Bremsweg

Bremsen bis zum Stillstand

Für die Momentangeschwindigkeit ${\displaystyle v(t)}$ in Abhängigkeit der Zeit ${\displaystyle t}$ während des Bremsvorgangs ( ${\displaystyle t_{0}\leq t\leq {\tfrac {v_{0}}{a}}}$) gilt:

${\displaystyle v(t)=v_{0}-a\cdot t}$          (2)

Die Geschwindigkeit nimmt, ausgehend von ${\displaystyle v_{0}}$, linear ab. Dabei ist ${\displaystyle a\cdot t}$ jener Teil der Geschwindigkeit, der durch das Bremsen, also durch die negative Beschleunigung ( ${\displaystyle -a}$), verloren gegangen ist. Weil hier eine positive Bremsverzögerung ( ${\displaystyle a>0}$) eine Geschwindigkeitsverringerung bedeuten soll, muss die Bremsverzögerung folglich in die entgegengesetzte Richtung zur Geschwindigkeit wirken; daher wird in Gleichung (2) der Term ${\displaystyle a\cdot t}$ subtrahiert. (Alternativ könnte man die Beschleunigung in dieselbe Richtung wie die Geschwindigkeit ansetzen; dann würden sich für geschwindigkeitssteigernde Beschleunigungen positive und für bremsende negative Werte ergeben, weshalb beim Bremsen häufig von „negativer Beschleunigung“ die Rede ist.)

Für die (vom Zeitpunkt ${\displaystyle t_{0}}$ des Verzögerungsbeginns bis zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$) zurückgelegte Wegstrecke ${\displaystyle s(t)}$ gilt hier (wegen des allgemeingültigen Zusammenhangs ${\displaystyle v(t)={\tfrac {\mathrm {d} s(t)}{\mathrm {d} t}}={\dot {s}}}$):

${\displaystyle {\begin{aligned}s(t)&=\int _{t_{0}}^{t}v(\tau )\,\mathrm {d} \tau \\&=\int _{t_{0}}^{t}(v_{0}-a\cdot \tau )\,\mathrm {d} \tau \\&=\left(v_{0}\cdot \tau -{\frac {1}{2}}\cdot a\cdot \tau ^{2}\right){\Bigg |}_{t_{0}}^{t}\\&=\left(v_{0}\cdot t-{\frac {1}{2}}\cdot a\cdot t^{2}\right)-\underbrace {\left(v_{0}\cdot t_{0}-{\frac {1}{2}}\cdot a\cdot t_{0}^{2}\right)} _{=0{\text{, weil }}t_{0}=0}\\&=v_{0}\cdot t-{\frac {1}{2}}\cdot a\cdot t^{2}\end{aligned}}}$          (3)

Erklärung dazu:

${\displaystyle v_{0}\cdot t}$ ist die Strecke, die der Gegenstand zurückgelegt hätte, wenn er nicht gebremst worden wäre.

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot a\cdot t^{2}}$ ist die Strecke, die er durch den Bremsvorgang weniger zurücklegt.

Nach verstrichener Bremszeit ${\displaystyle t_{\text{B}}}$ kommt der Gegenstand schließlich zum Stillstand, dann ist ${\displaystyle v(t_{\text{B}})=0}$. Dies setzt man nun in Gleichung (2) ein:

${\displaystyle v(t_{\text{B}})=v_{0}-a\cdot t_{\text{B}}=0}$

Löst man diese Gleichung nach der Bremszeit ${\displaystyle t_{\text{B}}}$ auf, erhält man:

${\displaystyle t_{\text{B}}={\frac {v_{0}}{a}}}$

Setzt man die Bremszeit ${\displaystyle t_{\text{B}}}$ nun in Gleichung (3) ein, so erhält man die Formel (1) für den Bremsweg ${\displaystyle s_{\text{B}}}$:

${\displaystyle s_{\text{B}}=s(t_{\text{B}})=v_{0}\cdot {\frac {v_{0}}{a}}-{\frac {1}{2}}\cdot a\cdot {\frac {v_{0}^{2}}{a^{2}}}={\frac {v_{0}^{2}}{2\cdot a}}}$

Bremsen bis zu einer Endgeschwindigkeit

Das Bremsen (mit konstanter Bremsverzögerung ${\displaystyle a>0}$) von der Anfangsgeschwindigkeit ${\displaystyle v_{0}=v(t_{0})}$ (zum Zeitpunkt ${\displaystyle t_{0}=0}$) bis zur Endgeschwindigkeit ${\displaystyle v_{1}=v(t_{1})}$ (mit ${\displaystyle 0\leq v_{1}<v_{0}}$) führt, analog zu obigen Überlegungen, zur Bremszeit ${\displaystyle t_{1}}$ und zum Bremsweg ${\displaystyle s_{1}=s(t_{1})}$ wie folgt:

• ${\displaystyle v(t)={\begin{cases}v_{0}-a\cdot t,&{\text{wenn }}0\leq t<t_{1}{\text{,}}\\v_{1},&{\text{wenn }}t\geq t_{1}{\text{.}}\end{cases}}}$
• ${\displaystyle s(t)={\begin{cases}v_{0}\cdot t-{\frac {1}{2}}\cdot a\cdot t^{2},&{\text{wenn }}0\leq t<t_{1}{\text{,}}\\s_{1}+v_{1}\cdot (t-t_{1}),&{\text{wenn }}t\geq t_{1}{\text{.}}\end{cases}}}$
• ${\displaystyle t_{1}={\frac {v_{0}-v_{1}}{a}}}$
• ${\displaystyle s_{1}=v_{0}\cdot t_{1}-{\frac {1}{2}}\cdot a\cdot t_{1}^{2}={\frac {v_{0}^{2}-v_{1}^{2}}{2\cdot a}}}$