Newtonsches Gravitationsgesetz

Massenpunkte

Der Betrag der Kraft zwischen zwei Massepunkten ${\displaystyle m_{1}}$ und ${\displaystyle m_{2}}$ im Abstand ${\displaystyle r}$ ist

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$

Die Größe ${\displaystyle G}$ ist die Gravitationskonstante. Die auf die beiden Massen wirkenden Kräfte sind entgegengesetzt gleich groß und haben immer die Richtung zum jeweils anderen Massepunkt; das newtonsche Gravitationsgesetz beschreibt damit im Gegensatz zum mathematisch ähnlichen coulombschen Gesetz eine immer anziehende Kraft. In vektorieller Form ist die auf Massepunkt 1 wirkende Kraft ${\displaystyle {\vec {F}}_{1}}$

${\displaystyle {\vec {F}}_{1}=Gm_{1}m_{2}{\frac {{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}}}$

wobei ${\displaystyle {\vec {r}}_{1}}$ und ${\displaystyle {\vec {r}}_{2}}$ die Positionen (Ortsvektoren) der beiden Massepunkte sind. Die Betragsstriche im Nenner des Ausdrucks stehen für den Betrag des Vektors. Wird der Massepunkt 1 von mehreren Massepunkten 2, 3, ... , n angezogen, so addieren sich die einzelnen Kräfte zur auf Massepunkt 1 wirkenden Gesamtkraft

${\displaystyle {\vec {F}}_{1}=Gm_{1}\sum _{i=2}^{n}m_{i}{\frac {{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{1}}{|{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}}}$

Die Beträge der Beschleunigung (Gravitationsbeschleunigung oder Gravitationsfeldstärke, siehe Gravitationsfeld) ${\displaystyle a_{1}}$ und ${\displaystyle a_{2}}$ , die zwei Punktmassen ${\displaystyle m_{1}}$ und ${\displaystyle m_{2}}$ im Abstand ${\displaystyle r}$ bei Abwesenheit anderer Kräfte durch das newtonsche Gravitationsgesetz erfahren, ergibt sich nach dem zweiten newtonschen Axiom:

${\displaystyle a_{1}={\frac {F}{m_{1}}}=G{\frac {m_{2}}{r^{2}}}\qquad {\text{bzw.}}\qquad a_{2}={\frac {F}{m_{2}}}=G{\frac {m_{1}}{r^{2}}}}$

Die Masse ${\displaystyle m_{1}}$ zieht die Masse ${\displaystyle m_{2}}$ an und umgekehrt. Die beiden Einzelbeschleunigungen beziehen sich dabei auf den gemeinsamen Schwerpunkt. Die Gesamtbeschleunigung der Körper aufeinander zu ist die Summe der Einzelbeschleunigungen, und ihr Betrag ist

${\displaystyle a_{1}+a_{2}=G\,{\frac {m_{1}+m_{2}}{r^{2}}}}$

Falls nun eine der Massen viel kleiner ist als die andere, reicht es näherungsweise aus, nur die größere Masse zu berücksichtigen. So hat die Erde viel mehr Masse als ein Apfel, ein Mensch oder ein LKW, so dass es für alle diese Objekte reicht, die Masse der Erde in die Gleichung für die Beschleunigung einzusetzen. Alle drei Objekte werden, wenn sie sich an demselben Ort befinden, gleich stark in Richtung Erdmitte beschleunigt. Sie fallen gleich schnell und in dieselbe Richtung. Wenn man jedoch ein Doppelsternsystem betrachtet, muss man beide Sternenmassen berücksichtigen, weil sie etwa gleich groß sind.

Wenn sich ${\displaystyle r}$ während der Bewegung eines Objektes nur sehr geringfügig verändert, ist die Gravitationsbeschleunigung praktisch konstant, etwa bei einem Gegenstand nahe der Erdoberfläche, der nur einige Meter tief fällt, also verschwindend wenig im Vergleich zum Erdradius von r = ca. 6370 km. In einem hinreichend kleinen Bereich kann also das Gravitationsfeld als homogen betrachtet werden.

Ausgedehnte Körper

Reale Körper sind keine Punktmassen, sondern haben eine räumliche Ausdehnung. Da das Gravitationsgesetz linear in den Massen ist, kann der Körper gedanklich in kleine Teile zerlegt werden und deren Beiträge wie im vorigen Abschnitt gezeigt vektoriell addieren. Beim Grenzübergang zu unendlich kleinen Teilen, ergibt sich statt einer herkömmlichen Summe ein Integral.

Auf diese Weise kann unter anderem gezeigt werden, dass ein Objekt mit sphärisch symmetrischer Massenverteilung im Außenraum dieselbe Gravitationswirkung hat, als wäre seine gesamte Masse in seinem Schwerpunkt vereinigt. Daher können ausgedehnte Himmelskörper näherungsweise als Massenpunkte behandelt werden. Im Innern einer elliptischen oder kugelsymmetrischen homogenen Massenverteilung, z. B. einer Hohlkugel, ist die Gravitationskraft null. Daraus folgt, dass in einem beliebigen Abstand ${\displaystyle r}$ vom Mittelpunkt einer kugelsymmetrischen Massenverteilung die Gravitationskraft genau von dem Anteil der Gesamtmasse erzeugt wird, der innerhalb einer Kugel mit dem Radius ${\displaystyle r}$ liegt. Newton hat dieses Theorem in seiner Philosophiae Naturalis Principia Mathematica bewiesen. Für nicht elliptisch symmetrische Körper oder inhomogene Massenverteilungen gilt das Theorem im Allgemeinen jedoch nicht. Ebenso ist zu beachten, dass die Gravitation keine Gegenkraft besitzt, also nicht abgeschirmt werden kann. Ein reales Gravitationsfeld in einer Hohlkugel wäre somit nicht null, da im inneren natürlich die Gravitationskräfte aller anderen im Universum vorhandener Körper wirken würden – nur die Kugelschale selbst würde nichts zur Kraft beitragen.

Theoretische Grenzen

• Die newtonsche Theorie ist eine effektive Theorie, das bedeutet, sie gibt weder eine Ursache für die Gravitationskraft an, noch erklärt sie, wie die Gravitation über die Entfernung wirken kann. Diese Fernwirkung war auch für Newton unbefriedigend. Um diese Erklärungslücke zu schließen, wurde die sogenannte Le-Sage-Gravitation als Modell entwickelt, das sich jedoch nie wirklich durchsetzen konnte.
• Die newtonsche Theorie setzt voraus, dass sich die Gravitationswirkung unendlich schnell ausbreitet, damit die keplerschen Gesetze erfüllt sind. Dies führte zu Konflikten mit der speziellen Relativitätstheorie. Diese fordert nämlich, dass sich auch die Gravitation nur mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet.
• Die Äquivalenz von träger und schwerer Masse ist in der newtonschen Mechanik nicht erklärt.

Widersprüche zur Beobachtung

• Die newtonsche Theorie erklärt nicht vollständig die Periheldrehung der Planetenumlaufbahnen, besonders des Merkur. Bei diesem beträgt der Unterschied zwischen der nach der newtonschen Theorie berechneten und der beobachteten Periheldrehung 43 Bogensekunden pro Jahrhundert.
• Ob Licht im Gravitationsfeld abgelenkt wird oder nicht, hängt in der newtonschen Theorie davon ab, welche Natur dem Licht zugeschrieben wird. Wird es als elektromagnetische Welle aufgefasst, dann ergibt sich keine Ablenkung. Wird es jedoch gemäß der Korpuskeltheorie als massebehaftetes Teilchen aufgefasst, dann ergibt sich gemäß dem newtonschen Gravitationsgesetz eine Lichtablenkung, wobei aus der Bewegungsgleichung eine Vorhersage gemacht werden kann, die unabhängig von der Masse ist und somit auch im Grenzfall verschwindender Masse gültig bleibt. Dieser Wert beträgt jedoch nur die Hälfte der tatsächlich beobachteten Ablenkung. Der gemessene Wert ergibt sich richtig aus den Gleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie.