Seite - 49 - in Vorlesungen über Thermodynamik

Anwendungen auf homogene Systeme 49 wobei das Integral u¨ber die geschlossene Kurve 1α2β 1 zu erstrecken ist. A stellt offenbar zugleich den Inhalt des von dieser Kurve umschlossenen Fla¨chenstu¨cks vor, positiv, wenn der Kreisprozeß in der durch den Pfeil Fig. 2 angegebenen Richtung vor sich geht. § 79. Im folgenden wollen wir uns na¨her mit dem speziellen Fall bescha¨ftigen, daß die fu¨r die Zustandsa¨nderung charakteristische Kurve α in ein Element zusammenschrumpft und somit die Punkte 1 und 2 sich unendlich nahe liegen. Dann erha¨ltA den Wert−pdV , die Energiea¨nderung den Wert dU, und infolgedessen die von außen zugefu¨hrte Wa¨rme nach (21) den Wert1 Q=dU+pdV. Auf die Masseneinheit der Substanz bezogen lautet diese Gleichung (22) q=du+pdv, wenn die Quotienten von Q, U und V durch die Masse M mit den entsprechenden kleinen Buchstaben bezeichnet werden. Fu¨r die folgenden Rechnungen empfiehlt es sich o¨fter, die Temperatur T als unabha¨ngige 1Nach Clausius’ Vorgang wird dieser Ausdruck gewo¨hnlich, um seine unendliche Kleinheit anzudeuten, mit dQ bezeichnet. Dies hat jedoch nicht selten zu dem Mißversta¨ndnis Anlaß gegeben, als ob die zugeleitete Wa¨rme das Differential einer bestimmten endlichen Gro¨ße Q wa¨re. Der hierdurch nahe gelegte Trugschluß sei durch folgende kleine Rechnung illustriert. Wa¨hlt man T und V als unabha¨ngige Variable, so ist dQ=dU+pdV = ( ∂U ∂T ) V dT+ [( ∂U ∂V ) T +p ] dV. Andrerseits ist: dQ= ( ∂Q ∂T ) V dT+ ( ∂Q ∂V ) T dV. Folglich, da dT und dV voneinander unabha¨ngig sind: ∂Q ∂T = ∂U ∂T und ∂Q ∂V = ∂U ∂V +p und daraus durch Differentiation der ersten Gleichung nach V , der zweiten nach T: ∂2Q ∂T∂V = ∂2U ∂T∂V = ∂2U ∂T∂V + ∂p ∂T , also ∂p ∂T = 0, was sicher unrichtig ist. Derartige Fehler sind ausgeschlossen, wenn wir bei der Bezeichnung im Text stehen bleiben, in der Erwa¨gung, daß nicht jede unendlich kleine Gro¨ße die Differenz zweier (nahezu gleicher) endlicher Gro¨ßen ist.