Page - 152 - in Vorlesungen über Thermodynamik

Anwendungen auf spezielle Gleichgewichtszusta¨nde 152 diesen drei Lo¨sungen in jedem gegebenen Falle den Vorzug hat, ist zuna¨chst zu beru¨cksichtigen, daß die zweite und die dritte Lo¨sung nur dann einen physikalischen Sinn haben, wenn die aus den Gleichungen (103) und (121) sich ergebenden Werte der Massen positiv ausfallen. Dies fu¨hrt zu einer Einschra¨nkung des Gu¨ltigkeitsbereichs dieser beiden Lo¨sungen. Zuerst wollen wir diesen Gu¨ltigkeitsbereich feststellen, und werden dann den Nachweis fu¨hren, daß innerhalb ihres Gu¨ltigkeitsbereichs die dritte Lo¨sung stets den Vorzug hat vor den beiden ersten, und die zweite den Vorzug hat vor der ersten. Zur Erleichterung der U¨bersicht mo¨ge die geometrische Anschauung zu Hilfe genommen werden. Zu diesem Zweck denken wir uns die von vornherein gegebenen Werte v= V M undu= U M (der Wert vonM ist hier nebensa¨chlich) dadurch graphisch dargestellt, daß wir diese Gro¨ßen als die rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes in einer Ebene (der Zeichnungsebene in Fig. 4) ansehen, so daß jedem Punkt der Ebene ein bestimmtes Wertenpaar dieser beiden Gro¨ßen entspricht. Unsere Aufgabe ist dann die, fu¨r jeden beliebig gegebenen Punkt dieser Ebene die Entscheidung zu treffen, welcher Art das stabile Gleichgewicht ist, welches bei den entsprechenden Werten von v und u zustande kommt. § 190. Betrachten wir nun den Gu¨ltigkeitsbereich der dritten Lo¨sung. Die sich aus den Gleichungen (121) ergebenden Werte der MassenM1,M2,M3 sind: (121a) M1 :M2 :M3 :M= ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 v v2 v3 u u2 u3 ∣∣∣∣∣∣ : ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 v v3 v1 u u3 u1 ∣∣∣∣∣∣ : ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 v v1 v2 u u1 u2 ∣∣∣∣∣∣ : ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 v1 v2 v3 u1 u2 u3 ∣∣∣∣∣∣ wobei wir hier, wie u¨berall im folgenden, die Bezeichnung v1, v2, v3, u1, u2, u3 speziell auf die Fundamentalwerte der v und u anwenden. Hieraus ersieht man, daß die Werte von M1, M2, M3 nur dann alle zugleich positiv ausfallen, wenn der dem Wertenpaar (v,u) entsprechende Punkt innerhalb des Dreiecks liegt, das von den Punkten mit den respektiven Koordinaten (v1,u1), (v2,u2) und (v3,u3) gebildetwird. Der Gu¨ltigkeitsbereich der dritten Lo¨sung wird daher durch dieses Dreieck dargestellt, welches wir das Fundamentaldreieck der Substanz nennen ko¨nnen, und ist in der Fig. 4 mit (123) bezeichnet. Die Zeichnung ist fu¨r eine Substanz ausgefu¨hrt, fu¨r die, wie bei Wasser, v1>v3>v2 und u1>u2>u3. § 191. Wir kommen nun zur Betrachtung des Gu¨ltigkeitsbereichs der zweiten Lo¨sung, welcher die Gleichungen (101) und (103) entsprechen. Diese Gleichungen ergeben drei Arten von Wertensystemen, je nach den drei