Page - 51 - in Vorlesungen über Thermodynamik

Anwendungen auf homogene Systeme 51 Durch Substitution von:( ∂u ∂T ) p = ( ∂u ∂T ) v + ( ∂u ∂v ) T ( ∂v ∂T ) p in (26) kann man cp auch in der Form schreiben: cp= ( ∂u ∂T ) v + [( ∂u ∂v ) T +p ]( ∂v ∂T ) p oder mit Beru¨cksichtigung von (24) (28) cp= cv+ [( ∂u ∂v ) T +p ]( ∂v ∂T ) p . § 83. Die Vergleichung von (25) und (27) gestattet durch Elimination von u eine direkte Pru¨fung der Theorie an der Erfahrung. Es ist na¨mlich aus (25): ( ∂u ∂p ) v = cv ( ∂T ∂p ) v andrerseits aus (27) ( ∂u ∂v ) p = cp ( ∂T ∂v ) p −p. Folglich durch Differentiation des ersten Ausdrucks nach v bei konstantem p und des zweiten Ausdrucks nach p bei konstantem v und Gleichsetzung beider Werte: ∂ ∂v ( cv ∂T ∂p ) = ∂ ∂p ( cp ∂T ∂v −p ) oder: (29) ( cp−cv ) ∂2T ∂p∂v + ∂cp ∂p ∂T ∂v − ∂cv ∂v ∂T ∂p = 1. Diese Gleichung entha¨lt nur Gro¨ßen, die der Beobachtung zuga¨nglich sind und liefert daher ein Mittel zur Pru¨fung des ersten Hauptsatzes der Wa¨rmetheorie an einer beliebigen homogenen Substanz durch Messungen. § 84. Ideale Gase. Die obigen Gleichungen erfahren fu¨r ideale Gase betra¨chtliche Vereinfachungen. Zuna¨chst ist hierfu¨r nach (14) (30) p= R m T v ,