Page - 129 - in Vorlesungen über Thermodynamik

System in verschiedenen Aggregatzusta¨nden 129 wenn hier, wie u¨berall im folgenden, das Zeichen ∑ fu¨r die Summierung u¨ber die Ziffern 1, 2, 3 gebraucht wird. Mit Ru¨cksicht darauf, daß nach (61) allgemein: δs= δu+pδv T , erha¨lt man: (95) δS= ∑M1δu1 T1 + ∑M1p1δv1 T1 + ∑ s1δM1. Die Variationen sind aber nicht alle unabha¨ngig voneinander, vielmehr folgt aus den drei a¨ußeren Bedingungsgleichungen des vorigen Paragraphen durch Variation: (96)          ∑ δM1 = 0∑ M1δv1 + ∑ v1δM1 = 0∑ M1δu1 + ∑ u1δM1 = 0. Wir mu¨ssen daher mit Hilfe dieser drei Gleichungen irgend drei Variationen aus dem Ausdruck von δS eliminieren, um in demselben lauter unabha¨ngige Variationen zu erhalten. Wenn wir z.B. aus diesen letzten Gleichungen die Werte von δM2, δv2 und δu2 entnehmen und sie in (95) einsetzen, so kommt: (97)                            δS= ( 1 T1 − 1 T2 ) M1δu1− ( 1 T2 − 1 T3 ) M3δu3 + ( p1 T1 − p2 T2 ) M1δv1− ( p2 T2 − p3 T3 ) M3δv3 + ( s1−s2−u1−u2 T2 − p2(v1−v2) T2 ) δM1 − ( s2−s3−u2−u3 T2 − p2(v2−v3) T2 ) δM3. Da nun die in diesem Ausdruck vorkommenden sechs Variationen vollsta¨ndig unabha¨ngig voneinander sind, so muß, damit nach (77) δS fu¨r alle beliebigen Zustandsa¨nderungen = 0 ist, jeder der sechs Koeffizienten verschwinden. Mithin haben wir: (98)                  T1 =T2 =T3(=T) p1 =p2 =p3 s1−s2 = (u1−u2)+p1(v1−v2) T s2−s3 = (u2−u3)+p2(v2−v3) T .