Grundlegende Zusammenhänge

Ein elektrischer Widerstand ist dann ein ohmscher Widerstand, wenn sein Wert unabhängig von der Spannung, der Stärke des Stromes und irgendwelchen Parametern ist. An einem solchen Widerstand gilt das ohmsche Gesetz. Wird in einem Liniendiagramm die Spannung ${\displaystyle U}$ über der Stromstärke ${\displaystyle I}$ aufgetragen, entsteht bei einem ohmschen Widerstand eine Ursprungsgerade; die an einem Bauteil mit ohmschem Widerstand abfallende Spannung ist proportional zur Stromstärke im Widerstand mit dem Proportionalitätsfaktor ${\displaystyle R}$; dieser ist zugleich der Anstieg der Geraden:

${\displaystyle U=R\cdot I\ .}$

Näherungsweise und mit Einschränkungen kann ein ohmscher Widerstand durch ein Bauelement, im einfachsten Fall einen Metalldraht, realisiert werden. Dieses wird üblicherweise ebenfalls als Widerstand – siehe Widerstand (Bauelement) – bezeichnet.

Wenn durch den Strom im Widerstand ein Spannungsabfall entsteht, wird elektrische Energie in thermische Energie umgesetzt.

Der Kehrwert des ohmschen Widerstands, also der Proportionalitätsfaktor zwischen Stromstärke und Spannung, heißt elektrischer Leitwert ${\displaystyle G}$ eines Leiters. Es gilt also:

${\displaystyle G={\frac {1}{R}}\ .}$

Berechnung des Widerstands eines Leiters

Der ohmsche Widerstand eines Körpers lässt sich aus seinen geometrischen Abmessungen und einer Material-Konstante, dem spezifischen Widerstand ${\displaystyle \rho }$, berechnen.

Für einen in Längsrichtung durchflossenen geraden Leiter mit konstanter Querschnittsfläche ${\displaystyle A}$ und der Länge ${\displaystyle l}$ gilt:

${\displaystyle R=\rho \cdot {\frac {l}{A}}.}$

Der spezifische Widerstand selbst ist im Allgemeinen von der Temperatur und eventuell noch weiteren Größen abhängig.

Einflusseffekte

1. Ein Einfluss der Spannung auf den elektrischen Widerstand ist bei hohen Spannungen und hohen Widerstandswerten zu beachten in der Größenordnung ${\displaystyle {\tfrac {\Delta R/R}{\Delta U}}=-10^{-5}{\tfrac {1}{\mathrm {V} }}}$,^[3] in neuen Entwicklungen von Messwiderständen bis zwei Zehnerpotenzen weniger.^[4] Vielfach ist er bei nichtlinearen Widerständen, z. B. Halbleitern, zu beobachten; siehe unten. Ein Spannungseinfluss auf den Widerstand einer Glühlampe ergibt sich indirekt über den Temperatureinfluss.
2. Ein Einfluss der Frequenz ergibt sich bei vielen Widerständen erst bei höheren Frequenzen durch den Skineffekt, aber selbst bei 50 Hz kommt der Einfluss in dicken Leiterseilen von Hochspannungs-Freileitungen zum Tragen. Bei Wechselstromwiderständen kann ein Frequenz-Einfluss auch bei niedrigen Frequenzen zu beobachten sein; siehe unten. Zur Abgrenzung wird der frequenzunabhängige Anteil am Widerstand auch als Gleichstromwiderstand bezeichnet.
3. Ein Einfluss der Temperatur ist häufig zu beachten, wie nachfolgend beschrieben:

Die oben aufgestellte Gleichung für den Gleichstromwiderstand eines geraden Leiters wird dann beispielsweise ersetzt durch

${\displaystyle R_{20}=\rho _{20}\cdot {\frac {l}{A}}\;,}$

Beispiele für spezifischen Widerstand und Temperaturkoeffizient bei 20 °C
Material	${\displaystyle \rho _{20}}$ in (Ω·mm2)/m	${\displaystyle \alpha _{20}}$ in 1/°C
Silber	16 · 10−3	3,8 · 10−3
Kupfer[5]	17 · 10−3	4,3 · 10−3
Nickel[6]	70 · 10−3	6,6 · 10−3

wobei der Index die Celsius-Temperatur kennzeichnet, für die die Größen gelten. In Tabellenbüchern ist die übliche Bezugstemperatur 20 °C. Die Werte sind abhängig von Reinheitsgrad sowie thermischer und mechanischer Behandlung; deshalb sind die Tabellenwerte nur als Richtwerte zu verstehen.

Der Einfluss der Temperatur ${\displaystyle t}$ auf den Widerstand ${\displaystyle R(t)}$ lässt sich in einfachen Fällen mit dem Linear-Temperaturkoeffizienten ${\displaystyle \alpha }$ und dem Temperaturunterschied ${\displaystyle \Delta t=t-t_{b}}$ darstellen. Dann wird der Zusammenhang durch eine lineare Gleichung beschrieben

${\displaystyle R(t)=R(t_{b})(1+\alpha _{t_{b}}\cdot (t-t_{b}))}$

bei ${\displaystyle t_{b}=20\,^{\circ }\mathrm {C} \;.}$

Für die meisten Anwendungen mit metallischen Materialien bei nicht zu großen Temperaturbereichen reicht diese lineare Näherung aus; sonst sind Glieder höherer Ordnung in die Gleichung einzubeziehen. (Ein Beispiel mit Summanden bis zur vierten Potenz siehe Platin im Artikel Widerstandsthermometer.)

Je nachdem, ob der Widerstandswert mit steigender Temperatur größer oder kleiner wird, wird unterschieden zwischen

• Heißleitern oder NTC (engl. Negative Temperature Coefficient; Widerstandswert sinkt) und
• Kaltleitern oder PTC (engl. Positive Temperature Coefficient; Widerstandswert steigt). Generell sind alle Metalle Kaltleiter.

In der Mess- und Regelungstechnik wird die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes als Messeffekt ausgenutzt, zum Beispiel bei Widerstandsthermometern, weiteren Temperatursensoren, thermischen Anemometern oder Einschaltstrombegrenzern.

Es gibt auch verschiedene spezielle Legierungen, die sich durch einen über weite Temperaturbereiche annähernd konstanten spezifischen elektrischen Widerstand auszeichnen, wie das für einen Messwiderstand erforderlich ist.

Darstellung

An einem rein ohmschen linearen Widerstand ${\displaystyle R}$, der von Wechselstrom durchflossen wird, haben Spannung und Stromstärke denselben Phasenwinkel. Wenn sich allerdings frequenzabhängig der Widerstand ändert und die Phasenlage verschiebt, ist zum ohmschen Anteil am Widerstand eine Komponente ${\displaystyle X}$ hinzugekommen, die auf Spannungs- oder Stromänderungen verzögernd reagiert. Bei sinusförmigem Verlauf von Spannung und Stromstärke wird der Quotient aus den Amplituden oder Effektivwerten als Scheinwiderstand ${\displaystyle Z}$ bezeichnet. In der komplexen Wechselstromrechnung wird der Scheinwiderstand mit dem Phasenverschiebungswinkel ${\displaystyle \varphi _{z}}$ als Impedanz oder komplexer Widerstand ${\displaystyle {\underline {Z}}}$ zusammengefasst:

${\displaystyle {\underline {Z}}=Z\cdot \mathrm {e^{j\varphi _{z}}} \ .}$

In einer anderen Darstellung werden die zwei Komponenten in der komplexen Ebene zueinander rechtwinklig zu ${\displaystyle {\underline {Z}}}$ zusammengefasst:

${\displaystyle {\underline {Z}}=R+\mathrm {j} X\ .}$

Darin werden ${\displaystyle R}$ als Wirkwiderstand und ${\displaystyle X}$ als Blindwiderstand bezeichnet. Der Wirkwiderstand, welcher nicht phasenverschiebend arbeitet, wird auch als ohmscher Anteil der Impedanz bezeichnet.

Werden die Spannung ${\displaystyle u}$ und die Stromstärke ${\displaystyle i}$ als sinusförmige Größen mit der Frequenz ${\displaystyle f}$ oder der Kreisfrequenz ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ in der komplexen Ebene durch Zeiger ${\displaystyle {\underline {u}}}$ und ${\displaystyle {\underline {i\,}}}$ dargestellt, so entsteht unter Einbeziehung der Eulerschen Formel

${\displaystyle {\underline {Z}}={\frac {\underline {u}}{\underline {i}}}={\frac {{\hat {u}}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} (\omega t+\varphi _{u})}}{{\hat {\imath }}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} (\omega t+\varphi _{i})}}}=Z\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} (\varphi _{u}-\varphi _{i})}=Z\cdot (\cos \varphi _{z}+\mathrm {j} \sin \varphi _{z})}$

mit

${\displaystyle \varphi _{u}-\varphi _{i}=\varphi _{z}\ .}$

Ursachen der komplexen Widerstände

Bei einer Spule mit der Induktivität ${\displaystyle L}$ gilt

${\displaystyle u=L\ {\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}\ .}$

Aufgrund einer Spannung wächst die Stromstärke mit der Zeit an. Bei Wechselstrom folgt dieser verzögert. Mit dem Ansatz in komplexer Schreibweise ${\displaystyle {\underline {u}}}$ und ${\displaystyle {\underline {i\,}}}$ wie oben ergibt sich nach der Differenziation

${\displaystyle {\underline {u}}=\mathrm {j} \omega L\cdot {\underline {i}}}$

${\displaystyle {\frac {\underline {u}}{\underline {i}}}=\mathrm {j} \omega L=\mathrm {j} X\ .}$

Das ${\displaystyle X}$ wird hier als induktiver Blindwiderstand bezeichnet

${\displaystyle X=X_{L}=\omega L\geq 0\ .}$

Zusammen mit dem Faktor ${\displaystyle \mathrm {j} }$ bedeutet das Ergebnis, dass eine Induktivität für sinusförmige Wechselgrößen wie ein phasendrehender Blindwiderstand wirkt. Mit ${\displaystyle \mathrm {j} =\mathrm {e^{j\pi /2}} \ }$ ergibt sich ${\displaystyle \varphi _{z}=\mathrm {\pi } /2=+90^{\circ }.}$

Der Scheinwiderstand einer Induktivität ist ein zur Frequenz proportionaler, aber im Übrigen linearer Widerstand.

Entsprechend gilt bei einem Kondensator mit der Kapazität ${\displaystyle C}$

${\displaystyle u={\frac {1}{C}}\int i\mathrm {d} t\ .}$

Aufgrund eines Stromes wächst die Spannung mit der Zeit an. Bei Wechselspannung folgt diese verzögert. In komplexer Schreibweise und nach der Integration ergibt sich

${\displaystyle {\underline {u}}={\frac {1}{\mathrm {j} \omega C}}\cdot {\underline {i}}}$

${\displaystyle {\frac {\underline {u}}{\underline {i}}}={\frac {1}{\mathrm {j} \omega C}}=-\mathrm {j} \;{\frac {1}{\omega C}}=\mathrm {j} X\ .}$

Das ${\displaystyle X}$ wird hier als kapazitiver Blindwiderstand bezeichnet

${\displaystyle X=X_{C}=-{\frac {1}{\omega C}}\leq 0\ .}$

Zusammen mit dem Faktor ${\displaystyle \mathrm {j} }$ bedeutet das Ergebnis, dass eine Kapazität für sinusförmige Wechselgrößen wie ein phasendrehender Blindwiderstand wirkt. Hier ist ${\displaystyle \varphi _{z}=-\pi /2=-90^{\circ }.}$

Der Scheinwiderstand einer Kapazität ist ein zur Frequenz umgekehrt proportionaler, aber im Übrigen linearer Widerstand.

Umrechnungen

Durch Vergleich der Darstellungen

${\displaystyle {\underline {Z}}=R+\mathrm {j} X=Z\cdot (\cos \varphi _{z}+\mathrm {j} \sin \varphi _{z})}$

ergeben sich

${\displaystyle \operatorname {Re} {\underline {Z}}=Z\cdot \cos \varphi _{z}=R}$ (Wirkwiderstand),

${\displaystyle \operatorname {Im} {\underline {Z}}=Z\cdot \sin \varphi _{z}=X}$ (Blindwiderstand)

und für den Scheinwiderstand:

${\displaystyle Z=|{\underline {Z}}|={\frac {|{\underline {u}}|}{|{\underline {i}}|}}={\frac {\hat {u}}{\hat {\imath }}}={\frac {u_{\text{eff}}}{i_{\text{eff}}}}}$

oder

${\displaystyle Z={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}}$

und für den Phasenverschiebungswinkel zwischen ${\displaystyle {\underline {u}}}$ und ${\displaystyle {\underline {i\,}}}$:

${\displaystyle \varphi _{z}=\arctan {\frac {X}{R}}\ .}$

Sonderfälle

• Für ${\displaystyle R=0}$ gilt:

${\displaystyle \varphi _{z}=\arctan {\frac {X}{0}}}$ .

• Für ${\displaystyle X>0}$ ist ${\displaystyle \varphi _{z}=+90^{\circ }}$ und ${\displaystyle {\underline {Z}}=\mathrm {j} Z=\mathrm {j} X}$ ;

• für ${\displaystyle X<0}$ ist ${\displaystyle \varphi _{z}=-90^{\circ }}$ und ${\displaystyle {\underline {Z}}=-\mathrm {j} Z=\mathrm {j} X}$ .

• Für ${\displaystyle X=0}$ gilt:

${\displaystyle \varphi _{z}=\arctan {\frac {0}{R}}=\arctan 0=0^{\circ }}$

${\displaystyle {\underline {Z}}=Z=R}$ .

Zusammenschaltung, Ersatzwiderstand

Als Ersatzwiderstand wird der komplexe elektrische Widerstand bezeichnet, der denselben Widerstand besitzt wie eine elektrische Schaltung oder der Teil einer elektrischen Schaltung, den er ersetzt. Ein Ersatzwiderstand kann das Verhalten komplexer elektrischer Anordnungen veranschaulichen und eine Berechnung ermöglichen; siehe auch Ersatzschaltbild.

Tatsächlich auftretende Wechselstromwiderstände lassen sich häufig durch Reihenschaltung oder Parallelschaltung aus einem ohmschen Widerstand mit einer Induktivität oder mit einer Kapazität beschreiben. Welches der Bilder verwendet wird, ist eine Frage der besseren Annäherung an die Wirklichkeit mit möglichst frequenzunabhängigen Größen und der Zweckmäßigkeit für die mathematische Behandlung.

Bei genauer Betrachtung hat aber auch jeder Kondensator einen kleinen induktiven Anteil, so wie eine Spule auch einen kapazitiven Anteil hat. Selbst ein Stück Draht muss exakt mit ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle L}$ beschrieben werden; siehe auch Leitungsbelag. Dies zeigt sich im Besonderen dann, wenn die Bauelemente mit ihren geometrischen Abmessungen in den Bereich der Wellenlänge der angelegten Wechselspannung kommen; dann besitzen sie eine nicht zu vernachlässigende Induktivität und Kapazität. Sie werden gegebenenfalls zum Schwingkreis, als Beispiel sei hier die Antenne genannt. Deren Enden dürfen als Kondensatorplatten gesehen werden, der Draht dazwischen als Spule.

Werden ein ohmscher Widerstand und ein Blindwiderstand zusammengeschaltet, so können in komplexer Schreibweise die weiter unten folgenden Regeln für Reihen- und Parallelschaltung angewendet werden.

Werden eine kapazitive und eine induktive Impedanz zusammengeschaltet, so entsteht bei genügend kleiner ohmscher Belastung ein Schwingkreis; die Reihen- und Parallelschaltung und die weiteren Konsequenzen werden unter diesem Stichwort behandelt.

Ortskurve

Ein anschauliches Hilfsmittel zur Analyse und Beschreibung von Schaltungen mit Wechselstromwiderständen ist die Ortskurve.

Komplexe Größen lassen sich durch Zeiger in der komplexen Ebene darstellen. Wenn die komplexe Größe eine Funktion eines (reellen) Parameters ist und wenn dieser Parameter variiert wird, verschiebt sich die Spitze des Zeigers. Eine Linie durch alle denkbaren Zeigerspitzen wird als Ortskurve bezeichnet.

Die Bilder zeigen Ortskurven der Impedanz als Funktion der Frequenz für die angegebenen Schaltungen. Bei einer RL- oder RC-Reihenschaltung mit einem von der Frequenz unabhängigen ohmschen Widerstand ist auch der Wirkanteil der Impedanz von der Frequenz unabhängig. Bei der entsprechenden Parallelschaltung sind der Wirk- und der Blindanteil der Impedanz ersichtlich beide von der Frequenz abhängig.

Reihenschaltung

Werden ${\displaystyle n}$ ohmsche Widerstände hintereinander geschaltet, so addieren sich die Widerstände:

${\displaystyle R_{\text{rei}}=\sum _{k=1}^{n}R_{k}=R_{1}+R_{2}+\cdots +R_{n}={\frac {1}{G_{1}}}+{\frac {1}{G_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{G_{n}}}}$

Dieses lässt sich an der Reihenschaltung zweier Widerstände veranschaulichen, die sich nur in der Länge ${\displaystyle l}$ unterscheiden.

Die Reihenschaltung ergibt einen Widerstandskörper der Länge ${\displaystyle l_{1}+l_{2}}$. Dann gilt:

${\displaystyle R_{\text{rei}}=\rho \cdot {\frac {l_{1}+l_{2}}{A}}=\rho \cdot {\frac {l_{1}}{A}}+\rho \cdot {\frac {l_{2}}{A}}=R_{1}+R_{2}}$

Bei ${\displaystyle n}$ gleichen Widerständen ( ${\displaystyle R_{n}=R_{1}=R_{2}=\cdots }$) ist der Gesamtwiderstand so groß wie der mit der Anzahl der Widerstände multiplizierte Einzelwiderstand:

${\displaystyle R_{\text{rei}}=n\cdot R_{n}}$

Der Widerstand einer Reihenschaltung ist stets größer als der größte Einzelwiderstand. Eine Ausnahme gibt es bei Wechselstromwiderständen im Reihenschwingkreis.

Parallelschaltung

Werden ${\displaystyle n}$ ohmsche Widerstände nebeneinander geschaltet, so addieren sich die Leitwerte beziehungsweise die reziproken Widerstände:

${\displaystyle G_{\text{par}}=G_{1}+G_{2}+\cdots +G_{n}}$

${\displaystyle {\frac {1}{R_{\text{par}}}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{R_{k}}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{R_{n}}}}$

Dieses lässt sich an der Parallelschaltung zweier Widerstände veranschaulichen, die sich nur in ihrer Querschnittsfläche ${\displaystyle A}$ unterscheiden.

Die Parallelschaltung ergibt einen Widerstandskörper der Querschnittsfläche ${\displaystyle A_{1}+A_{2}}$. Dann gilt:

${\displaystyle R_{\text{par}}=\rho \cdot {\frac {l}{A_{1}+A_{2}}}}$

und umgestellt

${\displaystyle {\frac {1}{R_{\text{par}}}}={\frac {A_{1}+A_{2}}{\rho \cdot l}}={\frac {A_{1}}{\rho \cdot l}}+{\frac {A_{2}}{\rho \cdot l}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}$

Für die Parallelschaltung gibt es eine alternative Schreibweise mit dem Parallel-Zeichen ${\displaystyle {\|}}$:

${\displaystyle R_{\text{par}}=R_{1}\|R_{2}\|\cdots \|R_{n}}$

Speziell für zwei parallele Widerstände gilt:

${\displaystyle R_{\text{par}}={\frac {R_{1}\cdot R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}}$

Bei ${\displaystyle n}$ gleichen Widerständen ist der Gesamtwiderstand so groß wie der durch die Anzahl der Widerstände dividierte Einzelwiderstand:

${\displaystyle R_{\text{par}}={\frac {1}{n}}R_{n}}$

Der Widerstand einer Parallelschaltung ist stets kleiner als der kleinste Einzelwiderstand. Eine Ausnahme gibt es bei Wechselstromwiderständen im Parallelschwingkreis.

Negativer differentieller Widerstand

Der differentielle Widerstand kann in einem Teil der Kennlinie negativ sein, so dass die Stromstärke bei steigender Spannung sinkt beziehungsweise die Stromstärke bei sinkender Spannung steigt. Im Bild ist das im Bereich U_P < U < U_V der Fall. Ein negativer differentieller Widerstand kann zum Anregen (Entdämpfen) von Schwingkreisen oder zur Erzeugung von Kippschwingungen verwendet werden (Oszillator). Der negative differentielle Widerstand tritt zum Beispiel bei Gasentladungen oder bei Bauteilen wie Avalanche- und Tunneldioden auf, in einfachen elektronischen Schaltungen wie der Lambda-Diode, aber auch bei komplexeren Modulen wie z. B. Schaltnetzteilen auf der Eingangsseite.

Positiver differentieller Widerstand

Bei positiven differentiellen Widerständen nimmt die Stromstärke mit zunehmender Spannung zu. Alle real existierenden Schaltungselemente besitzen in einem Teil ihrer Kennlinie, jedoch stets für sehr große Werte, einen positiven differentiellen Widerstand. Die meisten Elemente in der Schaltungstechnik besitzen einen ausschließlich positiven differentiellen Widerstand.

Beispiele: realer Widerstand, Diode, Zener-Diode, alle halbleitenden Keramiken.