Quadrat- und Kubikwurzel

Üblicherweise wird die zweite Wurzel als Quadratwurzel oder einfach nur als die Wurzel bezeichnet und der Wurzelexponent weggelassen:

${\displaystyle {\sqrt {a}}={\sqrt[{2}]{a}}}$

Die Wurzel mit dem Wurzelexponenten 3 (dritte Wurzel) bezeichnet man auch als Kubikwurzel.

Beispiel:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}$

(Sprich: Die dritte Wurzel aus 8 ist 2 oder Die Kubikwurzel aus 8 ist 2)

Zusammenhang mit Potenzen

Das Radizieren mit dem Wurzelexponenten ${\displaystyle n}$ und das Potenzieren mit dem Exponenten ${\displaystyle n}$ heben sich gegenseitig auf.
Gemäß obenstehender Definition der Wurzel gilt für alle reellen Zahlen ${\displaystyle a\geq 0}$ und für alle natürlichen Zahlen ${\displaystyle n\geq 1}$:

${\displaystyle {\big (}{\sqrt[{n}]{a}}{\big )}^{n}=a}$  .

Das Radizieren mit dem Wurzelexponenten ${\displaystyle n}$ wirkt wie das Potenzieren mit dem Exponenten ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$.
Nach den Rechenregeln für Potenzen gilt nämlich:

${\displaystyle \left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a^{\frac {n}{n}}=a^{1}=a}$  .

Daher kann das Radizieren mit dem Wurzelexponenten n auch als Potenzieren mit dem Exponenten 1/n interpretiert werden:^[2]

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}}$  .

Eindeutigkeit von Wurzeln aus positiven Zahlen

Obwohl die eingangs genannte Fragestellung bei geradzahligen Wurzelexponenten und positiven Radikanden zwei Lösungen mit unterschiedlichen Vorzeichen besitzt, steht die Schreibweise mit dem Wurzelzeichen ${\displaystyle {\sqrt[{}]{\color {White}1}}}$ grundsätzlich für die positive Lösung.^[6][7] Beispielsweise hat die Gleichung ${\displaystyle x^{2}=4}$ die beiden Lösungen ${\displaystyle x=+2}$ und ${\displaystyle x=-2}$. Der Term ${\displaystyle {\sqrt[{2}]{4}}}$ hat jedoch den Wert +2 und nicht den Wert −2. Allgemein gilt daher für geradzahlige Wurzelexponenten

${\displaystyle {\sqrt[{2n}]{x^{2n}}}=|x|\,.}$

Wurzeln aus negativen Zahlen

Die Behandlung von Wurzeln aus negativen Zahlen ist nicht einheitlich. Es gilt beispielsweise

${\displaystyle (-2)^{3}=-8\,,}$

und ${\displaystyle -2}$ ist die einzige reelle Zahl, deren dritte Potenz ${\displaystyle -8}$ ist. Allgemein ergeben sich für ungerade Potenzen negativer Zahlen wieder negative Zahlen.

Bezüglich der ungeraden Wurzeln aus negativen Zahlen werden folgende Positionen vertreten:

• Wurzeln aus negativen Zahlen sind generell nicht definiert. Beispielsweise ist ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}}$ also undefiniert. Die Lösung der Gleichung ${\displaystyle x^{3}=-8}$ wird geschrieben als ${\displaystyle x=-{\sqrt[{3}]{8}}}$.
• Wurzeln aus negativen Zahlen sind definiert, wenn der Wurzelexponent eine ungerade Zahl ist (3, 5, 7, …). Für ungerade Zahlen ${\displaystyle 2n+1}$ gilt generell

${\displaystyle {\sqrt[{2n\;\!\!+\;\!\!1}]{-a}}=-\,{\sqrt[{2n\;\!\!+\;\!\!1}]{\ a}}}$.

Diese Festlegung ist mit manchen Eigenschaften der Wurzeln, die für positive Radikanden gelten, nicht vereinbar. Beispielsweise ist

${\displaystyle -2={\sqrt[{3}]{-8}}\neq {\sqrt[{6}]{(-8)^{2}}}={\sqrt[{6}]{64}}=+2.}$

Auch funktioniert diese Festlegung nicht mit der Gleichung ${\displaystyle {\sqrt[{k}]{a}}=a^{\frac {1}{k}}=\exp \left({\tfrac {1}{k}}\ln(a)\right)}$, da der (natürliche) Logarithmus von negativen Zahlen nicht definiert ist ( ${\displaystyle a}$ darf also nicht negativ sein).

Wurzeln zu geraden Exponenten aus negativen Zahlen können keine reellen Zahlen sein, weil gerade Potenzen reeller Zahlen nie negativ sind. Es gibt keine reelle Zahl ${\displaystyle x}$, sodass ${\displaystyle x^{2}=-1}$, somit kann man auch keine Wurzel ${\displaystyle x={\sqrt[{2}]{-1}}}$ finden, die in den reellen Zahlen liegt. Der Bedarf für Wurzeln aus negativen Zahlen führte zur Einführung der komplexen Zahlen;^[8] allerdings gibt es beim Wurzelbegriff im Bereich der komplexen Zahlen gewisse Schwierigkeiten mit der eindeutigen Auszeichnung einer der Wurzeln, siehe unten.

Irrationale Wurzeln aus ganzen Zahlen

Ist ${\displaystyle n}$ eine nichtnegative ganze Zahl und ${\displaystyle k}$ eine positive ganze Zahl, so ist ${\displaystyle {\sqrt[{k}]{n}}}$ entweder eine ganze oder eine irrationale Zahl. Das beweist man durch Anwendung der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung:

Ist ${\displaystyle n\leqq 1}$, so ist ${\displaystyle {\sqrt[{k}]{n}}=n}$, also eine ganze Zahl. Sonst gibt es eine bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutige Primfaktorzerlegung ${\displaystyle n=p_{1}^{e_{1}}\dotsm p_{r}^{e_{r}}}$ mit paarweise verschiedenen Primzahlen ${\displaystyle p_{1},\dotsc ,p_{r}}$ und positiven ganzen Exponenten ${\displaystyle e_{1},\dotsc ,e_{r}}$. Sind alle ${\displaystyle e_{j}}$ für ${\displaystyle 1\leqq j\leqq r}$ durch ${\displaystyle k}$ teilbar, so ist ${\displaystyle {\sqrt[{k}]{n}}=p_{1}^{e_{1}/k}\dotsm p_{r}^{e_{r}/k}}$, also eine ganze Zahl.

Zu zeigen ist jetzt noch: Gibt es mindestens ein ${\displaystyle j}$ mit ${\displaystyle 1\leqq j\leqq r}$, so dass ${\displaystyle e_{j}}$ nicht durch ${\displaystyle k}$ teilbar ist, so ist ${\displaystyle {\sqrt[{k}]{n}}}$ irrational. Der Beweis für die Irrationalität erfolgt indirekt, also durch Widerlegen der gegenteiligen Annahme wie beim Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2 bei Euklid, der im Wesentlichen der Spezialfall ${\displaystyle n=k=2}$ dieses Beweises ist.

Angenommen, ${\displaystyle {\sqrt[{k}]{n}}}$ wäre rational. Dann könnte man die Zahl als Bruch zweier natürlicher Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ schreiben:

${\displaystyle {\sqrt[{k}]{n}}={\frac {a}{b}}}$.

Durch Potenzieren der Gleichung erhält man

${\displaystyle n={\frac {a^{k}}{b^{k}}}}$

und daraus folgt

${\displaystyle nb^{k}=a^{k}}$.

Der Primfaktor ${\displaystyle p_{j}}$ kommt in ${\displaystyle a^{k}}$ bzw. ${\displaystyle b^{k}}$ jeweils ${\displaystyle k}$-mal so oft vor wie in ${\displaystyle a}$ bzw. ${\displaystyle b}$, jedenfalls in einer durch ${\displaystyle k}$ teilbaren Vielfachheit, wobei natürlich auch das 0-malige Auftreten zugelassen ist. In ${\displaystyle n}$ kommt er voraussetzungsgemäß in der nicht durch ${\displaystyle k}$ teilbaren Vielfachheit ${\displaystyle e_{j}}$ vor. Also kommt er auf der linken Seite dieser Gleichung nicht in einer durch ${\displaystyle k}$ teilbaren Vielfachheit vor, auf der rechten hingegen schon, und wir erhalten einen Widerspruch zur Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. Daher ist ${\displaystyle {\sqrt[{k}]{n}}}$ irrational.

Die Wurzelgesetze

Die Rechenregeln für Wurzeln ergeben sich aus jenen für Potenzen.

Für positive Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle n,m,k\in \mathbb {N} }$ gelten die folgenden Rechengesetze:

• Produktregel: ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a\cdot b}}}$
• Quotientenregel: ${\displaystyle {\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}={\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}}$
• "Verschachtelungsregel" oder Iterationsregel: ${\displaystyle {\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{a}}}={\sqrt[{m\cdot n}]{a}}}$
• Definition für gebrochenen Exponenten: ${\displaystyle a^{\frac {k}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{k}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{k}}$
• Definition für negativen Exponenten: ${\displaystyle a^{-{\frac {k}{n}}}={\frac {1}{a^{\frac {k}{n}}}}}$
• Bei gleichem Radikand gilt: ${\displaystyle {\sqrt[{m}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{a}}=a^{{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}}={\sqrt[{mn}]{a^{m+n}}}}$

Bei negativen Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ dürfen diese Rechengesetze nur angewendet werden, wenn ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle n}$ ungerade Zahlen sind. Bei komplexen Zahlen sind sie gänzlich zu vermeiden, bzw. gilt die Gleichheit nur bei geeigneter Wahl der Nebenwerte. Anders gesagt: werden in einem Beispiel auf der linken Seite irgendwelche Wurzeln (bspw. nur Hauptwerte) ausgewählt, so gibt es für die rechte Seite geeignete Nebenwerte, die die Gleichheit erfüllen – linke und rechte Seite unterscheiden sich um eine Einheitswurzel.

Grenzwerte

Es gelten die folgenden Grenzwerte:

• ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{a}}=1}$ für ${\displaystyle a>0}$
• ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1}$

Dies folgt aus der Ungleichung ${\displaystyle n<\left(1+{\sqrt[{2}]{\tfrac {2}{n}}}\right)^{n}}$, die man mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes zeigen kann.

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n^{k}}}=1}$, wobei ${\displaystyle k}$ eine beliebige, aber feste natürliche Zahl ist.
• ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\ln(n)}{n}}=0}$,

wie aus der Exponentialdarstellung von ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{n}}}$ hervorgeht.

Wurzelfunktionen

Funktionen der Form

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} _{0}^{+},x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}}$ oder allgemeiner ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt[{n}]{x^{m}}}}$

heißen Wurzelfunktionen. Sie sind Potenzfunktionen, es gilt ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x^{m}}}=x^{\frac {m}{n}}}$.

Rückführung auf andere Funktionen

Höhere Wurzeln aus positiven Zahlen ${\displaystyle x}$ kann man wie jede Potenz durch Exponentialfunktion und Logarithmus ausdrücken:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}=\exp \left({\frac {\ln(x)}{n}}\right)}$

Numerische Berechnung

Um einen Näherungswert für eine Wurzel zu erhalten, kann man mehrere Verfahren anwenden. Dazu gehört vor allem das Newtonverfahren, mit dem man iterativ zu einer gegebenen stetig differenzierbaren Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ Näherungswerte zu Lösungen der Gleichung ${\displaystyle f(x)=0}$ findet. Dazu wird beginnend mit einem Startwert ${\displaystyle x_{0}}$ die Folge

${\displaystyle x_{i+1}=x_{i}-{\frac {f(x_{i})}{f'(x_{i})}}}$

gebildet, die unter bestimmten Voraussetzungen gegen eine Nullstelle von ${\displaystyle f}$ konvergiert. Nun ist ${\displaystyle x={\sqrt[{n}]{a}}}$ eine Nullstelle der Funktion ${\displaystyle f(x)=x^{n}-a}$, so dass der Iterationsschritt die Gestalt

${\displaystyle x_{i+1}=x_{i}-{\frac {f(x_{i})}{f'(x_{i})}}=x_{i}-{\frac {x_{i}^{n}-a}{nx_{i}^{n-1}}}}$

bekommt. Der Teilausdruck ${\displaystyle \delta _{i}=(x_{i}^{n}-a)/nx_{i}^{n-1}}$ ist dabei die absolute Änderung der Näherung bei diesem Iterationsschritt, ${\displaystyle \delta _{i}/x_{i}}$ die relative. Diese Werte werden am Ende des Schrittes mit der absoluten (bei Festkommarechnung) bzw. relativen (bei Gleitkommarechnung) Fehlerschranke verglichen, um zu entscheiden, ob die benötigte Genauigkeit schon erreicht wurde.

In den Spezialfällen ${\displaystyle n=2}$ (Quadratwurzel) und ${\displaystyle n=3}$ (Kubikwurzel) lauten diese Formeln dann:

${\displaystyle x_{i+1}=x_{i}-{\frac {x_{i}^{2}-a}{2x_{i}}}}$ für ${\displaystyle n=2}$  und   ${\displaystyle x_{i+1}=x_{i}-{\frac {x_{i}^{3}-a}{3x_{i}^{2}}}}$ für ${\displaystyle n=3}$.

Das Verfahren konvergiert für alle Startwerte ${\displaystyle x_{0}>0}$, wobei Startwerte, die Größenordnungen unter der Wurzel liegen, vermieden werden sollten. Liegt ${\displaystyle a}$ als Gleitkommazahl vor, kann man einfach den Gleitkommaexponenten ${\displaystyle s}$ durch ${\displaystyle \lceil {\tfrac {s}{n}}\rceil }$ ersetzen.

Das Newtonverfahren zur numerischen Approximation der Wurzel erweitert das Heron-Verfahren auf höhere Grade und lässt sich wie folgt geometrisch interpretieren. Beim Heron-Verfahren wird von einem Schätzwert für den Wert der gesuchten Quadratwurzel als erster Rechteckseite ausgegangen und daraus eine zweite Seite ermittelt, die ein zum Radikanden flächengleiches Rechteck liefert. Als nächster Schätzwert wird dann iterativ der Mittelwert der beiden Seiten genommen, der näher am Ergebnis liegt. Für die Übertragung auf allgemeine Grade ${\displaystyle n}$ kann man den nächsten Iterationswert

${\displaystyle x_{i+1}:=x_{i}-{\frac {x_{i}^{n}-a}{nx_{i}^{n-1}}}={\frac {(n-1)x_{i}+{\frac {a}{x_{i}^{n-1}}}}{n}}}$

als gewichteten Mittelwert von ${\displaystyle x_{i}}$ und ${\displaystyle H={\tfrac {a}{x_{i}^{n-1}}}}$ auffassen mit ${\displaystyle H}$ als der "Höhe" des ${\displaystyle n}$-dimensionalen senkrechten Prismas des Volumens ${\displaystyle a}$ über dem ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionalen Kubus ${\displaystyle x_{i}^{n-1}}$. Der Iterationswert ist somit der arithmetische Mittelwert aller n orthogonalen (davon n-1 gleichlangen) Kanten des Prismas.

Methode der „Rechenkünstler“

Man kann, wie es Rechenkünstler machen, eine Wurzel auch durch Abschätzung und Anwendung elementarer Zahlentheorie bestimmen, sofern bekannt ist, dass die Wurzel eine natürliche Zahl ist. Das lässt sich besonders gut am Beispiel der dritten Wurzel zeigen. Dazu muss man zwei Dinge wissen, nämlich die Größenordnung der Kubikzahlen, und die letzte Ziffer der Zahl:

Beispiele:

• Die dritte Wurzel von 103.823:
  Die Zahl liegt zwischen 64.000 und 125.000, deshalb muss die Zehnerstelle der dritten Wurzel 4 sein. Die letzte Ziffer der Zahl ist eine 3, demnach ist die dritte Wurzel von 103.823 abgeschätzt 47.
• Die dritte Wurzel von 12.167:
  Die Zahl liegt zwischen 8.000 und 27.000, deshalb muss die Zehnerstelle der dritten Wurzel 2 sein. Die letzte Ziffer der Zahl ist eine 7, demnach ist die dritte Wurzel von 12.167 abgeschätzt 23.

Das Ganze funktioniert aber nur dann, wenn sichergestellt ist, dass es sich bei der vorgegebenen Zahl um die dritte Potenz einer natürlichen Zahl handelt.

Bei den Aufgaben der Rechenkünstler geht es natürlich um viel höhere Potenzen mehrstelliger Zahlen – zum Beispiel die Berechnung der 25. Wurzel aus 880.794.982.218.444.893.023.439.794.626.120.190.780.624.990.275.329.063.400.179.824.681.489.784.873.773.249 (Lösung: 1729) und extremere Aufgaben.