Page - 161 - in Vorlesungen über Thermodynamik

System in verschiedenen Aggregatzusta¨nden 161 ferner daß du12 dT12 = ( ∂u ∂T ) 12 + ( ∂u ∂v ) 12 dv12 dT12 (136) = cv+ ( T ∂p ∂T −p ) · dv12 dT12 , sowie: dp12 dT12 = ∂p ∂T + ∂p ∂v dv12 dT12 , so folgt: δT12 = cvδT−T ∂p ∂v · dv12 dT12 δv cv−T ∂p ∂v ( dv12 dT12 )2 . Die so gefundenen Werte der Variationen in (133) eingesetzt ergeben schließlich fu¨r die gesuchte Variation: δ2(s′−s) =−∂p ∂v · cv T · ( dv12 dT12 δT−δv )2 cv−T∂p ∂v ( dv12 dT12 )2. Dieser Ausdruck ist wesentlich positiv, da cv seiner physikalischen Bedeutung nach stets positiv, und ∂p ∂v nach §169 fu¨r jeden Gleichgewichtszustand wesentlich negativ ist. Ein Grenzfall tritt ein, wenn dv12 dT12 δT−δv= 0 genommen wird; dann wird δ2(s′−s) = 0. In diesem Falle findet die Verru¨ckung (δT,δv) in der Richtung der Beru¨hrungskurve (T12,v12) der beiden Fla¨chen statt, und es ist selbstversta¨ndlich, daß dann s′=s bleibt. Hierausfolgt,daßdieFla¨ches′sichinderUmgebungallerBeru¨hrungsstellen mit der Fla¨che s u¨ber dieselbe erhebt, oder daß s′−s stets > 0, und dadurch ist bewiesen, daß die zweite Lo¨sung der Gleichgewichtsbedingungen innerhalb ihres Gu¨ltigkeitsbereichs, also in den Gebieten (12), (23), (31) der Fig. 4 stets das stabile Gleichgewicht darstellt. § 195. Auf a¨hnliche Weise la¨ßt sich zeigen, daß die dritte Lo¨sung der Gleichgewichtsbedingungen innerhalb ihres Gu¨ltigkeitsbereiches den Vorzug vor der zweiten hat. Sind v und u gegeben, so berechnet sich der dieser Lo¨sung entsprechende Wert der mittleren spezifischen Entropie s′′ eindeutig