Variable (Mathematik)

Eine Variable ist eine Bezeichnung für ein Objekt, das verschiedene Werte aus einer Menge von Elementen annehmen kann;[1] anders ausgedrückt bezeichnet der Begriff Variable einen Namen für eine Leerstelle in einem logischen oder mathematischen Ausdruck.[2] Der Begriff leitet sich vom lateinischen Adjektiv variabilis (veränderlich) ab. Gleichwertig werden auch die Begriffe Platzhalter oder Veränderliche benutzt. Als „Variable" verstand man früher Wörter oder Symbole, heute meint man damit Formelzeichen. Wird anstelle der Variablen ein konkretes Objekt eingesetzt, so ist darauf zu achten, dass überall dort, wo die Variable auftritt, auch dasselbe Objekt benutzt wird.[2]

Ein Formelzeichen steht in der Physik und den Ingenieurwissenschaften für eine nicht notwendig numerisch festgelegte oder für eine zumindest anfangs noch veränderliche physikalische Größe oder Zahl. Die Formelzeichen für Größen sind im Allgemeinen einzelne Buchstaben, bei Bedarf ergänzt durch Indices oder andere modifizierende Zeichen.[3][4]

Variable, die in einer Gleichung vorkommen, nennt man auch Unbekannte oder Unbestimmte. Beim Zusammentreffen mehrerer Variabler unterscheidet man abhängige und unabhängige Variable. Alle unabhängigen Variablen gehören zu einer Definitionsmenge oder einem Definitionsbereich, die davon abhängigen zu einer Wertemenge oder einem Wertebereich.[5][6]

Entstehungsgeschichte

Das Konzept einer Variablen stammt aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra (siehe auch Elementare Algebra). Schon etwa 2000 Jahre v. Chr. benutzten Babylonier und Ägypter Wörter als Wortvariable. Um 250 n. Chr. ist bei Diophantos von Alexandria der Übergang von der Wortalgebra zur Symbolalgebra zu erkennen. Er benutzt bereits Zeichen für die Unbekannte und ihre Potenzen sowie für Rechenoperationen.[7] Diophants Schreibweise wurde von den Indern durch eine leistungsfähigere Zahlenschreibweise und durch Verwendung negativer Zahlen z. B. von Aryabhata im 5. Jahrhundert n. Chr. oder Brahmagupta im 7. Jahrhundert n. Chr. weiterentwickelt. Bei Rechnungen mit mehreren Unbekannten benutzten sie einen Buchstaben in verschiedenen Farben.[8] Über die Araber gelangte das Wissen der Griechen und Inder ins spätmittelalterliche Abendland. Allerdings war die arabische Algebra wieder eine Wortalgebra.[9] In dem im Jahr 1202 erschienenen Liber Abaci von Leonardo von Pisa werden Buchstaben als Zeichen für beliebige Zahlen benutzt und auch negative Lösungen zugelassen. Jordanus Nemorarius (13. Jahrhundert) löste Gleichungen mit allgemeinen Koeffizienten. In Deutschland schufen zu Beginn des 16. Jahrhunderts z. B. Christoph Rudolff und Michael Stifel die formalen Grundlagen der modernen Algebra.[10] Allgemein gilt François Viète mit seinem im Jahr 1591 erschienenen Buch In artem analyticam isagoge als Wegbereiter und Begründer unserer modernen Symbolalgebra.[11] Bei René Descartes finden wir unsere moderne Symbolschreibweise. Nur für das Gleichheitszeichen benutzt er noch ein anderes Symbol. Er führte die Begriffe Variable, Funktion und rechtwinkliges Koordinatensystem ein.[12] Der Begriff einer Veränderlichen und die Vorstellung einer Veränderlichen ist grundlegend für die Infinitesimalrechnung, die im 17. Jahrhundert sowohl von Isaac Newton als auch von Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelt wurde.

Arten von Variablen

Nach der Art der Verwendung einer Variablen lassen sich unterscheiden:

Unabhängige Variable

Man spricht gewöhnlich von einer unabhängigen Variablen, falls ihr Wert innerhalb ihres Definitionsbereiches frei gewählt werden kann. In mathematischer Allgemeinheit wird oft das Zeichen ${\displaystyle x}$ verwendet. Am konkreten Objekt eines Durchmessers ${\displaystyle d}$ eines gedachten Kreises (oder für dessen Maßzahl zu einer Längen-Maßeinheit) kommt jeder positive reelle Wert in Betracht.

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem wird die unabhängige Variable üblicherweise als Abszisse auf der waagerechten Koordinatenachse aufgetragen.

Abhängige Variable

Häufig ist der Wert einer Variablen abhängig von den Werten anderer Variabler. Sie erhält im allgemeinen Fall oft das Zeichen ${\displaystyle y}$ . Speziell der Umfang ${\displaystyle U}$ eines Kreises mit dem Durchmesser ${\displaystyle d}$ ist über die Definition der Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ durch die Beziehung

${\displaystyle U=\pi \cdot d}$

gegeben. Sobald der Durchmesser (unabhängige Variable ${\displaystyle d}$ ) bekannt ist, ist der Umfang eindeutig festgelegt (abhängige Variable ${\displaystyle U}$ ). Diese Betrachtungsweise ist willkürlich: Man kann genauso gut den Umfang ${\displaystyle U}$ als unabhängige Variable vorgeben, muss dann aber den Kreisdurchmesser gemäß

${\displaystyle d={\frac {U}{\pi }}}$

als abhängige Variable ansehen.

Die Abhängigkeit lässt sich in einem Liniendiagramm veranschaulichen. Im rechtwinkligen Koordinatensystem wird die abhängige Variable üblicherweise als Ordinate auf der senkrechten Achse aufgetragen.

Parameter

Ein Parameter oder auch eine Formvariable ist eine an sich unabhängige Variable, die aber zumindest in einer gegebenen Situation eher als eine festgehaltene Größe aufgefasst wird.

Beispiel 1: Der Bremsweg ${\displaystyle s}$ eines Fahrzeugs ist vor allem von dessen Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ abhängig:

${\displaystyle s=f\cdot v^{2}}$ .

Dabei ist ${\displaystyle f}$ eine sog. Proportionalitätskonstante – ein Parameter, dessen Wert bei genauerer Betrachtung von weiteren Parametern wie der Griffigkeit des Straßenbelags und der Profiltiefe der Reifen abhängig ist. Dennoch gilt für jeden festen Wert von ${\displaystyle f}$ , dass eine Erhöhung der unabhängigen Variablen ${\displaystyle v}$ um beispielsweise 10 % (also auf ${\displaystyle 1{,}10\cdot v}$ ) eine Verlängerung des Bremswegs auf ${\displaystyle f\cdot (1{,}10\cdot v)^{2}=f\cdot 1{,}21\cdot v^{2}}$ oder um 21 % zufolge hat.

In einem Liniendiagramm mit einer Kurvenschar unterscheidet ein Parameter üblicherweise die einzelnen Kurvenexemplare voneinander.

Beispiel 2: Die quadratische Gleichung

${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$

enthält die drei Variablen ${\displaystyle p,\;q{\text{ und }}x}$ . In ihrer bevorzugten Anwendung sind aber ${\displaystyle p{\text{ und }}q}$ festgelegt und zwar als reelle Zahlen. Die Gleichung wird damit zur Bestimmungsgleichung für ${\displaystyle x}$ , siehe unten. Für eine reelle Lösung von ${\displaystyle x}$ muss die Bedingung ${\displaystyle p^{2}\geq 4\,q}$ erfüllt sein.

Konstanten

Häufig werden auch konkrete unveränderliche Zahlen, festliegende Größen oder auch durch Messabweichungen unsichere bzw. unrichtige Messwerte mit einem Formelzeichen versehen, das nun statt der numerischen Angabe verwendet werden kann. Das Formelzeichen steht für den in der Regel unbekannten wahren Wert. Beispiele sind die Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$  = 3,1415… oder die Elementarladung ${\displaystyle e}$  = 1,602…·10⁻¹⁹ As.

Weitere Variable

In Spezialgebieten kommen weitere Bedeutungen vor, z. B. Statistische Variable oder Freie Variable und gebundene Variable.

Elementare Anwendungen in Beispielen

Lineare Bestimmungsgleichungen

Häufig ist eine Gleichung nicht allgemeingültig, aber es gibt gewisse Werte aus dem Definitionsbereich, für die die Gleichung eine wahre Aussage liefert. Dann besteht eine Aufgabe darin, diese Werte zu bestimmen.

Beispiel 1: Bernhard ist heute doppelt so alt wie Anna; zusammen sind sie 24 Jahre alt. In diesem Zusammenhang wird das Alter ganzzahlig angegeben, so dass das unbekannte Alter auch nur ein Element der ganzen Zahlen sein kann. Wenn ${\displaystyle a}$ das Alter von Anna beschreibt, so ist Bernhard ${\displaystyle 2a}$ Jahre alt. Zusammen sind sie ${\displaystyle 3a=24}$ Jahre alt. Diese Gleichung mit der Unbekannten  ${\displaystyle a}$ , einer zunächst unabhängigen Variablen, ermöglicht den Wert von ${\displaystyle a}$ zu bestimmen, weil ${\displaystyle a}$ ein Drittel von 24 sein muss. Also sind Anna acht und Bernhard 16 Jahre alt.

Beispiel 2: Die Gleichung ${\displaystyle x^{2}+5x+6=0}$ ist gültig für die zwei Lösungen ${\displaystyle x_{1}=-2}$ und ${\displaystyle x_{2}=-3}$ .

Funktionale Abhängigkeiten

Mathematisch angebbare Zusammenhänge, beispielsweise physikalisch-technische Gesetzmäßigkeiten, werden in der Regel durch Gleichungen beschrieben, die einige Größen als Variable enthalten. Dabei ist die Anzahl der Variablen keineswegs auf zwei beschränkt.

Beispielsweise ist der elektrische Gleichstromwiderstand ${\displaystyle R}$ eines metallischen Drahtes gegeben durch seine Querschnittsfläche ${\displaystyle A}$ , seine Länge ${\displaystyle l}$ und eine Materialkonstante ${\displaystyle \varrho }$ als

${\displaystyle R=\varrho \cdot {\frac {l}{A}}}$ .

Unmittelbar an der Gleichung ist zu sehen, dass sich ein Widerstand erhöht durch Verwendung eines längeren oder eines dünneren oder eines anders legierten Drahtes mit höherem ${\displaystyle \varrho }$ . Nicht in der Gleichung enthalten ist, dass sich der Widerstand auch dann erhöht, wenn sich seine Temperatur erhöht, denn ${\displaystyle l,\;A{\text{ und }}\varrho }$ sind in der Regel noch abhängig von der Temperatur, die hier aber als Parameter behandelt wird.

Terme mit Variablen als Beweisprinzip

Betrachtet man etwa für die natürlichen Zahlen (einschließlich der Null) ihre Folge der Quadrate (0, 1, 4, 9, 16, …), so fällt auf, dass die jeweiligen Abstände zwischen zwei benachbarten Quadraten genau die Folge der ungeraden Zahlen (1, 3, 5, 7, …) ergibt. Für eine endliche Zahl von Folgengliedern lässt sich das einfach nachrechnen; auf diesem Weg erhält man aber keinen Beweis. Unter Zuhilfenahme von Variablen gelingt dieser aber sehr einfach. Ausgangspunkt ist die binomische Formel

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$ .

Beweis: Das Quadrat der natürlichen Zahl ${\displaystyle n}$ ist ${\displaystyle n^{2}}$ , das nächste ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ . Die Differenz zweier benachbarter Quadrate ist also

${\displaystyle (n+1)^{2}-n^{2}=(n^{2}+2n+1)-n^{2}=2n+1}$ .

Zur Folge ${\displaystyle n}$ der natürlichen Zahlen beschreibt dieses ${\displaystyle 2n+1}$ die Folge der ungeraden Zahlen.

Abgrenzung

Eine Zufallsvariable oder auch Zufallsgröße, Zufallsveränderliche oder stochastische Variable ist keine Variable, sondern eine Funktion, deren Funktionswerte von den Zufallsergebnissen des zugehörigen Zufallsversuchs abhängen.

Literatur

• G. Malle: Didaktische Probleme der elementaren Algebra, Vieweg Verlag Braunschweig, 1993, ISBN 3-528-06319-X
• W. Popp: Fachdidaktik Mathematik, Aulis Verlag Köln, 1999, ISBN 3-7614-2125-7
• W. Popp: Wege des exakten Denkens, Verlag Ehrenwirth München,1981, ISBN 3-431-02416-5
• Schüler-Duden. Die Mathematik I, Dudenverlag Mannheim, 1990, ISBN 3-411-04205-2

Siehe auch

  Wiktionary: Variable  – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

1. ↑ Erhard Cramer, Johanna Neslehova, Vorkurs Mathematik: Arbeitsbuch zum Studienbeginn in Bachelor-Studiengängen, Springer, 2012
2. 1 2 Norbert Henze, Günter Last, Mathematik für Wirtschaftsingenieure und für naturwissenschaftlich-technische Studiengänge, Band 1, Vieweg, 2005
3. ↑ EN ISO 80000-1:2013, Größen und Einheiten – Teil 1: Allgemeines, Nr. 7.1.1
4. ↑ DIN 1304-1:1994 Formelzeichen – Allgemeine Formelzeichen
5. ↑ Arnfried Kemnitz, Mathematik zum Studienbeginn, Vieweg + Teubner, 2010
6. ↑ Jürgen Koch, Martin Stämpfle, Mathematik für das Ingenieurstudium, Carl Hanser, 2013
7. ↑ W. Popp: Wege des exakten Denkens. S. 122 ff.
8. ↑ W. Popp: Fachdidaktik Mathematik. S. 164 f.
9. ↑ W. Popp: Wege des exakten Denkens. S. 129.
10. ↑ W. Popp: Fachdidaktik Mathematik. S. 165–168.
11. ↑ W. Popp: Wege des exakten Denkens. S. 135 f.
12. ↑ W. Popp: Fachdidaktik Mathematik. S. 169 f.