Öffnungswinkel des Machschen Kegels

Die Gleichung für den halben Öffnungswinkel des Machschen Kegels lautet:

${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {s_{\text{Welle}}}{s_{\text{Objekt}}}}={\frac {c_{\mathrm {S} }\cdot t}{v\cdot t}}={\frac {c_{\mathrm {S} }}{v}}={\frac {1}{\mathit {Ma}}}\,}$

• ${\displaystyle s}$: in der Zeit ${\displaystyle t}$ zurückgelegter Weg
• ${\displaystyle \varphi }$: machscher Winkel
• ${\displaystyle c_{\mathrm {S} }}$: Schallgeschwindigkeit
• ${\displaystyle v}$: Fluggeschwindigkeit des Objekts
• ${\displaystyle {\mathit {Ma}}}$: Mach-Zahl

Bei Schallgeschwindigkeit hat der Kegelöffnungswinkel eine Größe von 180°. Der Kegel hat in diesem Fall die Form einer ebenen Stoßfront angenommen. Für ${\displaystyle v>c_{\mathrm {S} }}$ bilden die sich durchdringenden Kugelwellenfronten Kegel mit konstruktiver Interferenz.

Beschreibung von dynamischen Wellenbildern

• ${\displaystyle c_{s}}$: Schallgeschwindigkeit
• ${\displaystyle f_{s}}$: Frequenz der Schallquelle
• ${\displaystyle \omega _{s}}$: Kreisfrequenz der Schallquelle
• ${\displaystyle \lambda }$: Wellenlänge
• ${\displaystyle v_{x},v_{y}}$: Geschwindigkeit des Flugzeugs
• ${\displaystyle k}$: Wellenpropagationskonstante
• ${\displaystyle \varphi }$: Azimutaler Winkel (Polarkoordinaten)

Beschreibung der Wellenfront als verschobene Kreisparametrisierung:

${\displaystyle {\overrightarrow {\lambda }}(\alpha )={\begin{pmatrix}\lambda _{x}(\alpha )\\\lambda _{y}(\alpha )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {c_{s}}{f_{s}}}\cos(\alpha )-{\frac {v_{x}}{f_{s}}}\\{\frac {c_{s}}{f_{s}}}\sin(\alpha )-{\frac {v_{y}}{f_{s}}}\end{pmatrix}}\quad \quad \alpha \in [-\pi ,\pi ]}$

Hierbei entspricht ${\displaystyle \alpha }$ einem freien Parameter welcher sich im Intervall ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ befindet, ist jedoch nicht gleich dem typischen azimutalen Umlaufwinkel der Polarkoordinaten. Die geometrische Herleitung ist in der Abbildung „Graphische Darstellung des Wellenlängenvektors“ zu sehen.

Die winkelabhängige Wellenlänge ist die Norm dieser Kreisparametrisierung:

${\displaystyle \lambda (\alpha )=\|{\overrightarrow {\lambda }}(\alpha )\|={\sqrt {\lambda _{x}^{2}(\alpha )+\lambda _{y}^{2}(\alpha )}}}$

Die Wellenpropagationskonstante lässt sich damit wie folgt angeben:

${\displaystyle k(\alpha )={\frac {2\pi }{\lambda (\alpha )}}}$

Der azimutale Umlaufwinkel wird in Abhängigkeit von ${\displaystyle \alpha }$ aus den Komponenten des Wellenlängenvektors berechnet werden:

${\displaystyle \tan(\varphi (\alpha ))={\frac {\lambda _{y}(\alpha )}{\lambda _{x}(\alpha )}}\quad \rightarrow \quad \varphi (\alpha )=\arctan 2(\lambda _{y}(\alpha ),\lambda _{x}(\alpha )),\quad -\pi \leq \alpha \leq \pi }$

Eine effektive Umrechnung des azimutalen Winkels ${\displaystyle \varphi }$ in den Parameterwinkel ${\displaystyle \alpha }$ ist gegeben durch die folgende Formel in Determinanten-Schreibweise:

${\displaystyle \alpha (\varphi )=\varphi -{\text{arcsin}}\left({\frac {1}{c_{s}}}\cdot {\begin{vmatrix}v_{x}&\cos \varphi \\v_{y}&\sin \varphi \end{vmatrix}}\right)\quad ,\quad -\infty <\varphi <\infty }$

Die Wellengleichung lässt sich damit als parametrisierte Fläche folgendermaßen beschreiben:

${\displaystyle {\overrightarrow {u}}(r,\varphi ,t)={\begin{pmatrix}x(r,\varphi ,t)\\y(r,\varphi ,t)\\z(r,\varphi ,t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cdot \cos \varphi \\r\cdot \sin \varphi \\A\cdot \cos(\omega _{s}t-k(\alpha (\varphi ))\cdot r)\end{pmatrix}}}$

Der Parameter ${\displaystyle r}$ entspricht dem radialen Parameter der Polarkoordinaten. Die weiter oben zu sehende Animation ist nach diesem Berechnungsprinzip erstellt. Bei einer Mach-Zahl von 2 ist der Öffnungswinkel des Kegels exakt 30°.