Page - 121 - in Vorlesungen über Thermodynamik

Homogenes System 121 wobei α konstant. Dru¨ckt man p in Atmospha¨ren aus, so ist z.B. fu¨r Luft: α= 0,276 ·(273)2. Diese Formel ist natu¨rlich ebenfalls nur angena¨hert richtig. Innerhalb des Bereichs ihrer Gu¨ltigkeit erha¨lt man durch Vergleichung mit (86): (87) T ( ∂v ∂T ) p −v= cp · α T2 und durch Differentiation nach T: T ( ∂2v ∂T2 ) p = α T2 ( ∂cp ∂T ) p − 2αcp T3 . Hieraus mit Ru¨cksicht auf (85):( ∂cp ∂p ) T + α T2 ( ∂cp ∂T ) p − 2αcp T3 = 0. Die allgemeine Lo¨sung dieser Differentialgleichung ist: cp=T2 ·f(T3−3αp), wobei f(x) eine ganz beliebige Funktion eines einzigen Argumentsxbedeutet. Nehmen wir nun an, daß fu¨r abnehmende Werte von p sich das Gas bei jeder Temperatur unbegrenzt dem idealen Verhalten na¨hert, so wird fu¨r p= 0 cp konstant = c0p (z.B. fu¨r Luft in kalorischem Maße: 0,238) und daher allgemein: cp= c0pT 2(T3−3αp)−23 cp= c0p( 1− 3αp T3 )2 3 .(88) Dieser Ausdruck von cp la¨ßt sich nun weiter benutzen, um auch v als Funktion von T und p zu bestimmen. Es folgt na¨mlich aus (87) T2 · ∂ ∂T (v T ) p = αcp T3 = αa0p (T3−3αp)23 und daraus: v T =αc0p ∫ dT T4 · ( 1− 3αp T3 )2 3