Seite - 114 - in Vorlesungen über Thermodynamik

Anwendungen auf spezielle Gleichgewichtszusta¨nde 114 nach T, so ergibt sich: ∂2s ∂T∂v = 1 T ∂2u ∂T∂v = ∂2u ∂T∂v + ( ∂p ∂T ) v T − ( ∂u ∂v ) T +p T2 oder: (80) ( ∂u ∂v ) T =T ( ∂p ∂T ) v −p und hierdurch, sowie durch die Gleichung (24) werden die obigen Ausdru¨cke fu¨r die Differentialquotienten von s nach T und v: (81)          ( ∂s ∂T ) v = cv T( ∂s ∂v ) T = ( ∂p ∂T ) v Differentiiert man die erste dieser Gleichungen nach v, die zweite nach T, und setzt die erhaltenen Ausdru¨cke einander gleich, so ergibt sich die Beziehung: (81a) ( ∂cv ∂v ) T = ( ∂2p ∂T2 ) v , welche die Abha¨ngigkeit der spezifischen Wa¨rme vom Volumen in Zusammen- hang bringt mit der Abha¨ngigkeit des thermischen Spannungskoeffizienten von der Temperatur. Fu¨r ideale Gase werden beide unmerklich klein. § 154. Die Gleichung (80) in Verbindung mit der Gleichung (28) des ersten Hauptsatzes ergibt die Beziehung: (82) cp−cv=T ( ∂p ∂T ) v · ( ∂v ∂T ) p , die sich entweder zur Pru¨fung des zweiten Hauptsatzes oder zur Berechnung von cv aus cp verwerten la¨ßt. Da man ( ∂p ∂T ) v ha¨ufig nicht direkt messen kann, so empfiehlt es sich, die Relation (6) zu benutzen, aus welcher folgt: (83) cp−cv=−T ( ∂p ∂v ) T · ( ∂v ∂T )2 p .