Physikalische Konstante
Name	Gravitationskonstante
Formelzeichen	${\displaystyle G}$
Wert
SI	6.67430(15)e-11 ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {m^{3}} }{\mathrm {kg\,s^{2}} }}}$
Unsicherheit (rel.)	2.2e-5
Planck-Einheiten	1. Gelegentlich wird aber auch ${\displaystyle 8\pi \;G}$ auf 1 gesetzt.
Quellen und Anmerkungen
Quelle SI-Wert: CODATA 2018 (Direktlink)

Die Gravitationskonstante (Formelzeichen ${\displaystyle G}$ oder ${\displaystyle \gamma }$) ist die fundamentale Naturkonstante, die die Stärke der Gravitation bestimmt. In dem Gravitationsgesetz nach Isaac Newton ergibt sie direkt die Stärke der Gravitationskraft zwischen zwei Körpern in Abhängigkeit von ihrem Abstand und ihren Massen, in der allgemeinen Relativitätstheorie nach Albert Einstein bestimmt sie die Krümmung der vierdimensionalen Raumzeit und damit den Ablauf aller mit der Gravitation zusammenhängenden Erscheinungen. Für die Beschreibung astronomischer Größen und Vorgänge besitzt sie fundamentale Bedeutung. Der Wert der Gravitationskonstanten beträgt^[1]

${\displaystyle G=(6{,}674\,30\pm 0{,}000\,15)\cdot 10^{-11}\,\mathrm {\frac {m^{3}}{kg\cdot s^{2}}} ,}$

wobei bereits die vierte Dezimalstelle unsicher ist.

Definition

Nach dem newtonschen Gravitationsgesetz ziehen sich zwei kugelsymmetrische Körper mit den Massen ${\displaystyle m_{1}}$ und ${\displaystyle m_{2}}$, deren Mittelpunkte einen Abstand ${\displaystyle r}$ haben, gegenseitig mit der Kraft

${\displaystyle F=G\,{\frac {m_{1}\,m_{2}}{r^{2}}}}$

an. Die in der Gleichung auftretende Proportionalitätskonstante ${\displaystyle G}$ ist die Gravitationskonstante.

Diese Form des Gesetzes wurde 1873, 200 Jahre nach Newton, durch Alfred Cornu und Jean-Baptistin Baille eingeführt.^[2] Newton schrieb sein Gesetz ohne Nennung der Konstante in Form der Proportionalitäten ${\displaystyle F\propto m_{1}\ ,\ F\propto m_{2}\ ,\ F\propto r^{-2}}$, wie es damals in der wissenschaftlichen Literatur üblich war.

Um die Formulierung eines rationalisierten Einheitensystems zu erhalten, hätte man eine Definition über ${\textstyle F=G\,{\frac {m_{1}\,m_{2}}{4\pi r^{2}}}}$ wählen müssen, also mit einer 4π-mal so großen Proportionalitätskonstanten.

Wert und Einheiten

Im Internationalen Einheitensystem (SI) beträgt der Wert nach der aktuellen Empfehlung CODATA 2018:^[1]

${\displaystyle G=6{,}674\,30(15)\cdot 10^{-11}\,\mathrm {\frac {m^{3}}{kg\cdot s^{2}}} }$

(also mit einer geschätzten Standardunsicherheit von ${\displaystyle 0{,}000\,15\cdot 10^{-11}\,\mathrm {m} ^{3}/(\mathrm {kg} \cdot \mathrm {s} ^{2})}$).

Im CGS-Einheitensystem hat ${\displaystyle G}$ den Wert

${\displaystyle G=6{,}674\,30(15)\cdot 10^{-8}\,\mathrm {\frac {cm^{3}}{g\cdot s^{2}}} .}$

Die Gravitationskonstante kann auch mit anderen Naturkonstanten ausgedrückt werden, zum Beispiel mit Hilfe des reduzierten Planckschen Wirkungsquantums ${\displaystyle \hbar }$ und der Lichtgeschwindigkeit ${\displaystyle c}$ („natürliche Einheiten“). Nach CODATA 2018 ergibt sich als Wert:^[3]

${\displaystyle G=6{,}708\,83(15)\cdot 10^{-39}\,{\frac {\hbar c}{(\mathrm {GeV} /c^{2})^{2}}}}$

Verglichen mit anderen Grundkräften der Physik ist die Gravitation eine sehr schwache Wechselwirkung, was sich in dem kleinen Wert der Gravitationskonstanten ausdrückt. Berechnet man beispielsweise den Betrag des Verhältnisses zwischen der Gravitationskraft und der elektrostatischen Kraft zwischen zwei Protonen, so erhält man unabhängig vom Abstand:

${\displaystyle \left|{\frac {F_{\text{Gravitation}}}{F_{\text{elektrisch}}}}\right|={\frac {Gm_{\text{Proton}}^{2}}{e^{2}/(4\pi \varepsilon _{0})}}\approx 10^{-36}}$

Messungen

Die Gravitationskraft zwischen der Erde und einem anderen Objekt, d. h., sein Gewicht, lässt sich zwar sehr genau messen, allerdings müsste man, um daraus die Gravitationskonstante mit gleicher Genauigkeit zu bestimmen, die Erdmasse oder besser die ganze Massenverteilung in der Erde zuverlässig kennen. Das ist aber nicht gegeben, sodass zur Messung von ${\displaystyle G}$ die überaus geringe Anziehungskraft zwischen Körpern bekannter Masse im Labor bestimmt werden muss. Beispielsweise beträgt die Anziehungskraft zwischen zwei Körpern von je 100 kg Masse in 1 m Abstand weniger als 10⁻⁹ (ein Milliardstel) ihrer Gewichtskraft, und alle andere Materie im Labor oder außerhalb davon übt auf die Testkörper ebenfalls Gravitation aus. Diese Messungen gestalten sich daher schwierig. Schon kleinste Temperaturunterschiede, Luftströmungen, Ungleichmäßigkeiten im Material oder Kriechen des Materials, sogar die Anzahl der Fahrzeuge auf dem Parkplatz vor dem Institutsgebäude, verfälschen die Ergebnisse.^[4]

Das Cavendish-Experiment

Die erste Messung der Gravitationskraft zwischen zwei Massen bekannter Größe gelang Henry Cavendish im Jahr 1798 mithilfe der eigens dafür erfundenen Gravitationswaage.^[7] Die Waage bestand aus zwei kugelförmigen Testmassen mit zusammen (in heutigen Einheiten) ${\displaystyle m=1{,}46\,\mathrm {kg} }$, die zu einer Hantel verbunden und an einem Torsionsdraht aufgehängt waren, sodass sie freie horizontale Drehschwingungen ausführen konnten. Zwei große Kugeln mit einer Gesamtmasse ${\displaystyle M_{c}=316\,\mathrm {kg} }$, in gleichem Abstand ${\displaystyle r_{m}}$ dicht neben je einer der Testmassen, erzeugten die Anziehungskraft, die die Testmassen ca. 1° aus der Ruhelage auslenkten. Aus dem Auslenkwinkel wurde die Torsionskraft ${\displaystyle F_{c}}$ ermittelt, die der Anziehungskraft der großen und kleinen Kugeln bei diesem Abstand die Waage hält. Die dazu nötige Kenntnis der Torsionssteifigkeit des Drahtes wurde aus der Periodendauer der Torsionsschwingung gewonnen.

Aus Cavendishs Messwerten ergibt sich durch die Formel

${\displaystyle {\frac {F_{c}\,r_{m}^{2}}{m\,M_{c}}}=G}$

ein Wert für die Konstante

${\displaystyle G_{\mathrm {Cavendish} }=6{,}754\cdot 10^{-11}\,\mathrm {{m^{3}}\,{kg^{-1}\,s^{-2}}} .}$

Dies verfehlt den heutigen Wert nur um 1,2 Prozent.

Allerdings war der Begriff einer Gravitationskonstante zu Cavendishs Zeiten noch gar nicht üblich, vielmehr wurde das Newtonsche Gravitationsgesetz ausschließlich in Form von Proportionalitäten gebraucht. Dementsprechend betrachtete er das Verhältnis der beiden Kräfte ${\displaystyle F_{c}}$ und ${\displaystyle F_{E}}$, mit denen die kleinen Kugeln von den großen bzw. von der Erde angezogen werden. Nach Newton gilt:

${\displaystyle {\frac {F_{c}}{F_{E}}}={\frac {M_{c}}{M_{E}}}\ {\frac {r_{E}^{2}}{r_{m}^{2}}}}$

${\displaystyle F_{E}}$ ist nichts anderes als das (Gesamt-)Gewicht der kleinen Kugeln, sodass die Erdmasse ${\displaystyle M_{E}}$ hierin die einzige Unbekannte ist. Cavendish konnte aus seinen Messdaten die Masse der Erde bestimmen. Populär wurde die physikalisch nicht korrekte und genau genommen sinnlose Formulierung, Cavendish habe „die Erde gewogen“.

Nachdem die Erdmasse, implizit also der Wert der Gravitationskonstante bekannt war, konnten auch die Massen weiterer Himmelskörper des Sonnensystems bestimmt werden.

Siehe auch

• Gaußsche Gravitationskonstante

Literatur

• Venzo de Sabbata: The gravitational constant – generalized gravitational theories and experiments. Kluwer Academic, Dordrecht 2004, ISBN 1-4020-1955-6.
• Achim Schumacher: Systematische Untersuchungen zur Messung der Newtonschen Gravitationskonstanten mit einem Pendelresonator. (PDF; 3,89 MB) August 1999, abgerufen am 18. November 2009 (Dissertation (Universität Wuppertal)). 

Weblinks

Wiktionary: Gravitationskonstante  – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Frank Grotelüschen: Gravitationskonstante. Die Schwere der Schwerkraft. Deutschlandfunk.de, 28. September 2014.
• Manfred Lindinger: Schwerkraft auf dem Prüfstand. Frankfurter Allgemeine Zeitung, 13. September 2018.

Einzelnachweise

1. 1 2 CODATA Recommended Values: Newtonian constant of gravitation. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 20. Mai 2019.  Wert für die Gravitationskonstante.
2. 1 2 Clive Speake, Terry Quinn: The search for Newton’s constant. In: Physics Today. Band 67, Nr. 7, 2014, S. 27, doi:10.1063/PT.3.2447. 
3. ↑ CODATA Recommended Values: Newtonian constant of gravitation over h-bar c. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 20. Mai 2019.  Wert für die Gravitationskonstante in natürlichen Einheiten. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als geschätzte Standardabweichung des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.
4. ↑ David F. Bartlett: Why is it so easy to underestimate systematic errors when measuring G? Phil. Trans. R. Soc. A 372, 2014, doi:10.1098/rsta.2014.0021 (freier Volltext).
5. ↑ Nature 29 August 2018: Measurements of the gravitational constant using two independent methods
6. ↑ FAZ, aktualisiert am 13. September 2018: Schwerkraft auf dem Prüfstand
7. ↑ Henry Cavendish: Experiments to determine the Density of the Earth. (PDF) 1798 (englisch).