Median

Ober- und Untermedian

Oft möchte man dagegen sicherstellen, dass der Median in jedem Fall eines der Elemente der Stichprobe sein soll. In diesem Fall wird alternativ zu dieser Definition bei einer geraden Anzahl von Elementen entweder der Untermedian ${\displaystyle {\tilde {x}}_{u}=x_{\frac {n}{2}}}$ oder der Obermedian ${\displaystyle {\tilde {x}}_{o}=x_{{\frac {n}{2}}+1}}$ genutzt und als Median bezeichnet. Im Falle einer ungeraden Anzahl der Beobachtungen wird ${\displaystyle {\tilde {x}}={\tilde {x}}_{u}={\tilde {x}}_{o}}$ festgelegt.

Mithilfe von Gauß-Klammern lässt sich diese Definition kürzer schreiben als

${\displaystyle {\tilde {x}}_{u}=x_{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }}$ ,

${\displaystyle {\tilde {x}}_{o}=x_{\left\lceil {\frac {n+1}{2}}\right\rceil }}$

und es gilt allgemein:

${\displaystyle {\tilde {x}}={\tfrac {1}{2}}\left({\tilde {x}}_{u}+{\tilde {x}}_{o}\right)}$ .

Diese Medianbestimmung spielt beispielsweise bei Datenbanksystemen eine große Rolle, wie z. B. bei SELECT-Abfragen mittels des Medians der Mediane.

Eigenschaften

Der Median ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ , und im Fall einer geraden Anzahl von Messwerten alle Werte ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ mit ${\displaystyle {\tilde {x}}_{u}\leq {\tilde {x}}\leq {\tilde {x}}_{o}}$ , minimieren die Summe der absoluten Abweichungen, das heißt für ein beliebiges ${\displaystyle x}$ gilt

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|{\tilde {x}}-x_{i}|\leq \sum _{i=1}^{n}|x-x_{i}|.}$

Der Median ist Grundlage der Methode der kleinsten absoluten Abweichungen und Verfahren der robusten Regression. Das arithmetische Mittel dagegen minimiert die Summe der quadratischen Abweichungen und ist Grundlage der Methode der kleinsten Quadrate und der Regressionsanalyse und ist mathematisch leichter zu handhaben, jedoch nicht robust gegen Ausreißer.

Der Median kann, wie oben beschrieben, algorithmisch bestimmt werden, indem die Messwerte sortiert werden. Da dies mit Aufwand ${\displaystyle {\mathcal {O}}\left(n\log n\right)}$ verbunden ist, wird im Allgemeinen zu speziellen Algorithmen zur Quantilsbestimmung mit linearem Aufwand ${\displaystyle {\mathcal {O}}\left(n\right)}$ gegriffen oder zu Abschätzungen wie der Cornish-Fisher-Methode. Das arithmetische Mittel lässt sich ebenfalls in linearer Zeit bestimmten.

Median von gruppierten Daten

Vor allem in den Sozialwissenschaften wird bei Statistiken häufig der Median geschätzt, da nicht alle Daten explizit und exakt gegeben sind, sondern nur in Intervallen gruppiert vorliegen. So wird beispielsweise bei Umfragen selten nach dem exakten Gehalt gefragt, sondern nur nach der Einkommensklasse, also dem Bereich, in welchem das Gehalt liegt. Wenn nur die Häufigkeiten jeder Klasse bekannt sind, dann lässt sich der Median einer solchen Stichprobe im Allgemeinen nur näherungsweise bestimmen. Es seien ${\displaystyle n}$ die Anzahl aller Daten, ${\displaystyle n_{i}}$ die jeweilige Anzahl der Daten der ${\displaystyle i}$ -ten Gruppe und ${\displaystyle u_{i}}$ bzw. ${\displaystyle o_{i}}$ die entsprechenden oberen bzw. unteren Intervallgrenzen. Zunächst wird nun die mediane Klasse (oder mediane Gruppe) bestimmt, d. h. diejenige Gruppe, in welche der Median (nach obiger, konventioneller Definition) hineinfällt, z. B. die ${\displaystyle m}$ -te Gruppe. Die Zahl ${\displaystyle m}$ ist dadurch bestimmt, dass ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{m-1}n_{k}<{\frac {n}{2}}}$ , aber ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{m}n_{k}\geq {\frac {n}{2}}}$ gilt. Wenn keine weiteren Angaben über die Verteilung der Daten gegeben sind, wird z. B. Gleichverteilung postuliert, sodass man sich der linearen Interpolation als Hilfsmittel bedienen kann, um eine Schätzung des Medians der gruppierten Daten zu erhalten:

${\displaystyle x_{\mathrm {med} }=u_{m}+{\frac {{\frac {n}{2}}-\sum \limits _{k=1}^{m-1}n_{k}}{n_{m}}}\cdot (o_{m}-u_{m}).}$

Wenn keine weiteren Angaben über die Verteilung der Daten gegeben sind, kann auch jede andere Verteilung außer der Gleichverteilung möglich sein und somit kann auch jeder andere Wert im m-ten Intervall der Median sein.

Im Gegensatz zur konventionellen Definition des Medians muss dieser nicht zwangsläufig ein Element aus der tatsächlichen Datenmenge sein, welche in aller Regel nicht bekannt ist.

Beispiel

Einkommen:

Klasse ( ${\displaystyle i}$ )	Bereich ( ${\displaystyle u_{i}}$ bis ${\displaystyle o_{i}}$ )	Gruppengröße ( ${\displaystyle n_{i}}$ )
1	mind. 0, weniger als 1500	160
2	mind. 1500, weniger als 2500	320
3	mind. 2500, weniger als 3500	212

Man berechne

${\displaystyle {\tfrac {n}{2}}={\tfrac {212+320+160}{2}}={\tfrac {692}{2}}=346.}$

Also liegt der Median in der 2. Klasse (d. h. ${\displaystyle m=2}$ ), da die erste Klasse nur 160 Elemente umfasst. Somit ergibt sich als Schätzung für den Median

${\displaystyle x_{\mathrm {med} }=1500+{\tfrac {346-160}{320}}\cdot (2500-1500)=2081{,}25.}$

Da die konkrete Verteilung der Daten in den Intervallen unbekannt ist, kann auch jeder andere Wert im 2. Intervall der Median sein. Der beispielhaft errechnete Wert 2081,25 kann also bis zu 581,15 zu groß und bis zu 418,75 zu klein sein, der Fehler der Schätzung also bis zu 28% betragen.

Eine Veranschaulichung dieses Verfahrens zur Festlegung des Medians bei gruppierten Daten ist die grafische Ermittlung mit Hilfe der Summenkurve. Hier wird der Abszissenwert ${\displaystyle x_{\mathrm {med} }\,}$ gesucht, der zum Ordinatenwert ${\displaystyle {\tfrac {n}{2}}}$ gehört. Bei kleinerem und geradem ${\displaystyle n}$ kann auch stattdessen der Ordinatenwert ${\displaystyle {\tfrac {n}{2}}+1}$ gewählt werden.

Definition

Sei ${\displaystyle X}$ eine Zufallsvariable und ${\displaystyle F_{X}}$ deren Verteilung. Dann ist jedes Element der folgenden Menge ein Median von ${\displaystyle X}$ bzw. ein Median von ${\displaystyle F_{X}}$ :

${\displaystyle \left\{m\in \mathbb {R} \mid P(X\leq m)\geq {\frac {1}{2}}{\text{ und }}P(X\geq m)\geq {\frac {1}{2}}\right\}}$

Offensichtlich ist jedes ${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle F(m)={\tfrac {1}{2}}}$ in dieser Menge, also ein Median von ${\displaystyle X}$ .

Falls kein solches ${\displaystyle m}$ existiert, dann liefert die verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion

${\displaystyle F^{-1}(p)=\inf\{x\in \mathbb {R} \mid F(x)\geq p\}}$

für ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$ einen Median von ${\displaystyle X}$ und zwar den kleinstmöglichen. Wenn Eindeutigkeit eine Rolle spielt, definiert man den Median als ${\displaystyle F^{-1}({\tfrac {1}{2}})}$ . Dies entspricht der Vorgehensweise bei der Definition von Quantilen, der Median ist dann das 50 %-Quantil.

Eigenschaften

Ein Median ist, neben beispielsweise Erwartungswert und Modus, ein Lageparameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Im Gegensatz zum Erwartungswert existiert der Median stets. So ist beispielsweise der Median der Standard-Cauchy-Verteilung gleich 0, während ihr Erwartungswert gar nicht existiert.

Für symmetrisch verteilte Zufallsvariable mit Dichte, also für Zufallsvariable, bei denen ${\displaystyle X-\mu }$ und ${\displaystyle \mu -X}$ die gleiche Verteilung besitzen, sind Median und Erwartungswert beide gleich ${\displaystyle \mu }$ .

Für stetige Verteilungen auf der Menge der positiven reellen Zahlen mit monoton fallender Dichte (das heißt für ${\displaystyle 0<x<y}$ gilt ${\displaystyle f(x)\geq f(y)}$ ) ist ${\displaystyle m\leq \mu }$ , wobei das Gleichheitszeichen nur für die stetigen Gleichverteilungen gilt. Ein typisches Beispiel für diese Situation ist die Exponentialverteilung.

Zwischen Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ , Median ${\displaystyle m}$ und Standardabweichung ${\displaystyle \sigma }$ besteht aufgrund der Cantelli-Ungleichung ${\displaystyle P(X-\mu \geq a)\leq {\frac {\sigma ^{2}}{\sigma ^{2}+a^{2}}}}$ mit a ≥ 0 die Beziehung

${\displaystyle \left|\mu -m\right|\leq \sigma }$ .

Das Gleichheitszeichen gilt für die diskrete Zufallsvariable X mit ${\displaystyle \operatorname {P} \left[X=\mu -\sigma \right]=\operatorname {P} \left[X=\mu +\sigma \right]=1/2}$ .

Beispiele

• Bei der Dreiecksverteilung

${\displaystyle f(x)={\frac {x}{18}},\quad 0\leq x\leq 6,}$

ist der Median der ${\displaystyle x}$ -Wert, welcher die Fläche

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}\cdot x\cdot {\frac {x}{18}}}$

unter der Dichtefunktion in zwei gleich große Flächen teilt. Dieser Wert wird somit durch die Gleichung

${\displaystyle F(m)={\frac {1}{2}}\cdot m\cdot {\frac {m}{18}}={\frac {1}{2}}}$

bestimmt. Für deren Lösung ${\displaystyle m={\sqrt {18}}\approx 4{,}24}$ gilt damit ${\displaystyle P(X\leq 4{,}24)\approx 0{,}5}$ .

Das heißt in diesem Beispiel ist der Median ${\displaystyle m}$ größer als der Erwartungswert ${\displaystyle \mu =4}$ .

• Für die Exponentialverteilung mit Parameter ${\displaystyle \lambda >0}$ lautet die Verteilungsfunktion

${\displaystyle F(x)=1-e^{-\lambda x}}$ für ${\displaystyle x\geq 0.}$

Diese Verteilung modelliert zum Beispiel atomaren Zerfall, genauer die Lebensdauer eines radioaktiven Teilchens bis zum Verfall.

Ihr Median ${\displaystyle m}$ ergibt sich als eindeutig bestimmte Lösung der Gleichung ${\displaystyle F(m)={\tfrac {1}{2}}}$ zu

${\displaystyle 1-e^{-\lambda m}={\frac {1}{2}}\iff e^{-\lambda m}={\frac {1}{2}}\iff m={\frac {\ln 2}{\lambda }}.}$

Wegen ${\displaystyle \ln 2<1}$ ist der Median hier kleiner als der Erwartungswert ${\displaystyle \mu ={\tfrac {1}{\lambda }}}$ .

Der Median ist im Beispiel des Zerfalls die Halbwertzeit.