Zentripetalkraft

Die Zentripetalkraft (auch Radialkraft) ist die Komponente der äußeren Kraft zum Mittelpunkt des Krümmungskreises, die auf einen Körper wirken muss, damit sich dieser im Inertialsystem auf einer gekrümmten Bahn bewegt.[1]

Ohne diese Kraft würde sich der Körper nach dem Trägheitsgesetz gleichförmig in Richtung des momentanen Geschwindigkeitsvektors (dem Tangentialvektor der Bahn) bewegen, wie dies z. B. bei Funken beobachtet wird, die sich von einer Schleifscheibe ablösen. Die Bewegung auf einer vorgegebenen Bahn, z. B. bei Achterbahnen, erfordert eine Zentripetalbeschleunigung (auch Radialbeschleunigung), aus der die Zentripetalkraft durch Multiplikation mit der Masse berechnet werden kann.

Die Zentripetalkraft steht senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor im Inertialsystem. Sie unterscheidet sich somit von der Zentrifugalkraft, die nur berücksichtigt werden muss, wenn man die Bewegung in einem beschleunigten Bezugssystem beschreibt.

Etymologie und Begriffsgeschichte

Der Begriff Zentripetalkraft leitet sich von petere (lateinisch für streben nach, sich begeben) ab. Er wurde als vis centripeta von Isaac Newton eingeführt. Newton verwendete den Begriff allerdings nicht im heutigen Sinne, sondern im Sinne einer anziehenden Zentralkraft.[2] Den Namen prägte Newton als Gegensatz zu der von Christian Huygens zuvor eingeführten Zentrifugalkraft.[3][4]

Zentripetalkraft und Zentralkraft

Während eine Zentralkraft stets auf den gleichen Punkt gerichtet ist, zeigt die Zentripetalkraft zum Mittelpunkt des momentanen Krümmungskreises. Nur bei einer reinen Kreisbewegung ist die Zentripetalkraft eine Zentralkraft. Im allgemeinen Fall, also z. B. bei einer elliptischen Planetenbahn, zerfällt die auf den einen Brennpunkt gerichtete Zentralkraft in die Zentripetalkraft, die zum Zentrum der Krümmung an diesem Ort gerichtet ist, und in eine Tangentialkomponente. Die Tangentialkomponente erhöht bzw. vermindert die Geschwindigkeit des Planeten und sorgt dafür, dass er sich in Sonnennähe schneller bewegt als in Sonnenferne. In nebenstehender Abbildung sind am Beispiel eines Punktes auf dem Umfang eines Rades die Zerlegung der äußeren Kraft in Zentripetalkraft und Tangentialkomponente gezeigt.

Beispiele

• Wenn ein Auto eine Kurve durchfährt, ist dies nur dadurch möglich, dass eine zur Innenseite der Kurve gerichtete Zentripetalkraft wirkt. Sie ergibt sich aus der Summe der Seitenkräfte, die zwischen Reifen und Fahrbahn entstehen und auf das Fahrzeug einwirken. Fehlt diese Kraft (z. B. bei Glatteis), so bewegt sich das Auto geradlinig weiter, wird also aus der Kurve getragen. Der Fahrzeuginsasse bewegt sich auf der gleichen Kreisbahn wie das Auto, weil der Sitz auf ihn eine Zentripetalkraft ausübt.
• Die Erde bewegt sich (annähernd) auf einer Kreisbahn um die Sonne. Diese Kreisbewegung wird durch die von der Sonne auf die Erde ausgeübte Gravitationskraft verursacht, die dabei als Zentripetalkraft dient. Genau genommen ist die Erdbahn wie die Bahnen aller Planeten keine Kreisbahn, sondern eine Ellipsenbahn. Die Gravitation zeigt als Zentralkraft auf die Sonne, die sich in einem der Ellipsenbrennpunkte befindet. Diese Zentralkraft weicht jedoch leicht von der Zentripetalkraft ab, die zum Zentrum der lokalen Bahnkrümmung zeigt. Die Differenz zwischen Zentralkraft und Zentripetalkraft ist eine Tangentialkomponente, die dafür sorgt, dass der Planet sich in Sonnennähe (im Perihel) schneller bewegt als in Sonnenferne.
• Bewegen sich Elektronen senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld, so werden sie durch die Lorentzkraft senkrecht zur Richtung der Bewegung und des Magnetfelds in eine Kreisbahn abgelenkt. In diesem Beispiel ist also die Lorentzkraft die Zentripetalkraft.
• Bei Luftwirbeln ist die Zentripetalkraft der Druckgradient, d. h. im Wirbelkern herrscht Unterdruck.

Mathematische Herleitung

Bewegt sich ein Objekt mit gleichbleibender Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ auf einer Kreisbahn, so ist die Geschwindigkeit in jedem Moment senkrecht zum Radius ${\displaystyle r}$ des Kreises. Die nebenstehende Zeichnung veranschaulicht diese Verhältnisse für die Zeitpunkte ${\displaystyle t_{1}}$ und ${\displaystyle t_{2}.}$

Zunächst lassen sich die Zusammenhänge rein geometrisch betrachten: Der in der Skizze blau dargestellte Pfeil ${\displaystyle v'_{1}}$ entsteht durch Parallelverschiebung des Pfeils ${\displaystyle v_{1}.}$ Ihre Längen sind dieselben wie die des Pfeils ${\displaystyle v_{2}.}$ Für die Längen der drei Pfeile gilt also:

${\displaystyle v_{1}=v'_{1}=v_{2}=v}$

Hieraus folgt die Ähnlichkeit der Dreiecke ${\displaystyle MP_{1}P_{2}}$ und ${\displaystyle P_{2}Q_{1}Q_{2}}$ und somit

${\displaystyle {\frac {\Delta v}{v}}={\frac {\Delta s}{r}}}$

oder nach Multiplikation mit ${\displaystyle v:}$

${\displaystyle \Delta v=\Delta s\cdot {\frac {v}{r}}}$

Eine Division durch die Zeitspanne ${\displaystyle \Delta t\colon =t_{2}-t_{1}}$ ergibt

${\displaystyle {\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}\cdot {\frac {v}{r}}.}$

Wird nun ${\displaystyle \Delta t}$ hinreichend klein gewählt, so gilt:

• Der vom Objekt zurückgelegte Weg ${\displaystyle \Delta s}$ entspricht einem Abschnitt auf der Kreisbahn. Somit ist die Geschwindigkeit ${\displaystyle v={\frac {\Delta s}{\Delta t}}}$ die Bahngeschwindigkeit des Objekts.
• Die Beschleunigung ${\displaystyle a_{\mathrm {Z} }={\frac {\Delta v}{\Delta t}}}$ ist die Zentripetalbeschleunigung in Richtung Kreismittelpunkt, die das Objekt erfährt.

Daher wird die Gleichung ${\displaystyle {\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}\cdot {\frac {v}{r}}}$ für kleine ${\displaystyle \Delta t}$ zu

${\displaystyle a_{\mathrm {Z} }=v\cdot {\frac {v}{r}}}$

bzw.

${\displaystyle a_{\mathrm {Z} }={\frac {v^{2}}{r}}.}$

Ist das Objekt nicht nur ein Punkt, sondern hat auch eine Masse ${\displaystyle m,}$ so lässt sich entsprechend Newtons Aktionsprinzip der Betrag der Zentripetalkraft ${\displaystyle F_{\mathrm {Z} }=ma_{\mathrm {Z} }}$ bestimmen:

${\displaystyle F_{\mathrm {Z} }=m\cdot {\frac {v^{2}}{r}}}$

Diese Zentripetalkraft wirkt auf jeden Körper mit der Masse ${\displaystyle m,}$ der sich mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ auf einer Kreisbahn mit dem Radius ${\displaystyle r}$ bewegt.

Rotiert eine Masse mit der Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle \omega }$ um einen ortsfesten Mittelpunkt, kann die Bahngeschwindigkeit ${\displaystyle v}$ durch ${\displaystyle \omega \cdot r}$ ersetzt werden. Hieraus folgt

${\displaystyle a_{\mathrm {Z} }=\omega ^{2}r}$

und

${\displaystyle \,F_{\mathrm {Z} }=m\omega ^{2}r.}$

Einzelnachweise

1. ↑ M. Alonso, E. J. Finn, Physik, 3. Auflage
2. ↑ Principia, Definition 5 am Anfang des Werks
3. ↑ I. Bernard Cohen: Newtons Third Law and Universal Gravity. In: Paul B. Scheurer, G. Debrock: Newtons Scientific and Philosophical Legacy. Kluwer, Dordrecht 1988, S. 47. ISBN 90-247-3723-0
4. ↑ I. Bernard Cohen: Introduction to Newtons Principia. London 1971, S. 53, 296.

Literatur

• Isaac Newton: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Cambridge, London 1726, neu hrsg. v. Alexandre Koyré, I. Bernard Cohen. London 1971.
• David Halliday, Robert Resnick: Physics, Part I and II Combined. New York 1978, Third Edition, S. 59-62. ISBN 0-471-02456-2

Weblinks

  Commons: Zentripetalkraft  – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien