Darstellung mit Zeitfunktionen

Der sinusförmige Verlauf des Stromes tritt nur dann auf, wenn sich ausschließlich lineare Verbraucher im Netz befinden. Bei ohmschen Verbrauchern verlaufen Spannung und Strom gleichphasig. Beim Auftreten kapazitiver oder induktiver Verbraucher tritt zusätzlich eine Verschiebung der Phasenwinkel zwischen dem Verlauf von Strom und Spannung auf. Mit den Effektivwerten von Spannung ${\displaystyle U}$ und Stromstärke ${\displaystyle I}$, den Amplituden ${\displaystyle {\hat {u}}={\sqrt {2}}\ U}$ und ${\displaystyle {\hat {\imath }}={\sqrt {2}}\ I}$ , dem Phasenverschiebungswinkel ${\displaystyle \varphi }$ sowie der Kreisfrequenz ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ wird

${\displaystyle p=u\cdot i={\hat {u}}\;\sin \omega t\cdot {\hat {\imath }}\;\sin(\omega t-\varphi )}$

Durch Anwenden der trigonometrischen Beziehung

${\displaystyle \sin \alpha \cdot \sin \beta ={\tfrac {1}{2}}[\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )]}$

folgt

${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}\ {\hat {u}}\;{\hat {\imath }}\ [\cos \varphi -\cos(2\omega t-\varphi )]}$

und mit der Verwendung der Effektivwerte

${\displaystyle p=U\;I\ \cos \varphi \ -\ U\;I\ \cos(2\omega t-\varphi )}$

Der Ausdruck enthält

1. einen zeitunabhängigen Summanden, die Wirkleistung ${\displaystyle P=U\;I\;\cos \varphi }$ , und
2. einen zeitlich mit doppelter Frequenz und der Amplitude ${\displaystyle S=U\;I}$ schwingenden Summanden, dessen Mittelwert gleich null ist. Die Größe ${\displaystyle S}$ nennt man die Scheinleistung.

Damit ergibt sich für den sinusförmigen Verlauf

${\displaystyle P={\overline {p}}=U\;I\ \cos \varphi }$

Die Komponente ${\displaystyle I\,\cos \varphi }$ der Stromstärke ${\displaystyle I}$, die für die Wirkleistung maßgeblich ist, wird Wirkstromstärke genannt.

Komplexe Darstellung

In der Elektrotechnik ist es üblich, die Wechselstromrechnung (also das Rechnen mit sinusförmigen Wechselgrößen) mit Hilfe von Zeigern in der komplexen Ebene durchzuführen, da dieses wesentlich einfacher ist als die Rechnung mit trigonometrischen Funktionen. Zum Anschluss der Leistungsgrößen an die komplexe Wechselstromrechnung wird die komplexe Scheinleistung ${\displaystyle {\underline {S}}}$ definiert, die Wirk- und Blindleistung in einer komplexen Größe zusammenfasst. Sie berechnet sich aus dem Produkt des komplexen Effektivwertes der Spannung mit dem konjugiert komplexen Effektivwert der Stromstärke.

${\displaystyle {\underline {S}}=P+\mathrm {j} Q={\underline {U}}\cdot {\underline {I}}^{*}={\tfrac {1}{2}}\ {\underline {\hat {u}}}\cdot {\underline {\hat {\imath }}}^{*}}$

Die Scheinleistung ${\displaystyle S}$, also der Betrag der komplexen Scheinleistung ${\displaystyle {\underline {S}}}$, ist die pythagoreische Summe aus Wirk- und Blindleistung. Die Wirkleistung ${\displaystyle P}$ ist der Realteil, die Blindleistung ${\displaystyle Q}$ der Imaginärteil der komplexen Scheinleistung.

${\displaystyle S^{2}=P^{2}+Q^{2}\ }$

Vorzeichenfragen

Die Konventionen über Zählrichtungen der Spannungen und Ströme durch Erzeuger- und Verbraucher-Bepfeilung bringen es mit sich, dass bei Energiefluss vom Erzeuger zum Verbraucher die Wirkleistung positiv ist. Das weiter oben gezeigte Bild des zeitlichen Verlaufs zeigt auch negative Werte von ${\displaystyle p}$; dann wird Energie zurückgespeist. Die Wirkleistung wird dadurch kleiner als die Scheinleistung; sie bleibt aber positiv.

Bei Netzen mit mehreren Quellen und Lasten kann sich zwischen Netzabschnitten die Richtung des Energieflusses nicht nur für Bruchteile einer Periodendauer umkehren. In Blick auf die Leistung beschreibt man dieses durch Vorzeichenumkehr der Wirkleistung, so dass auch Werte ${\displaystyle P<0}$ Sinn haben können.

Vierleiter-Stromkreis mit Neutralleiter

Der umfassendste Fall ist der Vierleiter-Stromkreis mit Neutralleiter und drei Außenleitern, wie er im Niederspannungsnetz mit ${\displaystyle U_{1\mathrm {N} }}$ = 230 V bzw. ${\displaystyle U_{12}}$ = 400 V verbreitet ist, in Verbindung mit beliebiger Belastung. Beliebig soll hier heißen: In den drei Außenleitern können Ströme mit unterschiedlichen Amplituden und unterschiedlichen Phasenverschiebungen zur jeweiligen Bezugsspannung fließen. Dann ist

${\displaystyle p={u_{1\mathrm {N} }\;i_{1}}+{u_{2\mathrm {N} }\;i_{2}}+{u_{3\mathrm {N} }\;i_{3}}}$

${\displaystyle P={\overline {u_{1\mathrm {N} }\;i_{1}}}+{\overline {u_{2\mathrm {N} }\;i_{2}}}+{\overline {u_{3\mathrm {N} }\;i_{3}}}}$

${\displaystyle P=U_{1\mathrm {N} }\;I_{1}\ \cos \varphi _{1}+U_{2\mathrm {N} }\;I_{2}\ \cos \varphi _{2}+U_{3\mathrm {N} }\;I_{3}\ \cos \varphi _{3}}$

Dieses ist messbar mit drei Leistungsmessern bzw. einem Kombinations-Gerät.

Dreileiter-Stromkreis

Durch den fehlenden Neutralleiter im Dreileiter-Stromkreis ist

${\displaystyle i_{1}+i_{2}+i_{3}=0}$ .

Mit ${\displaystyle \quad u_{1\mathrm {N} }=u_{12}+u_{2\mathrm {N} }}$

und ${\displaystyle \quad u_{3\mathrm {N} }=u_{32}+u_{2\mathrm {N} }}$

wird   ${\displaystyle p=u_{1\mathrm {N} }\;i_{1}+u_{2\mathrm {N} }\;i_{2}+u_{3\mathrm {N} }\;i_{3}}$

${\displaystyle =u_{12}\;i_{1}+u_{32}\;i_{3}+u_{2\mathrm {N} }(i_{1}+i_{2}+i_{3})}$

wobei der letzte Summand gleich null ist, womit ${\displaystyle i_{2}}$ verschwindet. Im Dreileiter-Stromkreis mit beliebiger Belastung reichen also zwei Leistungsmesser, wenn sie in Aronschaltung gemäß der nächsten Gleichung betrieben werden.

${\displaystyle P={\overline {u_{12}\;i_{1}}}+{\overline {u_{32}\;i_{3}}}=P_{1}+P_{3}}$

mit ${\displaystyle P_{1}=U_{12}\;I_{1}\ \cos \delta _{1}}$

und ${\displaystyle P_{3}=U_{32}\;I_{3}\ \cos \delta _{3}}$ ,

wobei ${\displaystyle \delta _{1}=\varphi _{1}+30^{\circ }}$ = Winkel zwischen ${\displaystyle {\underline {U}}_{12}}$ und ${\displaystyle {\underline {I}}_{1}}$

und ${\displaystyle \delta _{3}=\varphi _{3}-30^{\circ }}$ = Winkel zwischen ${\displaystyle {\underline {U}}_{32}}$ und ${\displaystyle {\underline {I}}_{3}}$

Hinweise hierzu:

1. Formal kann ein Leiter, hier in Übereinstimmung mit DIN 43807 der Leiter L2, als Rückleiter aufgefasst werden.
2. ${\displaystyle P_{1}}$ und ${\displaystyle P_{3}}$ haben keine anschauliche Bedeutung, nicht einmal im Vorzeichen. Z. B. ist bei reiner Blindlast ${\displaystyle P=0}$, aber ${\displaystyle P_{1}=-P_{3}\neq 0}$.
3. Weil ${\displaystyle U_{12}={\sqrt {3}}\;U_{1\mathrm {N} }}$ , ist aufzupassen, ob der Leistungsmesser, der auf die Spannung ${\displaystyle U_{1\mathrm {N} }}$ ausgelegt ist, auch die höhere Spannung ${\displaystyle U_{12}}$ verträgt. Wenn durch einen Vorwiderstand oder einen Spannungswandler die Spannung um den Faktor ${\displaystyle 1/{\sqrt {3}}}$ vermindert wird, ist diese Überlastungsgefahr behoben. Wegen der so verkleinerten Spannung muss allerdings der Messwert um den Faktor ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ rechnerisch vergrößert werden.

Symmetrische Belastung

Bei symmetrischer Belastung reicht die Verwendung nur eines Leistungsmessers für den Leistungs-Bezug durch einen der Außenleiter. Die gesamte Leistung ist davon das Dreifache.

${\displaystyle P=3\cdot U_{1\mathrm {N} }\;I_{1}\;\cos \varphi _{1}}$ .

Im Dreileiter-Stromkreis ist dazu das Neutralleiter-Potential durch einen Sternpunkt gemäß Bild künstlich zu schaffen mit zwei Widerständen, die genauso groß sind wie der Widerstand des Spannungspfades im Leistungsmesser.