Page - 162 - in Vorlesungen über Thermodynamik

Anwendungen auf spezielle Gleichgewichtszusta¨nde 162 aus den Gleichungen (127) und (121). Die Gro¨ßen v1, v2, v3, u1, u2, u3, also auch s1, s2, s3 haben ganz bestimmte Zahlenwerte, die sich aus den Gleichungen (120) ergeben. Zuna¨chst ist ersichtlich, daß die Fla¨che s′′ nichts anderes ist als das ebene Dreieck, welches gebildet wird von den Punkten (v1,u1,s1), (v2,u2,s2) und (v3,u3,s3), deren Projektionen auf die Zeichnungsebene die Ecken des Fundamentaldreiecks sind. Denn jeder Punkt mit den Koordinaten: v= λv1 +µv2 +νv3 λ+µ+ν , u= λu1 +µu2 +νu3 λ+µ+ν , s= λs1 +µs2 +νs3 λ+µ+ν , wobei λ, µ, ν beliebige positive Werte haben, befriedigt die Gleichungen (121) und (127), da man nur M1 =λ, M2 =µ, M3 =ν zu setzen braucht. Diese Ebene s′′ hat mit den drei Bla¨ttern der abwickelbaren Fla¨che s′ die drei geradlinigen Strecken gemeinsam, welche die Punkte (v1,u1,s1), (v2,u2,s2) und (v3,u3,s3) verbinden. In der Tat: Wird in den letzten Ausdru¨cken etwa ν= 0 angenommen, so liefern die Gleichungen (121)M3 = 0, und die dritte Lo¨sung fa¨llt mit der zweiten zusammen, da dann: (137) { M1 =M12 M2 =M21 v1 =v12 u1 =u12 v2 =v21 T1 =T12 etc. wird. Setzt man außerdem noch µ= 0, so ergibt sich auch M2 = 0, v1 =v, u1 =u, was ein Zusammenfallen aller drei Fla¨chen s′′, s′ und s bedeutet. Zur Untersuchung des Wertes von s′′−s′ bilden wir nun wieder die Variation δ(s′′−s′), die durch δv und δu bestimmt wird. Hierfu¨r ergibt sich zuna¨chst aus (127): (138) Mδs′′=s1δM1 +s2δM2 +s3δM3, wobei nach (121) die Bedingungen gelten: δM1 +δM2 +δM3 = 0, v1δM1 +v2δM2 +v3δM3 =Mδv, u1δM1 +u2δM2 +u3δM3 =Mδu. DieZuru¨ckfu¨hrungdesAusdrucks(138)aufdieunabha¨ngigenVariationen δv und δu geschieht am bequemsten dadurch, daß man die letzte Gleichung mit 1 T1 , die vorletzte mit p1T1 multipliziert, und sie dann zu (138) addiert. Dann ergibt die Beru¨cksichtigung von (120): δs′′= δu+p1δv T1 .