Kinematik

Die Kinematik (altgriech. κίνημα kinema ‚Bewegung‘, von κινεῖν kinein ‚bewegen‘) ist die Lehre der Bewegung von Punkten und Körpern im Raum, beschrieben durch die Größen Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung, ohne die Ursachen der Bewegung (Kräfte) zu betrachten. Die Bewegung ist im Allgemeinen durch Zwangsbedingungen, z. B. die konstante Fadenlänge bei einem Pendel, eingeschränkt. Durch solche kinematischen Bindungen reduziert sich die Anzahl der Freiheitsgrade eines Körpers.

Die Bewegung von Körpern unter Einwirkung von Kräften ist Gegenstand der Dynamik. Kinematik und Dynamik sind Teilgebiete der Mechanik. Die kinematische Analyse ist die Vorstufe zur Aufstellung von Bewegungsgleichungen z. B. nach dem d'Alembertschen Prinzip.

Den Größen Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung bei einer geradlinigen Bewegung entsprechen bei einer Drehbewegung die Größen Winkel, Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung.

Bewegung des Massenpunkts

Die Position eines Punktes wird durch drei Koordinaten im dreidimensionalen Raum festgelegt. Bei einem starren Körper genügen drei weitere Freiheitsgrade für die Rotation (Drehungen im dreidimensionalen Raum), um die Lage des gesamten Körpers zu beschreiben.

Die Grundgleichungen der Kinematik einer Punktmasse definieren die Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}(t)}$ und die Beschleunigung ${\displaystyle {\vec {a}}(t)}$ als Ableitungen der Bahnkurve ${\displaystyle {\vec {r}}(t)}$ , die der Ortsvektor im Laufe der Zeit ${\displaystyle t}$ durchläuft:

${\displaystyle {\vec {v}}(t)={\dot {\vec {r}}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}}$ ,

${\displaystyle {\vec {a}}(t)={\ddot {\vec {r}}}(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}}$ .

Ist die Bewegung durch kinematische Bindungen eingeschränkt, lässt sich der Ortsvektor als Funktion der verallgemeinerten Koordinaten, die im Vektor ${\displaystyle {\vec {q}}(t)}$ zusammengefasst werden, darstellen.

${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}({\vec {q}}(t))}$

Die Geschwindigkeit ergibt sich durch Ableitung des Ortsvektors zu:

${\displaystyle {\vec {v}}=\sum _{i}{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial q_{i}}}\,{\dot {q}}_{i}}$ .

Durch nochmalige Ableitung erhält man die Beschleunigung:

${\displaystyle {\vec {a}}=\sum _{i}{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial q_{i}}}\,{\ddot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial {^{2}}{\vec {r}}}{\partial q_{i}^{2}}}\,{\dot {q}}_{i}^{2}}$ .

Zur Aufstellung von Bewegungsgleichungen, z. B. nach dem d'Alembertschen Prinzip, wird die mit den kinematischen Bindungen verträgliche virtuelle Verschiebung benötigt.

${\displaystyle \delta {\vec {r}}=\sum _{i}{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial q_{i}}}\,\delta q_{i}}$ .

Absolutkinematik

Die Bewegung starrer Körper, die durch Gelenke miteinander verbunden sind, ist die Grundlage zur Analyse von Mehrkörpersystemen. Hierzu werden Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung des starren Körpers j relativ zum Körper i betrachtet. Die Relativbewegung kann durch die Gelenk-Koordinaten (verallgemeinerte Koordinaten) und deren Ableitungen berechnet werden. Die Bewegungsgrößen des Körpers i im Inertialsystem werden als bekannt vorausgesetzt.[1]

${\displaystyle {\vec {r}}_{j}={\vec {r}}_{i}+{\vec {r}}_{i,j}}$

${\displaystyle {\vec {v}}_{j}={\vec {v}}_{i}+{\vec {\omega }}_{i}\times {{\vec {r}}_{i,j}}+{\vec {v}}_{i,j}}$

${\displaystyle {\vec {a}}_{j}={\vec {a}}_{i}+{\vec {\omega }}_{i}\times ({\vec {\omega }}_{i}\times {\vec {r}}_{i,j})+2{\vec {\omega }}_{i}\times {\vec {v}}_{i,j}+{\vec {\alpha }}_{i}\times {\vec {r}}_{i,j}+{\vec {a}}_{i,j}}$

${\displaystyle {\vec {\omega }}_{j}={\vec {\omega }}_{i}+{\vec {\omega }}_{i,j}}$

${\displaystyle {\vec {\alpha }}_{j}={\vec {\alpha }}_{i}+{\vec {\omega }}_{i}\times {\vec {\omega }}_{i,j}+{\vec {\alpha }}_{i,j}}$

Mit:

${\displaystyle {\vec {r}}_{i},{\vec {r}}_{j}}$ : Ortsvektoren zu den Körpern i, j

${\displaystyle {\vec {r}}_{i,j}}$ : Vektor vom Körper i zum Körper j

${\displaystyle {\vec {v}}_{i},{\vec {v}}_{j}}$ : Absolutgeschwindigkeiten der Körper i, j

${\displaystyle {\vec {a}}_{i},{\vec {a}}_{j}}$ : Absolutbeschleunigungen der Körper i, j

${\displaystyle {\vec {v}}_{i,j}}$ : Geschwindigkeit des Körpers j relativ zum Körper i

${\displaystyle {\vec {\omega }}_{i},{\vec {\omega }}_{j}}$ : absolute Winkelgeschwindigkeiten der Körper i, j

${\displaystyle {\vec {\omega }}_{i,j}}$ : Winkelgeschwindigkeit des Körpers j relativ zum Körper i

${\displaystyle {\vec {\alpha }}_{i},{\vec {\alpha }}_{j}}$ : absolute Winkelbeschleunigungen der Körper i, j

${\displaystyle {\vec {\alpha }}_{i,j}}$ : Winkelbeschleunigung des Körpers j relativ zum Körper i

Anwendungen

Bei Mehrkörpersystemen ist die Untersuchung räumlicher Mechanismen Gegenstand der Kinematik. Diese Mechanismen sind häufig aus Gelenken und Verbindungen aufgebaut. Beispiele sind Roboter, kinematische Ketten und Radaufhängungen in der Automobilindustrie. Mit kinematischen Methoden (in der Robotik siehe Direkte Kinematik) wird die Anzahl der Freiheitsgrade ermittelt und Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung aller Körper berechnet.

Einzelnachweise

1. ↑ Klaus-Peter Schnelle: Simulationsmodelle für die Fahrdynamik von Personenkraftwagen unter Berücksichtigung der nichtlinearen Fahrwerkskinematik. VDI-Verlag, Düsseldorf 1990, ISBN 3-18-144612-2. (Fortschrittsberichte VDI Nr. 146)

Weblinks

  Wikibooks: Kinematik  – Lern- und Lehrmaterialien

  Wikiversity: Kinematik  – Kursmaterialien, Forschungsprojekte und wissenschaftlicher Austausch

• Die Kinematik des Massepunktes auf einer Kreisbahn Animation von BIGS
• Die Kinematik des starren Körpers (Memento vom 12. Februar 2010 im Internet Archive)
• Kinematik des starren Körpers. U. Zwiers (PDF-Datei 354 KB)
• Kinematik und Computeranimation
• Digitalisierte Bücher aus der Geschichte der Kinematik
• Kinematik auf Lern-Online.net

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