Einfache Herleitung

Bewegt sich ein Punkt mit gleichbleibender Bahngeschwindigkeit ${\displaystyle v}$ auf einer Kreisbahn, so ist die Geschwindigkeit in jedem Moment senkrecht zum Radius ${\displaystyle r_{1}=r_{2}=r}$ des Kreises gerichtet. Die nebenstehende Zeichnung veranschaulicht diese Verhältnisse für die Zeitpunkte ${\displaystyle t_{1}}$ und ${\displaystyle t_{2}.}$

Zunächst lassen sich die Zusammenhänge rein geometrisch betrachten: Der in der Skizze blau dargestellte Pfeil ${\displaystyle v'_{1}}$ entsteht durch Parallelverschiebung des Pfeils ${\displaystyle v_{1}.}$ Ihre Längen entsprechen der Länge des Pfeils ${\displaystyle v_{2}.}$ Für die Längen dieser drei Pfeile gilt also:

${\displaystyle v_{1}=v'_{1}=v_{2}=v}$

Zudem sind die Dreiecke ${\displaystyle Q_{2}P_{2}Q_{1}}$ und ${\displaystyle P_{2}MP_{1}}$ ähnlich im geometrischen Sinn, denn:

• Sowohl ${\displaystyle v_{2}}$ und ${\displaystyle v'_{1}}$ als auch ${\displaystyle r_{2}}$ und ${\displaystyle r_{1}}$ sind jeweils Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks.
• Die von den oben genannten Seiten eingeschlossenen Winkel ${\displaystyle \alpha }$ sind gleich, weil die Schenkel der Winkel paarweise orthogonal sind: ${\displaystyle v_{2}}$ ist orthogonal zu ${\displaystyle r_{2}}$, und aufgrund der Parallelität von ${\displaystyle v_{1}}$ und ${\displaystyle v'_{1}}$ sind auch ${\displaystyle v'_{1}}$ und ${\displaystyle r_{1}}$ orthogonal.

Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke ${\displaystyle Q_{2}P_{2}Q_{1}}$ und ${\displaystyle P_{2}MP_{1}}$ folgt:

${\displaystyle {\frac {\Delta v}{v}}={\frac {\Delta s}{r}}}$

Multipliziert mit ${\displaystyle v}$ erhalten wir:

${\displaystyle \Delta v=\Delta s\,{\frac {v}{r}}}$

Eine Division durch die Zeitspanne ${\displaystyle \Delta t:=t_{2}-t_{1}}$ ergibt:

${\displaystyle {\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {v}{r}}{\frac {\Delta s}{\Delta t}}}$,

Wird nun ${\displaystyle \Delta t}$ hinreichend klein gewählt, so gilt:

• Der vom Objekt zurückgelegte Weg ${\displaystyle \Delta s}$ entspricht einem Abschnitt auf der Kreisbahn, und ${\displaystyle {\tfrac {\Delta s}{\Delta t}}=v}$ ist die Bahngeschwindigkeit des Objekts.
• Die Zentripetalbeschleunigung ist die Beschleunigung ${\displaystyle a_{\mathrm {Z} }={\tfrac {\Delta v}{\Delta t}}}$ , die das Objekt in Richtung Kreismittelpunkt erfährt.

Dann strebt die Gleichung gegen:

${\displaystyle a_{\mathrm {Z} }={\frac {v^{2}}{r}}=v^{2}\cdot \kappa }$,

mit der Krümmung ${\displaystyle \kappa }$ der Bahn. Ist nun das kreisende Objekt nicht nur ein geometrischer Punkt, sondern ein Objekt mit der Masse ${\displaystyle m}$, so muss es eine Kraft geben, die das Objekt auf seiner Bahn hält. Die Kraft muss zum Kreismittelpunkt gerichtet sein und wird „Zentripetalkraft“ genannt. Nach dem 2. Newtonschen Gesetz gilt für den Betrag der Zentripetalkraft ${\displaystyle F_{\mathrm {Z} }}$ somit:

${\displaystyle F_{\mathrm {Z} }=m\,a_{\mathrm {Z} }}$

Diese Zentripetalkraft wirkt auf jeden Körper mit der Masse ${\displaystyle m}$, der sich mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ auf einer Bahn mit dem lokalen Krümmungsradius ${\displaystyle r}$ bewegt.

Vektorielle Darstellung

Für einen Punkt, der sich auf einer beliebigen (glatten) Kurve im Raum bewegt, gibt es zu jedem Punkt der Bahn eine eindeutig bestimmte Schmiegkugel, so dass die Bahn bis zur 3. räumlichen Ableitung der Kugeloberfläche folgt. Der Mittelpunkt der Kugel ist der Krümmungsmittelpunkt. Er bestimmt zusammen mit der Bahntangente, die auch die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ${\displaystyle {\vec {v}}}$ angibt, die momentane Bahnebene. Diese schneidet die Schmiegkugel in einem Großkreis, auf dem sich der Punkt im betrachteten Moment im Zustand einer Kreisbewegung um den Krümmungsmittelpunkt befindet. Die Achse dieser Kreisbewegung steht in deren Mittelpunkt senkrecht auf der Bahnebene. Der Geschwindigkeitsvektor und der Vektor ${\displaystyle {\vec {r}}}$ vom Krümmungsmittelpunkt zum Ort des betrachteten Punkts stehen senkrecht aufeinander und erfüllen zusammen mit dem Winkelgeschwindigkeitsvektor ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ der Kreisbewegung die Gleichung

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}}$.

Wenn der Punkt nicht in tangentialer Richtung beschleunigt wird, verschwindet die erste Ableitung von ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$. Die Beschleunigung ${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}}$ zeigt dann zum Krümmungsmittelpunkt, und gibt die Zentripetalbeschleunigung ${\displaystyle {\vec {a}}_{\mathrm {Z} }}$ an.

${\displaystyle {\vec {a}}_{\mathrm {Z} }={\vec {\omega }}\times {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {\omega }}\times {\vec {v}}}$.

Da die Vektoren ${\displaystyle {\vec {v}}}$ und ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ senkrecht aufeinander stehen, können die Beträge verwendet werden. Mit ${\displaystyle \omega =v/r}$ ergibt sich für den Betrag der Zentripetalbeschleunigung dieselbe Gleichung wie oben:

${\displaystyle a_{\mathrm {Z} }=\omega \,v={\frac {v^{2}}{r}}}$.

Herleitung im kartesischen Koordinatensystem

Zunächst für eine gleichförmige Kreisbewegung eines Punktes mit Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ auf einer Kreisbahn mit Radius ${\displaystyle r}$: In einem xy-Koordinatensystem in der Kreisebene mit dem Ursprung im Mittelpunkt des Kreises hat der Punkt (bei geeigneter Wahl des Zeitnullpunkts und ${\displaystyle \omega ={\tfrac {v}{r}}}$) die Koordinaten

${\displaystyle {\vec {r}}={\begin{pmatrix}r\,\cos(\omega t)\\r\,\sin(\omega t)\end{pmatrix}}}$.

Seine Beschleunigung ist die zweite Ableitung

${\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}-\omega ^{2}r\;\cos(\omega t)\\-\omega ^{2}r\;\sin(\omega t)\end{pmatrix}}}$.

Daher ist

${\displaystyle {\vec {a}}_{Zp}=-\omega ^{2}\;{\vec {r}}}$,

oder dem Betrag nach

${\displaystyle a_{Zp}=\omega ^{2}\;r={\frac {v^{2}}{r}}=v^{2}\cdot \kappa }$.

Diese Herleitung nutzt ein bestimmtes Koordinatensystem, um einen möglichst einfachen Weg darzustellen. Das Ergebnis ist aber eine Gleichung zwischen koordinatenunabhängigen Größen und gilt daher in jedem Koordinatensystem. Die Herleitung ist auch räumlich und zeitlich lokal und gilt daher für beliebig gekrümmte Bewegung und variable Bahngeschwindigkeit, wenn man für r den lokalen Krümmungsradius und für v die momentane Bahngeschwindigkeit einsetzt.