich auch berechnen. Sie ergibt sich zu:

,

wenn die Proportionalgrenze des Werkstoffes des gedrückten Stabes ist.

Unterhalb dieses Grenzschlankheitsgrades sind Gleichungen nach Tetmajer gültig. Dies sind Zahlenwertgleichungen, die den Schlankheitsgrad als unabhängige Variable in der Funktion haben. Sie haben folgenden Aufbau:

Die Koeffizienten für die Tetmajer-Gleichung können für die geläufigsten Bauwerkstoffe der folgenden Tabelle entnommen werden:

Werkstoff Koeffizient a Koeffizient b Koeffizient c
Nadelholz 29,3 –0,194 0,000
Gusseisen (Grauguss) 776,0 –12,000 0,053
Baustahl S235JRG2 (St37) 310,0 –1,140 0,000
Baustahl S355J2G3 (St52) 335,0 –0,620 0,000

Ein- oder zweiachsiges Biegeknicken

Es seien die Stab- bzw. Balkenachse, und die Hauptträgheitsachsen des (nicht verwundenen) Querschnittes. Dann ist – wenn die Randbedingungen es erlauben – ein Ausweichen der Stabachse

  • nur in der xη-Ebene (einachsiges Knicken, im Allgemeinen ist maßgebend) oder
  • nur in der xζ-Ebene (einachsiges Knicken, im Allgemeinen ist maßgebend) oder
  • in beiden Ebenen gleichzeitig (zweiachsiges Knicken)

möglich. Letztere Möglichkeit ist insbesondere dann zu berücksichtigen, wenn Knicklasten für das einachsige Knicken in den beiden Ebenen nicht weit auseinanderliegen. Eine getrennte Behandlung der beiden einachsigen Knickvorgänge ist dann nicht möglich, weil Einflüsse nichtlinearen Materialverhaltens eine Kopplung bewirken. Anzumerken ist, dass für Knicken Krümmungen () (z. B. zufolge Belastung (Biegemoment,Temperaturdifferenzen), Vorverformungen (z. B. Vorverdrehungen , oder Vorverkrümmungen) sowie andere Imperfektionen und Querbelastungen(M,Q,q)) sich maßgeblich auf die Stabilitätsgefährdung auswirken und es deshalb dazu führen kann, dass Träger um die Starke Achse ausknicken (z. B. Sparren eines Dachstuhles).

Knicken unter axialen Massenkräften

Ein Schornstein muss gegen Knicken unter Eigengewicht ausgelegt werden

Das Knicken unter axialen Massenkräften, z. B. dem Eigengewicht oder bei hoher axialer Beschleunigung ist ein Stabilitätsfall, der nicht mit den von Euler oder von Tetmajer überlieferten Lösungsansätzen berechnet werden kann. Die kombinatorische Variation der möglichen Lagerungen ergibt sieben verschiedene Knickfälle[5]. Bei zylindrischen Stäben führen solche Knickprobleme auf Besselsche Differentialgleichungen, deren Lösungen mit Hilfe tabellierter Besselfunktionen numerisch bestimmt werden müssen[6]. Ein klassisches Beispiel für dieses Problem sind die Schornsteine großer Kohlekraftwerke. Die Bestimmung der notwendigen Flächenträgheitsmomente für einen solchen Fall kann mit dem Verfahren von Ritz erfolgen. Heutzutage wird es durch die Finite-Elemente-Methode häufig aus der Praxis verdrängt.

Drillknicken und Biegedrillknicken

Reines Drillknicken (Verdrillung des Stabes bei unverändert gerader Stabachse) ist im Allgemeinen nicht von praktischem Interesse, weil ein Ausweichen der Stabachse in der Regel bereits bei geringeren Lasten eintritt.

Biegedrillknicken an einem mittig durch eine Einzelkraft belasteten I-Profil:
a) Ansicht (ohne Verformung gezeichnet)
b) Querschnitt in der Nähe des Auflagers
c) infolge Biegedrillknickens verdrehter Querschnitt in Trägermitte

Dagegen ist die Stabilität eines Trägers unter Umständen auch dann durch Biegedrillknicken gefährdet, wenn keine Druckkräfte vorhanden sind. Das Bild zeigt ein Beispiel, eine ältere Bezeichnung für das Versagen eines biegebelasteten Trägers durch Biegedrillknicken ist Kippen.

Der Widerstand gegen Biegedrillknicken wird neben den oben angeführten Einflüssen durch die Verdrehsteifigkeit und durch verdrehungsbehindernde Stützung des Balkens beeinflusst.

Mathematische Modelle des Knickproblems

Die Differentialgleichung des Knickproblems kann durch die Formulierung der Gleichgewichtsbedingungen am verformten Stab oder Balken gewonnen werden (Theorie II. Ordnung, siehe Baustatik).

Verformung-Kraft-Verlauf des Knickvorganges bei unterschiedlichen mathematischen Modellen

Wird die Differentialgleichung für einen geraden, unbeschränkt elastischen Stab bei mittiger Lasteintragung linearisiert, so führt das mathematisch auf ein Eigenwertproblem. Beim ersten Eigenwert verzweigt sich die Lösung der Differentialgleichung, die Grenze der Stabilität ist erreicht (schwarze horizontale Linie). Verzichtet man auf die Linearisierung der Differentialgleichung, dann zeigt sich, dass mit rasch wachsender Verformung noch eine (geringe) Laststeigerung erreicht werden kann (gestrichelte schwarze Linie).

Werden die (unvermeidlichen) Imperfektionen (Vorverformungen der Stabachse, Ungleichmäßigkeiten des Werkstoffes, Eigenspannungen, Exzentrizität der Lasteintragung) berücksichtigt, dann entsteht eine inhomogene Differentialgleichung (kein Eigenwertproblem). Die Verformungen nehmen schon vor dem Erreichen der Verzweigungslast stark zu. Die Kurve nähert sich – wenn die Differentialgleichung linearisiert wurde – der Verzweigungslast asymptotisch (rote Kurve). Voraussetzung dafür ist, dass der Werkstoff im rein elastischen Bereich bleibt und die Stäbe schlank sind.

Bei einer Teilplastifizierung des Querschnittes bei gedrungenen Stäben unterhalb der Verzweigungslast kann diese nicht erreicht werden (blaue Kurve).

Knicknachweis bei stabilitätsgefährdeten Stabkonstruktionen aus Stahl

Die seit November 2010 gültige DIN EN 1993-1-1:2010 (Eurocode 3) lässt drei Verfahren zu:

  • Berechnung des Gesamtsystems nach Theorie II. Ordnung, wobei die zu berücksichtigenden Imperfektionen durch die Norm vorgegeben sind oder
  • Teilsysteme des Tragwerks werden mit Vorverkrümmungen und -verdrehungen nach Theorie II. Ordnung nachgewiesen. Außerdem werden der Biegedrillknicknachweis und der Biegeknicknachweis mit dem Ersatzstabverfahren durchgeführt.
  • Anwendung des „Ersatzstabverfahrens“ für die einzelnen Stäbe nach Theorie I. Ordnung. Hier sind die zu berücksichtigenden Imperfektionen implizit im Berechnungsverfahren enthalten.

Das Omega-Verfahren

Das -Verfahren wurde von der Deutschen Reichsbahn für die eigenen Stahlbrücken aus Baustahl entwickelt und war in der DIN 4114 festgelegt. Es lieferte einen sehr einfachen Nachweis der Knicksicherheit. In Abhängigkeit vom Schlankheitsgrad wurden die Knickzahlen in zwei Tabellen für die Werkstoffe S235JR+AR (St37) und S355J2+N (St52) aufgetragen. Bei Schlankheitsgraden kleiner als 20 war kein Knicksicherheitsnachweis notwendig; Schlankheitsgrade größer 250 waren unzulässig. Die auch -Zahlen genannten Knickwerte lagen zwischen 1 und 10,55 bei S235JR+AR. Der Sicherheitsnachweis hatte die folgende Form:

Die Wert von entspricht der zulässigen Druckspannung für den entsprechenden Werkstoff im zugehörigen Lastfall. Der große Vorteil des Verfahrens lag in der Tatsache, dass der Knicknachweis auf einen einfachen Spannungsnachweis mit Druckkräften reduziert wurde. In den -Zahlen waren Knicksicherheiten von 1,3 bis 1,5 eingearbeitet.

Für den Fall, dass keine Tafel der -Zahlen zur Verfügung steht, können für den Werkstoff S235JR+AR (St37) die -Zahlen näherungsweise nach der folgenden Formel bestimmt werden:

Das Verfahren wurde zwischenzeitlich durch andere und genauere Verfahren ersetzt, besitzt aber durch seine Anschaulichkeit noch eine gewisse Bedeutung in der Ausbildung von Ingenieuren.

Literatur

Einzelnachweise

  1. maschinenbau-wissen.de Beispiel für die geringe kritische Knickspannung von 3,24 N/mm2 beim Versagen eines Stabes aus Stahl (E = 2,1·105 N/mm2) mit Durchmesser 5mm und Länge 500mm (Eulerscher Knickfall (1)). Die Zugfestigkeit von einfachem Baustahl (ST37) ist mindestens das 100-fache davon.
  2. Kunz, Johannes: Druckbelastungsgrenzen von Stäben geringer Schlankheitsgrade. In: Konstruktion 60(2008)4, S. 94–98
  3. 1 2 August Föppl: Vorlesungen über Technische Mechanik - dritter Band: Festigkeitslehre, Verlag Oldenbourg, 1944, zehnter Abschnitt
  4. Fritz Stüssi: Baustatik I, Birkhäuser, 1971, Seite 324
  5. Kunz, Johannes: Knicken unter der Wirkung axialer Massenkräfte. In: Kunststoffe 102(2012)9, S. 86–89
  6. Willers, F. A.: Das Knicken schwerer Gestänge. In: Z. angew. Math. Mech. 21(1941)1, S. 43–51.