Page - 163 - in Vorlesungen über Thermodynamik

System in verschiedenen Aggregatzusta¨nden 163 Dies mit (130) verbunden ergibt fu¨r die gesuchte Variation: (139) δ(s′′−s′) = ( 1 T1 − 1 T12 ) δu+ ( p1 T1 − p12 T12 ) δv, wenn die Fla¨che s′ durch das Blatt (12) vertreten ist. Aus dieser Gleichung geht hervor, daß die Ebene s′′ das betreffende Blatt der Fla¨che s′ in der den beiden Fla¨chen gemeinsamen Geraden beru¨hrt. Denn fu¨r irgend einen Punkt dieser Geraden ist nach (137) T1 =T12, p1 = p12, so daß δ(s′′−s′) verschwindet. Die Ebene s′′ ist also gemeinsame Tangentialebene zu allen drei Bla¨ttern der Fla¨che s′, und die Beru¨hrungskurven sind die drei Geraden, welche das ebene Dreieck s′′ begrenzen. Fu¨r einen der Beru¨hrungspunkte haben wir nun aus (139) durch abermalige Variation, da T1 und p1 absolute Konstanten sind: δ2(s′′−s′) = δT12 T21 δu+ ( p1δT12 T21 − δp12 T1 ) δv, oder: (140) T21 δ 2(s′′−s′) = [ δu− ( T1 dp12 dT12 −p1 ) δv ] δT12. Nun folgt aus (129) durch Elimination von δM12 und δM21: M12δv12 +M21δv21−Mδv v12−v21 = M12δu12 +M21δu21−Mδu u12−u21 , oder mit Ru¨cksicht auf (135) und (134): M [ δu− ( T1 dp12 dT12 −p1 ) δv ] = δT12 [ M12 du12 dT12 +M21 du21 dT12 − ( T1 dp12 dT12 −p1 )( M12 dv12 dT12 +M21 dv21 dT12 )] . Dieser Ausdruck in (140) substituiert und zugleich du12 dT12 , analog du21 dT12 , nach (136) durch seinen Wert ersetzt, ergibt schließlich: δ2(s′′−s′) = δT 2 12 MT21 [ M12 ( (cv)12−T1 ( ∂p ∂v ) 12 ( dv12 dT12 )2) +M21 ( (cv)21−T1 ( ∂p ∂v ) 21 ( dv21 dT12 )2)] .