Elektrischer Widerstand

Grundlegende Zusammenhänge

Ein ohmscher Widerstand ist ein elektrischer Widerstand, dessen Widerstandswert im Idealfall unabhängig von der Spannung, der Stromstärke und der Frequenz ist. An einem solchen ohmschen Widerstand gilt das ohmsche Gesetz. Wenn man die Spannung ${\displaystyle U}$ über der Stromstärke ${\displaystyle I}$ in Form eines Liniendiagramms aufträgt, erhält man eine Ursprungsgerade, der Zusammenhang ist also direkt proportional:

${\displaystyle R={\frac {U}{I}}={\text{const. }};\quad U=R\cdot I\,;\quad I={\frac {U}{R}}.}$

Näherungsweise und mit Einschränkungen kann ein ohmscher Widerstand durch ein Bauelement, im einfachsten Fall einen Metalldraht, realisiert werden, das üblicherweise ebenfalls einfach Widerstand – siehe Widerstand (Bauelement) – genannt wird.

Wenn Strom durch einen Widerstand fließt und Spannung daran abfällt, wird elektrische Leistung gemäß

${\displaystyle P=U\cdot I={\frac {U^{2}}{R}}=I^{2}\cdot R}$

in Wärmeleistung umgesetzt.

Der Kehrwert des ohmschen Widerstands, also der Proportionalitätsfaktor zwischen Stromstärke und Spannung, heißt elektrischer Leitwert ${\displaystyle G}$ eines Leiters. Es gilt also:

${\displaystyle G={\frac {1}{R}}.}$

Berechnung des Widerstands eines Leiters

Der ohmsche Widerstand eines Körpers lässt sich aus seinen geometrischen Abmessungen und einer materialspezifischen Konstante, dem spezifischen Widerstand ${\displaystyle \rho }$ , berechnen.

Für einen in Längsrichtung durchflossenen geraden Leiter mit konstanter Querschnittsfläche ${\displaystyle A}$ und der Länge ${\displaystyle l}$ gilt:

${\displaystyle R=\rho \cdot {\frac {l}{A}}.}$

Der spezifische Widerstand selbst ist im Allgemeinen von der Temperatur und eventuell noch weiteren Größen abhängig.

Einflusseffekte

1. Ein Einfluss der Spannung auf den zuvor beschriebenen Widerstand ist nur bei nichtlinearen Widerständen, z. B. Halbleitern, zu beobachten; siehe unten: Differentieller Widerstand. Ein Spannungseinfluss auf den Widerstand einer Glühlampe ergibt sich indirekt über den Temperatureinfluss.
2. Ein Einfluss der Frequenz ergibt sich bei vielen Widerständen erst bei höheren Frequenzen durch den Skineffekt. Bei Wechselstromwiderständen kann ein Frequenz-Einfluss auch bei niedrigen Frequenzen zu beobachten sein; siehe unten. Zur Abgrenzung bezeichnet man den ohmschen Widerstand auch als Gleichstromwiderstand.
3. Ein Einfluss der Temperatur ist häufig zu beachten:

Die oben aufgestellte Gleichung für den Gleichstromwiderstand eines geraden Leiters ersetzt man dann beispielsweise durch

${\displaystyle R_{20}=\rho _{20}\cdot {\frac {l}{A}}\;,}$

Beispiele für spezifischen Widerstand und Temperaturkoeffizient bei 20 °C
Material	${\displaystyle \rho _{20}}$ in (Ω·mm2)/m	${\displaystyle \alpha _{20}}$ in 1/°C
Silber	16 · 10−3	3,8 · 10−3
Kupfer [3]	17 · 10−3	4,3 · 10−3
Nickel [4]	70 · 10−3	6,6 · 10−3

wobei der Index die Celsius-Temperatur kennzeichnet, für die die Größen gelten. In Tabellenbüchern ist die übliche Bezugstemperatur 20 °C. Die Werte sind abhängig von Reinheitsgrad sowie thermischer und mechanischer Behandlung; deshalb sind die Tabellenwerte nur als Richtwerte zu verstehen.

Der Einfluss der Temperatur ${\displaystyle t}$ auf den Widerstand ${\displaystyle R(t)}$ lässt sich in einfachen Fällen mit dem Linear-Temperaturkoeffizienten ${\displaystyle \alpha }$ und dem Temperaturunterschied ${\displaystyle \Delta t=t-t_{0}}$ darstellen. Dann beschreibt man den Zusammenhang durch eine lineare Gleichung

${\displaystyle R(t)=R(t_{0})(1+\alpha _{t_{0}}\cdot (t-t_{0}))}$

bei ${\displaystyle t_{0}=20\,^{\circ }\mathrm {C} \;.}$

Für die meisten Anwendungen mit metallischen Materialien bei nicht zu großen Temperaturbereichen reicht diese lineare Näherung aus; sonst sind Glieder höherer Ordnungen in die Gleichung einzubeziehen. (Ein Beispiel mit Summanden bis zur vierten Potenz siehe Platin im Artikel Widerstandsthermometer.)

Je nachdem, ob der Widerstandswert mit steigender Temperatur größer oder kleiner wird, unterscheidet man zwischen Kaltleitern oder PTC (Widerstandswert steigt, prinzipiell bei allen Metallen; engl. positive temperature coefficient) und Heißleitern oder NTC (Widerstandswert sinkt; engl. negative temperature coefficient).

In der Mess- und Regelungstechnik wird die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes ausgenutzt, zum Beispiel bei Widerstandsthermometern, thermischen Anemometern, Thermostaten oder Einschaltstrombegrenzern.

Es gibt auch verschiedene spezielle Legierungen, die sich durch einen über weite Temperaturbereiche annähernd konstanten spezifischen elektrischen Widerstand auszeichnen, wie das für einen Messwiderstand erforderlich ist.

Darstellung

An einem rein ohmschen linearen Widerstand ${\displaystyle R}$ , der von Wechselstrom durchflossen wird, haben Spannung und Stromstärke denselben Phasenwinkel. Wenn allerdings eine frequenzabhängige Phasenverschiebung und Widerstandsänderung auftreten, kommt als Anteil am Widerstand eine Komponente ${\displaystyle X}$ hinzu, die auf Spannungs- bzw. Stromänderungen verzögernd reagiert. Bei sinusförmigem Verlauf von Spannung und Stromstärke wird der Quotient aus den Amplituden oder Effektivwerten als Scheinwiderstand ${\displaystyle Z}$ bezeichnet. In der komplexen Wechselstromrechnung wird der Scheinwiderstand mit dem Phasenverschiebungswinkel ${\displaystyle \varphi _{z}}$ als Impedanz oder komplexer Widerstand ${\displaystyle {\underline {Z}}}$ zusammengefasst:

${\displaystyle {\underline {Z}}=Z\cdot \mathrm {e^{j\varphi _{z}}} \ .}$

In einer anderen Darstellung werden die zwei Komponenten in der komplexen Ebene zueinander rechtwinklig zu ${\displaystyle {\underline {Z}}}$ zusammengefasst:

${\displaystyle {\underline {Z}}=R+\mathrm {j} X\ .}$

Darin werden ${\displaystyle R}$ als Wirkwiderstand und ${\displaystyle X}$ als Blindwiderstand bezeichnet. Der Wirkwiderstand, welcher nicht phasenverschiebend arbeitet, wird auch als ohmscher Anteil der Impedanz bezeichnet.

Umrechnungen

Werden die Spannung ${\displaystyle u(t)}$ und die Stromstärke ${\displaystyle i(t)}$ als sinusförmige Größen mit der Frequenz ${\displaystyle f}$ bzw. der Kreisfrequenz ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ in der komplexen Ebene durch Zeiger ${\displaystyle {\underline {u}}(t)}$ und ${\displaystyle {\underline {i\,}}(t)}$ dargestellt, so erhält man

${\displaystyle {\underline {Z}}={\frac {\underline {u}}{\underline {i}}}={\frac {{\hat {u}}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} (\omega t+\varphi _{u})}}{{\hat {\imath }}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} (\omega t+\varphi _{i})}}}=Z\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} (\varphi _{u}-\varphi _{i})}=Z\cdot (\cos \varphi _{z}+\mathrm {j} \sin \varphi _{z})}$

mit

${\displaystyle \varphi _{u}-\varphi _{i}=\varphi _{z}\ .}$

Durch Vergleich der beiden Darstellungen von ${\displaystyle {\underline {Z}}}$ erhält man

${\displaystyle \operatorname {Re} {\underline {Z}}=Z\cdot \cos \varphi _{z}=R}$ (Wirkwiderstand),

${\displaystyle \operatorname {Im} {\underline {Z}}=Z\cdot \sin \varphi _{z}=X}$ (Blindwiderstand).

Es ergeben sich der Scheinwiderstand:

${\displaystyle Z=|{\underline {Z}}|={\frac {|{\underline {u}}|}{|{\underline {i}}|}}={\frac {\hat {u}}{\hat {\imath }}}={\frac {u_{\text{eff}}}{i_{\text{eff}}}}}$

oder

${\displaystyle Z={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}}$

und der Phasenverschiebungswinkel zwischen ${\displaystyle {\underline {u}}}$ und ${\displaystyle {\underline {i\,}}}$ :

${\displaystyle \varphi _{z}=\arctan {\frac {X}{R}}\ .}$

Man bezeichnet auch

${\displaystyle X=X_{C}}$ = kapazitiver Blindwiderstand

oder

${\displaystyle X=X_{L}}$ = induktiver Blindwiderstand.

Wie weiter unten gezeigt wird, ist

${\displaystyle X_{L}\geq 0}$ und ${\displaystyle X_{C}\leq 0\ .}$

Sonderfälle

• Für ${\displaystyle R}$ = 0 ergibt sich:

${\displaystyle \varphi _{z}=\arctan {\frac {X}{0}}}$ .

• Für ${\displaystyle X}$ > 0 ist ${\displaystyle \varphi _{z}=+90^{\circ }}$ und ${\displaystyle {\underline {Z}}=\mathrm {j} Z=\mathrm {j} X}$ ;

• für ${\displaystyle X}$ < 0 ist ${\displaystyle \varphi _{z}=-90^{\circ }}$ und ${\displaystyle {\underline {Z}}=-\mathrm {j} Z=\mathrm {j} X}$ .

• Für ${\displaystyle X}$ = 0 ergibt sich:

${\displaystyle \varphi _{z}=\arctan {\frac {0}{R}}=\arctan 0=0^{\circ }}$

${\displaystyle {\underline {Z}}=Z=R}$ .

Ursachen der komplexen Widerstände

Bei einer Spule mit der Induktivität ${\displaystyle L}$ gilt

${\displaystyle u=L\ {\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}\ .}$

Aufgrund einer Spannung wächst die Stromstärke mit der Zeit an. Bei Wechselstrom folgt dieser verzögert.
Mit dem Ansatz in komplexer Schreibweise ${\displaystyle {\underline {u}}}$ und ${\displaystyle {\underline {i\,}}}$ wie oben erhält man nach der Differenziation

${\displaystyle {\underline {u}}=\mathrm {j} \omega L\cdot {\underline {i}}}$

${\displaystyle {\frac {\underline {u}}{\underline {i}}}=\mathrm {j} \omega L=\mathrm {j} X_{L}\,;\quad X_{L}=\omega L\geq 0\ .}$

Das bedeutet, dass eine Induktivität für sinusförmige Wechselgrößen wie ein phasendrehender Blindwiderstand wirkt. Mit ${\displaystyle \mathrm {j} =\mathrm {e^{j\pi /2}} \ }$ ergibt sich ${\displaystyle \varphi _{z}=\mathrm {\pi } /2=+90^{\circ }.}$

Entsprechend gilt bei einem Kondensator mit der Kapazität ${\displaystyle C}$

${\displaystyle u={\frac {1}{C}}\int i\mathrm {d} t\ .}$

Aufgrund eines Stromes wächst die Spannung mit der Zeit an. Bei Wechselspannung folgt diese verzögert.
Man erhält in komplexer Schreibweise und nach der Integration

${\displaystyle {\underline {u}}={\frac {1}{\mathrm {j} \omega C}}\cdot {\underline {i}}}$

${\displaystyle {\frac {\underline {u}}{\underline {i}}}={\frac {1}{\mathrm {j} \omega C}}=-\mathrm {j} \;{\frac {1}{\omega C}}=\mathrm {j} X_{C}\,;\quad X_{C}=-\;{\frac {1}{\omega C}}\leq 0\ .}$

Das bedeutet, dass eine Kapazität für sinusförmige Wechselgrößen wie ein phasendrehender Blindwiderstand wirkt. Hier ist ${\displaystyle \varphi _{z}=-\pi /2=-90^{\circ }.}$

Zusammenschaltung, Ersatzwiderstand

Als Ersatzwiderstand wird der komplexe elektrische Widerstand bezeichnet, der denselben Widerstand besitzt wie eine elektrische Schaltung oder der Teil einer elektrischen Schaltung, den er ersetzt. Ein Ersatzwiderstand kann das Verhalten komplexer elektrischer Anordnungen veranschaulichen und eine Berechnung ermöglichen; siehe auch Ersatzschaltbild.

Tatsächlich auftretende Wechselstromwiderstände lassen sich häufig durch Reihenschaltung oder Parallelschaltung aus einem ohmschen Widerstand mit einer Induktivität oder mit einer Kapazität beschreiben. Welches der Bilder verwendet wird, ist eine Frage der besseren Annäherung an die Wirklichkeit mit möglichst frequenzunabhängigen Größen und der Zweckmäßigkeit für die mathematische Behandlung.

Bei genauer Betrachtung hat aber auch jeder Kondensator einen kleinen induktiven Anteil, so wie eine Spule auch einen kapazitiven Anteil hat. Selbst ein Stück Draht muss exakt mit ${\displaystyle R}$ , ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle L}$ beschrieben werden; siehe auch Leitungsbelag. Dies zeigt sich im Besonderen dann, wenn die Bauteile mit ihren geometrischen Abmessungen in den Bereich der Wellenlänge der angelegten Wechselspannung kommen; dann besitzen sie einen nicht zu vernachlässigenden sowohl induktiven, als auch einen kapazitiven Anteil. Sie werden gegebenenfalls zum Schwingkreis, als Beispiel sei hier die Antenne genannt. Die Enden dürfen als Kondensatorplatten gesehen werden, der „Draht“ dazwischen als Spule.

Werden ein ohmscher Widerstand und ein Blindwiderstand zusammengeschaltet, so können in komplexer Schreibweise die weiter unten folgenden Regeln für Reihen- und Parallelschaltung angewendet werden.

Werden eine kapazitive und eine induktive Impedanz zusammengeschaltet, so entsteht bei genügend kleiner ohmscher Belastung ein Schwingkreis; die Reihen- und Parallelschaltung und die weiteren Konsequenzen werden unter diesem Stichwort behandelt.

Ortskurve

Ein anschauliches Hilfsmittel zur Analyse und Beschreibung von Schaltungen mit Wechselstromwiderständen ist die Ortskurve.

Komplexe Größen lassen sich durch Zeiger in der komplexen Ebene darstellen. Wenn die komplexe Größe eine Funktion eines (reellen) Parameters ist und wenn dieser Parameter variiert wird, verschiebt sich die Spitze des Zeigers. Eine Linie durch alle denkbaren Zeigerspitzen bezeichnet man als Ortskurve.

Die Bilder zeigen Ortskurven der Impedanz als Funktion der Frequenz für die angegebenen Schaltungen. Bei einer RL- oder RC-Reihenschaltung mit einem von der Frequenz unabhängigen ohmschen Widerstand ist auch der Wirkanteil der Impedanz von der Frequenz unabhängig. Bei der entsprechenden Parallelschaltung sind der Wirk- und der Blindanteil der Impedanz ersichtlich beide von der Frequenz abhängig.

Reihenschaltung

Werden ${\displaystyle n}$ Widerstände in Reihe geschaltet, so addieren sich die Widerstände:

${\displaystyle R_{\text{ges}}=\sum _{k=1}^{n}R_{k}=R_{1}+R_{2}+\cdots +R_{n}={\frac {1}{G_{1}}}+{\frac {1}{G_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{G_{n}}}}$

Veranschaulichen kann man sich dieses an zwei Widerständen, die sich nur in der Länge unterscheiden.

Die Reihenschaltung ergibt einen Widerstandskörper der Länge ${\displaystyle l_{1}+l_{2}}$ . Dann gilt:

${\displaystyle R=\rho \cdot {\frac {l_{1}+l_{2}}{A}}=\rho \cdot {\frac {l_{1}}{A}}+\rho \cdot {\frac {l_{2}}{A}}=R_{1}+R_{2}}$

Parallelschaltung

Bei der Parallelschaltung von n Widerständen addieren sich die Leitwerte beziehungsweise die reziproken Widerstände:

${\displaystyle G_{\text{ges}}=G_{1}+G_{2}+\cdots +G_{n}}$

${\displaystyle {\frac {1}{R_{\text{ges}}}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{R_{k}}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{R_{n}}}}$

alternative Schreibweise:

${\displaystyle R_{\text{ges}}=R_{1}\Vert R_{2}\Vert \cdots \Vert R_{n}}$

Formel für zwei parallele Widerstände:

${\displaystyle R_{\text{ges}}={\frac {R_{1}\cdot R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}}$

Man veranschaulicht sich diesen Zusammenhang an der Parallelschaltung zweier Widerstände, die sich nur in ihrer Querschnittsfläche ${\displaystyle A}$ unterscheiden.

Man erhält einen Widerstand vom Gesamtquerschnitt ${\displaystyle A_{1}+A_{2}}$ , also gilt:

${\displaystyle R=\rho \cdot {\frac {l}{A_{1}+A_{2}}}}$

und daher

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {A_{1}+A_{2}}{\rho \cdot l}}={\frac {A_{1}}{\rho \cdot l}}+{\frac {A_{2}}{\rho \cdot l}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}$

Ist eine Parallelschaltung aus ${\displaystyle n}$ gleichen Widerständen mit gleichen Werten vorhanden, ( ${\displaystyle R_{n}=R_{1}=R_{2}=\cdots }$ ) so kann der Gesamtwiderstand errechnet werden, indem man den Einzelwiderstand durch die Anzahl der Widerstände in der Schaltung dividiert:

${\displaystyle R_{\text{ges}}={\frac {1}{n}}R_{n}}$

Negativer differentieller Widerstand

Der differentielle Widerstand kann in einem Teil der Kennlinie negativ sein, so dass die Stromstärke bei steigender Spannung sinkt beziehungsweise die Stromstärke bei sinkender Spannung steigt. Im Bild ist das im Bereich U_P < U < U_V der Fall. Ein negativer differentieller Widerstand kann zum Anregen (Entdämpfen) von Schwingkreisen oder zur Erzeugung von Kippschwingungen verwendet werden (Oszillator). Der negative differentielle Widerstand tritt zum Beispiel bei Gasentladungen oder bei Bauteilen wie Avalanche- und Tunneldioden auf, in einfachen elektronischen Schaltungen wie der Lambda-Diode, aber auch bei komplexeren Modulen wie z. B. Schaltnetzteilen auf der Eingangsseite.

Positiver differentieller Widerstand

Bei positiven differentiellen Widerständen nimmt die Stromstärke mit zunehmender Spannung zu. Alle real existierenden Schaltungselemente besitzen in einem Teil ihrer Kennlinie, jedoch stets für sehr große Werte, einen positiven differentiellen Widerstand. Die meisten Elemente in der Schaltungstechnik besitzen einen ausschließlich positiven differentiellen Widerstand.

Beispiele: realer Widerstand, Diode, Zener-Diode, alle halbleitenden Keramiken.