Potenz (Mathematik)

Das Potenzieren (von lat. potentia, ‚Vermögen, Macht‘, als Lehnübersetzung aus gr. δύναμις, dýnamis, das in der antiken Geometrie spätestens seit Platon auch die Bedeutung ‚Quadrat‘ hatte) ist wie das Multiplizieren seinem Ursprung nach eine abkürzende Schreibweise für eine wiederholte mathematische Rechenoperation. Wie beim Multiplizieren ein Summand wiederholt addiert wird, so wird beim Potenzieren ein Faktor wiederholt multipliziert.

Definition

Natürliche Exponenten

Die Potenz ${\displaystyle a^{n}}$ wird für reelle oder komplexe Zahlen ${\displaystyle a}$ und natürliche Zahlen ${\displaystyle n}$ definiert durch

${\displaystyle {\begin{matrix}a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot a\dotsm a} _{n\ \mathrm {Faktoren} }.\end{matrix}}}$

Man spricht diese Rechenoperation als a hoch n, a zur n-ten Potenz oder kurz a zur n-ten. Im Fall ${\displaystyle n=2}$ ist auch a (zum) Quadrat und im Fall ${\displaystyle n=3}$ auch a (zum) Kubik üblich.

${\displaystyle a}$ heißt Basis (oder Grundzahl), ${\displaystyle n}$ heißt Exponent (oder Hochzahl) der Potenz ${\displaystyle a^{n}}$ . Das Ergebnis ist der Wert der Potenz.

Die obige Definition gilt nur für ${\displaystyle n=1,2,3,\dotsc }$ Damit die Identität ${\displaystyle a\cdot a^{n}=a^{n+1}}$ auch noch für ${\displaystyle n=0}$ gilt, wird ${\displaystyle a^{0}=1}$ festgelegt.

Diese Definition lässt sich nicht nur auf reelle oder komplexe Zahlen, sondern auch auf beliebige multiplikative Monoide anwenden.

Wenn hochgestelltes Schreiben nicht möglich ist (zum Beispiel in einem ASCII-Text), verwendet man oft die Schreibweise a^b (beispielsweise in Algol 60[1], in TeX-Quellcode oder in Computeralgebrasystemen wie Maple), gelegentlich auch a**b (beispielsweise in Fortran, Perl oder Python).

Zehnerpotenzen werden in der elektronischen Datenverarbeitung häufig mit e oder E dargestellt.
Beispiel: 1,55 E 5 := 1,55 · 10⁵ = 155000.

Die folgende Modifikation erleichtert die Behandlung des Sonderfalles ${\displaystyle n=0}$ :

Die Potenzschreibweise bedeutet „Multipliziere die Zahl 1 mit der Grundzahl so oft, wie der Exponent angibt“, also

${\displaystyle {\begin{matrix}a^{n}=1\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot a\dotsm a} _{n\ \mathrm {Faktoren} }.\end{matrix}}}$

Der Exponent 0 sagt aus, dass die Zahl 1 keinmal mit der Grundzahl multipliziert wird und allein stehen bleibt, so dass man das Ergebnis 1 erhält.

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=1\cdot a\cdot a\\a^{1}&=1\cdot a\\a^{0}&=1\end{aligned}}}$

Bei negativer Basis und geradzahligem Exponenten ist die Potenz positiv,

${\displaystyle (-a)^{2n}=a^{2n};}$

bei negativer Basis und ungeradzahligem Exponenten ist die Potenz negativ,

${\displaystyle (-a)^{2n+1}=-a^{2n+1}.}$

Ganze negative Exponenten

Negative Exponenten bedeuten, dass man die zur Multiplikation inverse Operation (Division) durchführen soll. Also „Dividiere die Zahl 1 durch die Grundzahl so oft, wie der Exponent angibt“.

${\displaystyle {\begin{matrix}a^{-n}=1:\underbrace {a:a:a:\dotsb :a} _{n\ \mathrm {Divisoren} }\end{matrix}}}$

Für eine reelle Zahl ${\displaystyle a}$ und eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ definiert man also

${\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0}$

Die analoge Definition wird auch in allgemeinerem Kontext angewandt, wann immer eine Multiplikation und inverse Elemente zur Verfügung stehen, beispielsweise bei invertierbaren Matrizen.

Rationale Exponenten

Sei ${\displaystyle q}$ eine rationale Zahl mit der Bruchdarstellung ${\displaystyle q={\tfrac {m}{n}}}$ mit ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} ,\ n\in \mathbb {N} }$ . Für beliebige positive reelle ${\displaystyle a}$ definiert man

${\displaystyle a^{q}=a^{\tfrac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$ ${\displaystyle \qquad }$ (oder, was äquivalent ist, ${\displaystyle a^{q}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}}$ ).

Der Wert der Potenz hängt nicht davon ab, welche Bruchdarstellung man gewählt hat.

Dieselbe Definition gilt auch für ${\displaystyle a=0}$ . Daraus folgt, dass ${\displaystyle 0^{q}=0}$ für ${\displaystyle q>0}$ ist und dass ${\displaystyle 0^{q}}$ nicht existiert, wenn ${\displaystyle q<0}$ ist.

Wenn man Wurzeln aus negativen Zahlen mit ungeraden Wurzelexponenten zulässt, dann kann man diese Definition auf negative Basen und solche rationale Exponenten erweitern, deren gekürzte Bruchdarstellungen ungerade Nenner haben. Dazu gehören auch Potenzen mit negativen Basen und ganzen Exponenten, weil die Nenner in diesem Fall gleich ${\displaystyle 1}$ sind.

Für den Fall ${\displaystyle a<0}$ kann man bei Berechnungen von ${\displaystyle a^{q}}$ alle Bruchdarstellungen ${\displaystyle q={\tfrac {m}{n}}}$ mit ungeraden ${\displaystyle n}$ benutzen. Aber bei Benutzung von Bruchdarstellungen mit geraden ${\displaystyle n}$ können Fehler entstehen. Zum Beispiel gilt:

${\displaystyle -2=(-8)^{1/3}={\sqrt[{3}]{-8}}={\sqrt[{9}]{(-8)^{3}}}\neq {\sqrt[{6}]{(-8)^{2}}}=2}$ .

Reelle Exponenten

Ist ${\displaystyle a>0}$ und ${\displaystyle r}$ eine beliebige reelle Zahl, und ist ${\displaystyle (q_{n})}$ eine Folge rationaler Zahlen, die gegen ${\displaystyle r}$ konvergiert, so definiert man:

${\displaystyle a^{r}=\lim _{n\to \infty }a^{q_{n}}}$ .

Diese Definition ist korrekt, d. h. der Grenzwert existiert immer und hängt nicht von der Auswahl der Folge ${\displaystyle (q_{n})}$ ab.

Zum Beispiel ist ${\displaystyle 2^{\pi }}$ gleich dem Grenzwert der Folge ${\displaystyle 2^{3},\;2^{3{,}1},\;2^{3{,}14},\dots }$

Die Definition lässt sich nicht auf den Fall ${\displaystyle a<0}$ erweitern, da in diesem Fall der Grenzwert nicht zu existieren braucht bzw. für verschiedene Wahlen der Folge ${\displaystyle (q_{n})}$ sich verschiedene Grenzwerte ergeben.

Eine andere Definition ist über die natürliche Exponentialfunktion und den natürlichen Logarithmus möglich:

${\displaystyle a^{r}=\operatorname {exp} (r\ln a)}$

Dazu kann die Exponentialfunktion über ihre Reihenentwicklung definiert werden:

${\displaystyle \operatorname {exp} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

Insgesamt sind somit die Potenzen mit nichtnegativen Basen für alle reelle Exponenten definiert. Im Unterschied davon sind die Potenzen mit negativen Basen nur für solche rationale Exponenten definiert, deren gekürzte Bruchdarstellungen ungerade Nenner haben. Alle Potenzen mit negativen Basen und ganzen Exponenten gehören dazu.

Potenzgesetze

Um die nachfolgende Tabelle nicht zu überladen, betrachten wir nur Potenzen mit reellen Basen, die ungleich ${\displaystyle 0}$ sind. Betrachtet man aber eines der unten aufgeführten Gesetze mit nur positiven Exponenten, dann ist es auch für Potenzen zur Basis ${\displaystyle 0}$ gültig. Wenn von rationalen Zahlen mit geraden oder ungeraden Nennern gesprochen wird, dann sind stets die Nenner ihrer gekürzten Bruchdarstellungen gemeint.

${\displaystyle a^{0}=1}$	für alle ${\displaystyle a\neq 0}$ (Anmerkungen zu „null hoch null“ siehe unten)
${\displaystyle a^{-r}={\frac {1}{a^{r}}}}$	für beliebige reelle ${\displaystyle r}$ , falls ${\displaystyle a>0}$ ist; für beliebige rationale ${\displaystyle r}$ mit ungeraden Nennern, falls ${\displaystyle a<0}$ ist.
${\displaystyle a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}}$	für beliebige natürliche ${\displaystyle n}$ und ganze ${\displaystyle m}$ , falls ${\displaystyle a>0}$ ist; für beliebige natürliche ungerade ${\displaystyle n}$ und ganze ${\displaystyle m}$ , falls ${\displaystyle a<0}$ ist.
${\displaystyle a^{r+s}=a^{r}\cdot a^{s}}$	für beliebige reelle ${\displaystyle r,\;s}$ , falls ${\displaystyle a>0}$ ist; für beliebige rationale ${\displaystyle r,\;s}$ mit ungeraden Nennern, falls ${\displaystyle a<0}$ ist.
${\displaystyle a^{r-s}={\frac {a^{r}}{a^{s}}}}$	für beliebige reelle ${\displaystyle r,\;s}$ , falls ${\displaystyle a>0}$ ist; für beliebige rationale ${\displaystyle r,\;s}$ mit ungeraden Nennern, falls ${\displaystyle a<0}$ ist.
${\displaystyle (a\cdot b)^{r}=a^{r}\cdot b^{r}}$	für beliebige natürliche ${\displaystyle r}$ , und für ganze ${\displaystyle r}$ , wenn ${\displaystyle a\cdot b\neq 0}$ ; für beliebige reelle ${\displaystyle r}$ , falls ${\displaystyle a>0,\;b>0}$ sind; für beliebige rationale ${\displaystyle r}$ mit ungeraden Nennern, falls mindestens eine der Zahlen ${\displaystyle a,\;b}$ negativ ist.
${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{r}={\frac {a^{r}}{b^{r}}}}$	für beliebige ganze ${\displaystyle r}$ mit ${\displaystyle r\geq 0}$ und ${\displaystyle b\neq 0}$ oder ${\displaystyle r\leq 0}$ und ${\displaystyle a\neq 0}$ ; für beliebige reelle ${\displaystyle r}$ , falls ${\displaystyle a>0,\;b>0}$ sind; für beliebige rationale ${\displaystyle r}$ mit ungeraden Nennern, falls mindestens eine der Zahlen ${\displaystyle a,\;b}$ negativ ist.
${\displaystyle (a^{r})^{s}=a^{r\cdot s}}$	für beliebige ganze ${\displaystyle r,\,s}$ , falls ${\displaystyle a\neq 0}$ ist; für beliebige reelle ${\displaystyle r,\;s}$ , falls ${\displaystyle a>0}$ ist; für beliebige rationale ${\displaystyle r,\;s}$ , mit ungeraden Nennern, falls ${\displaystyle a<0}$ ist.
${\displaystyle (a^{r})^{s}=-a^{r\cdot s}}$	für ${\displaystyle a<0}$ und beliebige rationale ${\displaystyle r,\;s}$ , falls ${\displaystyle r}$ und ${\displaystyle r\cdot s}$ ungerade Nenner haben und ${\displaystyle r\cdot s}$ einen ungeraden Zähler hat.

Ist mindestens einer der Exponenten ${\displaystyle r,\;s}$ irrational oder sind beide rational, aber hat mindestens eine der Zahlen ${\displaystyle r}$ oder ${\displaystyle r\cdot s}$ einen geraden Nenner, dann ist einer der Ausdrücke ${\displaystyle (a^{r})^{s}}$ oder ${\displaystyle a^{r\cdot s}}$ für ${\displaystyle a<0}$ undefiniert. Ansonsten sind beide definiert und stimmen entweder überein oder unterscheiden sich nur um ihr Vorzeichen. Für beliebige ${\displaystyle r,\;s}$ , falls ${\displaystyle a>0}$ ist, und für ganze ${\displaystyle r,\;s}$ , falls ${\displaystyle a\neq 0}$ ist, stimmen sie immer überein. Für ${\displaystyle a<0}$ und nicht ganzzahlige, aber rationale ${\displaystyle r,\;s}$ sind diese beiden Fälle möglich. Welcher Fall eintritt, hängt von der Anzahl der Zweien in der Primzahlzerlegung des Zählers von ${\displaystyle r}$ und des Nenners von ${\displaystyle s}$ ab. Um das richtige Vorzeichen auf der rechten Seite der Formel ${\displaystyle (a^{r})^{s}=\pm \,a^{r\cdot s}}$ zu erkennen, ist es hinreichend, in diese Formel ${\displaystyle a=-1}$ einzusetzen. Das Vorzeichen, mit dem sie dann bei ${\displaystyle a=-1}$ gültig ist, bleibt richtig für alle ${\displaystyle a<0}$ und gegebenem ${\displaystyle r,\;s}$ . Gilt ${\displaystyle (a^{r})^{s}=-a^{r\cdot s}}$ für ${\displaystyle a<0}$ , dann gilt ${\displaystyle (a^{r})^{s}=|a|^{r\cdot s}}$ für alle ${\displaystyle a\neq 0}$ (und auch für ${\displaystyle a=0}$ , falls alle Exponenten positiv sind).

Zum Beispiel gilt ${\displaystyle ((-1)^{2})^{\frac {1}{2}}=1}$ und ${\displaystyle (-1)^{2\cdot {\frac {1}{2}}}=-1}$ . Darum ist ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}=(a^{2})^{\frac {1}{2}}=-a^{2\cdot {\frac {1}{2}}}=-a}$ für alle ${\displaystyle a<0}$ und somit ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}=|a|}$ für alle reelle ${\displaystyle a}$ gültig.

Das Potenzieren ist weder kommutativ, denn beispielsweise gilt ${\displaystyle 2^{3}=8\not =9=3^{2}}$ , noch assoziativ, denn beispielsweise gilt ${\displaystyle \left(3^{1}\right)^{3}=27\neq 3=3^{\left(1^{3}\right)}}$ .

Die Schreibweise ${\displaystyle a^{b^{c}}}$ ohne Klammern bedeutet ${\displaystyle a^{(b^{c})}}$ , das Potenzieren ist demnach rechtsassoziativ, vgl. Operatorrangfolge.

Potenzen komplexer Zahlen

Für ganzzahlige Exponenten kann man Potenzen mit komplexen Basen wie im reellen Fall definieren. Für beliebige reelle oder komplexe Exponenten muss man jedoch anders vorgehen.

Der erste Schritt zur Definition von Potenzen mit komplexen Basen und Exponenten besteht in der stetigen Fortsetzung der Funktion ${\displaystyle e^{x}}$ auf die Menge ${\displaystyle \mathbb {C} }$ der komplexen Zahlen. Dafür gibt es unterschiedliche Möglichkeiten. Zum Beispiel kann man die Reihe

${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}$

benutzen, die für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ konvergiert und für alle ${\displaystyle z=x\in \mathbb {R} }$ die Funktion ${\displaystyle e^{x}}$ angibt. Mithilfe von Operationen mit Reihen beweist man danach, dass

${\displaystyle e^{z_{1}+z_{2}}=e^{z_{1}}e^{z_{2}}}$

für beliebige ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} }$ und die eulersche Formel

${\displaystyle e^{i\,y}={\cos y}+i\,{\sin y}}$

für beliebige ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ gelten. Daraus folgt die Formel

${\displaystyle e^{x+i\,y}=e^{x}\,(\cos {y}+i\,\sin {y})}$ ,

die man auch für die Definition von ${\displaystyle e^{z}}$ benutzen kann. Diese Formel zeigt, dass die Wertemenge von ${\displaystyle e^{z}}$ gleich ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ist und dass diese Funktion periodisch ist mit Perioden ${\displaystyle 2k\pi i}$ , ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ .

Darum ist ihre Umkehrfunktion ${\displaystyle \mathrm {Ln} (z)}$ mehrdeutig und für alle ${\displaystyle z\neq 0}$ definiert. Sie kann mithilfe der Formel ${\displaystyle \mathrm {Ln} (z)=\ln |z|+i\mathrm {Arg} (z)}$ angegeben werden, wobei ${\displaystyle |z|}$ der Betrag, ${\displaystyle \mathrm {Arg} (z)}$ die Wertemenge des Arguments von ${\displaystyle z}$ und ${\displaystyle \ln |z|}$ der übliche reelle Logarithmus ist. Der Hauptwert ${\displaystyle \ln(z)}$ dieser Funktion ergibt sich, wenn man den Hauptwert ${\displaystyle \mathrm {arg} (z)}$ anstatt ${\displaystyle \mathrm {Arg} (z)}$ benutzt. Für reelle ${\displaystyle z=x>0}$ ist nach der üblichen Definition ${\displaystyle \mathrm {arg} (x)=0}$ , deshalb stimmt diese Funktion ${\displaystyle \ln }$ auf der Menge ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ mit dem üblichen reellen Logarithmus überein.

Für beliebige ${\displaystyle a,\;z\in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle a\neq 0}$ definiert man dann:

${\displaystyle a^{z}=e^{z\,\mathrm {Ln} \;a}.}$

Das ist auch eine mehrdeutige Funktion, deren Hauptwert sich beim Einsatz von ${\displaystyle \ln }$ anstatt ${\displaystyle \mathrm {Ln} }$ ergibt.

Aber für ${\displaystyle z=n\in \mathbb {Z} }$ verschwindet diese Mehrdeutigkeit und es entstehen übliche Potenzen mit ganzen Exponenten, die im ersten Abschnitt definiert wurden. Seien ${\displaystyle a\neq 0}$ und ${\displaystyle \varphi \in \mathrm {Arg} (a)}$ , dann zieht die exponentiale Darstellung

${\displaystyle a=|a|\,e^{i\varphi }}$

nach sich, dass

${\displaystyle a^{n}=|a|^{n}\,e^{in\varphi }}$

gilt.

Für einen rationalen Exponenten ${\displaystyle q}$ mit der gekürzten Bruchdarstellung ${\displaystyle q={\tfrac {m}{n}}}$ , mit ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} }$ , hat die Potenz ${\displaystyle a^{q}}$ genau ${\displaystyle n}$ unterschiedliche Werte. Dies gilt insbesondere für ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}}$ . Ist ${\displaystyle n}$ ungerade und ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ , dann gibt es unter ihnen genau eine reelle Zahl, und das ist gerade die Zahl ${\displaystyle a^{q}}$ aus dem Abschnitt 1.3. Ist ${\displaystyle n}$ gerade und ${\displaystyle a<0}$ , dann nimmt ${\displaystyle a^{q}}$ keine reellen Werte an. Wenn aber ${\displaystyle n}$ gerade und ${\displaystyle a>0}$ sind, dann nimmt die Potenz ${\displaystyle a^{q}}$ genau zwei reelle Werte an, die unterschiedliche Vorzeichen haben. Der positive davon ist in diesem Fall gerade gleich der Zahl ${\displaystyle a^{q}}$ aus dem Abschnitt 1.3.

Als ein Beispiel betrachten wir die Potenz ${\displaystyle i}$ hoch ${\displaystyle i}$ .

Aus ${\displaystyle |i|=1}$ und

${\displaystyle \mathrm {Arg} (i)={\frac {\pi }{2}}+2{\pi }k}$ mit ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

folgt

${\displaystyle \mathrm {Ln} (i)=i\left({\frac {\pi }{2}}+2{\pi }k\right).}$

Daraus ergibt sich

${\displaystyle i^{i}=e^{i\cdot i({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)}=e^{-{\frac {\pi }{2}}-2\pi k}}$ mit ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

Der Hauptwert entspricht ${\displaystyle k=0}$ und ist gleich ${\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}.}$

Spezielle Potenzen

Glatte Potenzen von 10 bilden die Grundlage unseres Zahlensystems, des Dezimalsystems. Als Potenz geschrieben, z.B. 10⁻⁹ für 0,000000001 oder 10¹¹ für 100 Milliarden, werden sie in den Naturwissenschaften verwendet zur Darstellung sehr großer oder sehr kleiner Zahlen.

Für die Mathematik besonders wichtig sind die Potenzen mit der Basis ${\displaystyle e\approx 2{,}7182818284590452}$ , der so genannten Eulerschen Zahl.

Zweierpotenzen ergeben sich durch wiederholte Verdoppelung, eines für sich betrachtet einleuchtenden Prozesses. Das dennoch überraschende schnelle Anwachsen der Zahlen macht sie für Praxisbeispiele so beliebt:

• Ein Blatt Papier lässt sich nur etwa siebenmal auf die halbe Größe falten. Es hat dann 128 Lagen. Wenn man es (theoretisch) 42-mal falten könnte, entspräche seine Dicke der Entfernung von der Erde zum Mond (ca. 384 000 km).
• Jeder Mensch hat zwei biologische Eltern und die meisten haben vier Großeltern und acht Urgroßeltern. Ohne Ahnenverlust wären das vor 70 Generationen, zur Zeit Christi Geburt, ${\displaystyle 2^{70}\approx 10^{21}}$ Ahnen, obwohl damals weniger als 10⁹ Menschen gelebt haben.
• Die Legende vom Erfinder des Schachspiels, der auf jedem Feld des Schachbrettes die Anzahl der Weizenkörner verdoppelte: Weizenkornlegende.

Zur digitalen Verarbeitung von Daten am Computer wird das Dualsystem mit der Basis 2 verwendet. Die Größeneinheiten digitaler Speichersysteme sind daher die Zweierpotenzen, also die Potenzen zur Basis 2 (das sind 1, 2, 4, 8, 16,. ..). Ein Kibibyte (abgekürzt KiB) entspricht ${\displaystyle 2^{10}=1024}$ Bytes.

Bei Schneeballsystemen, zum Beispiel so genannten Schenkkreisen, werden zum Teil Systeme gestartet, die nicht nur eine Verdoppelung, sondern zum Beispiel eine Verachtfachung der neuen Mitglieder pro Schritt vorsehen. Solche Folgen wachsen derart schnell an, dass die Systeme bereits nach wenigen Schritten zwangsläufig kollabieren.

Null hoch Null

Analysis

Es hat sich historisch gebildet, dass man das Symbol ${\displaystyle 0^{0}}$ in der Mathematik in zwei völlig unterschiedlichen Bedeutungen benutzt: als die Bezeichnung für eine Art der unbestimmten Ausdrücke und als die Aufzeichnung der Potenz, deren Basis und Exponent gleich ${\displaystyle 0}$ sind.

Im ersten Fall ist es unsinnig, diesem Symbol einen Zahlwert zuzuschreiben. Im zweiten Fall ist die Festlegung eines Wertes der Potenzen ${\displaystyle 0^{0}}$ keine Frage von wahr oder falsch, sondern von zweckmäßig oder unzweckmäßig. Als a priori geeignete Werte kann man zum Beispiel entweder ${\displaystyle 0}$ (weil ${\displaystyle 0^{q}=0}$ für beliebige ${\displaystyle q\in \mathbb {R} ^{+}}$ gilt) oder ${\displaystyle 1}$ (weil ${\displaystyle a^{0}=1}$ für beliebige ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ gilt) betrachten. In heutigen Analysislehrbüchern ist auch die Konvention verbreitet, die Potenz ${\displaystyle 0^{0}}$ undefiniert zu lassen.

Kann ein Grenzwert nicht unmittelbar auf Grund von Grenzwertsätzen und Eigenschaften von stetigen Funktionen berechnet werden, dann heißt der Ausdruck, der unter dem Zeichen des Grenzwertes steht, unbestimmter Ausdruck. Das sind zum Beispiel ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}},\;{\tfrac {\infty }{\infty }}}$ usw. Der unbestimmte Ausdruck ${\displaystyle 0^{0}}$ entsteht bei Berechnungen der Grenzwerte der Potenzen, deren Basen und Exponenten gleichzeitig gegen ${\displaystyle 0}$ gehen. Die Ursache liegt darin, dass für eine beliebige Zahl ${\displaystyle A\geq 0}$ (und auch bei ${\displaystyle A=+{\infty }}$ ) solche Folgen ${\displaystyle (u_{n}),\;(v_{n})}$ existieren, dass ${\displaystyle u_{n}\to 0+}$ , ${\displaystyle v_{n}\to 0}$ und ${\displaystyle {u_{n}}^{v_{n}}\to A}$ gelten. Also sind die Grenzwertargumente zur Festlegung des Wertes der Potenz ${\displaystyle 0^{0}}$ ungeeignet.

Bis Anfang des 19. Jahrhunderts haben Mathematiker anscheinend ${\displaystyle 0^{0}=1}$ gesetzt, ohne diese Festlegung genauer zu hinterfragen. Augustin-Louis Cauchy listete allerdings ${\displaystyle 0^{0}}$ gemeinsam mit anderen Ausdrücken wie ${\displaystyle 0/0}$ in einer Tabelle von unbestimmten Ausdrücken.[2] 1833 veröffentlichte Guillaume Libri eine Arbeit[3], in der er wenig überzeugende Argumente für ${\displaystyle 0^{0}=1}$ präsentierte, die in der Folge kontrovers diskutiert wurden. Zur Verteidigung von Libri veröffentlichte August Ferdinand Möbius einen Beweis seines Lehrers Johann Friedrich Pfaff, der im Wesentlichen zeigte, dass ${\displaystyle \lim _{x\to 0+}x^{x}=1}$ gilt, und einen angeblichen Beweis für ${\displaystyle \lim _{x\to 0+}f(x)^{g(x)}=1}$ , falls ${\displaystyle \lim _{x\to 0+}f(x)=\lim _{x\to 0+}g(x)=0}$ gelten, lieferte.[4] Dieser Beweis wurde durch das Gegenbeispiel ${\displaystyle f(x)=e^{-1/x}}$ und ${\displaystyle g(x)=x}$ rasch widerlegt.

Donald E. Knuth erwähnte 1992 im American Mathematical Monthly die Geschichte der Kontroverse und lehnte die Schlussfolgerung entschieden ab, dass ${\displaystyle 0^{0}}$ undefiniert gelassen wird.[5] Wenn man den Wert 1 für die Potenz ${\displaystyle 0^{0}}$ nicht voraussetzt, verlangen viele mathematische Theoreme wie zum Beispiel der binomische Satz

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}}$

eine Sonderbehandlung für die Fälle ${\displaystyle x=0}$ oder ${\displaystyle y=0}$ oder gleichzeitig ${\displaystyle n=0}$ und ${\displaystyle x+y=0}$ .

Ebenso taucht die Potenz ${\displaystyle 0^{0}}$ in Potenzreihen wie beispielsweise für die Exponentialfunktion

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$ an der Stelle ${\displaystyle x=0}$

oder in der Summenformel für die geometrische Reihe

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}q^{k}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}}$ für ${\displaystyle q=0}$

auf. Auch hier ist die Konvention ${\displaystyle 0^{0}=1}$ sinnvoll.

Mengenlehre

In der Mengenlehre wird eine Potenz ${\displaystyle B^{A}}$ zweier Mengen als Menge aller Funktionen von ${\displaystyle A}$ nach ${\displaystyle B}$ definiert, das heißt als Menge von Mengen ${\displaystyle f}$ geordneter Paare ${\displaystyle (a,b)}$ , so dass es zu jedem ${\displaystyle a\in A}$ genau ein ${\displaystyle b\in B}$ gibt mit ${\displaystyle (a,b)\in f}$ . Bezeichnet man mit ${\displaystyle |A|}$ die Mächtigkeit von ${\displaystyle A}$ , so gilt ${\displaystyle |B^{A}|=|B|^{|A|}}$ (zumindest für endliche Mengen, aber auch darüber hinaus), was die Potenzschreibweise für Mengen rechtfertigt. Nun gibt es genau eine auf der leeren Menge ${\displaystyle \emptyset }$ definierte Funktion, das heißt Menge von Paaren mit obiger Eigenschaft, nämlich ${\displaystyle \emptyset }$ . Daher gilt ${\displaystyle B^{\emptyset }=\{\emptyset \}}$ , was auch für ${\displaystyle B=\emptyset }$ richtig bleibt.

Die natürlichen Zahlen werden in der Mengenlehre rekursiv wie folgt definiert (siehe von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen):

${\displaystyle 0:=\emptyset ,\,1:=\{0\}=\{\emptyset \},\,2:=\{0,1\}=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\},\,3:=\{0,1,2\}=\ldots }$ .

Demnach gilt in der Mengenlehre

${\displaystyle 0^{0}=\emptyset ^{\emptyset }=\{\emptyset \}=1}$ .

Umkehrfunktionen

Da das Kommutativgesetz beim Potenzieren nicht gilt, gibt es zwei Umkehrrechenarten:

• das Wurzelziehen, um Gleichungen der Bauart ${\displaystyle x^{a}=b}$ nach ${\displaystyle x}$ aufzulösen, also um die Basis zu ermitteln, wenn der Exponent bekannt ist,
• das Logarithmieren für Gleichungen des Typs ${\displaystyle a^{x}=b}$ , also die Bestimmung des Exponenten, wenn die Basis vorgegeben ist.

Verallgemeinerungen

Allgemeinere Basen

Allgemein gibt es Potenzen mit positiven, ganzzahligen Exponenten in jeder Halbgruppe. Hat diese ein neutrales Element und wird dadurch zum Monoid ${\displaystyle M}$ , so ist auch Exponent 0 sinnvoll, ${\displaystyle a^{0}}$ ist dann immer das neutrale Element. Es gelten die Potenzgesetze

• ${\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}}$
• ${\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}}$
• ${\displaystyle (a\cdot b)^{m}=a^{m}\cdot b^{m}}$ , falls ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ vertauschen, d. h. wenn ${\displaystyle ab=ba}$ gilt.

(Überall ${\displaystyle a,b\in M;m,n\in \mathbb {N} _{0}}$ .)

Ist ${\displaystyle a}$ ein invertierbares Element, so kann man mittels

${\displaystyle \!\ a^{-n}=(a^{-1})^{n}}$ für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Potenzen mit beliebigen ganzzahligen Exponenten definieren. Die Rechenregeln gelten analog. Im Fall abelscher Gruppen besagen sie, dass durch die Potenzierung die Struktur eines ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -Moduls induziert wird.

Allgemeinere Exponenten

Allgemeinere Exponenten wie Matrizen werden meist nur im Zusammenhang mit der Basis ${\displaystyle e}$ , also als Werte der verallgemeinerten Exponentialfunktion betrachtet.

Darüber hinaus wird die Potenzschreibweise gelegentlich auch für andere natürliche Fortsetzungen verwendet. So werden beispielsweise in der algebraischen Zahlentheorie gelegentlich Potenzen von Elementen von (topologischen) Galoisgruppen mit Exponenten in Vervollständigungen von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ betrachtet; es handelt sich dann um die jeweils eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung der Abbildung

${\displaystyle \mathbb {Z} \to G,\quad n\mapsto g^{n}.}$ .

Für beliebige Kardinalzahlen ${\displaystyle |X|}$ und ${\displaystyle |Y|}$ lässt sich die Potenz durch ${\displaystyle |Y|^{|X|}:=|Y^{X}|}$ definieren, wobei ${\displaystyle Y^{X}}$ die Menge aller Funktionen mit Urmenge ${\displaystyle X}$ und Bildmenge ${\displaystyle Y}$ bezeichnet, diese Verallgemeinerung setzt das Potenzmengenaxiom voraus, wobei zur Handhabung der Kardinalzahlen in der Regel auch das Auswahlaxiom angenommen wird.

Mehrdeutigkeit der Exponentenschreibweise bei Funktionen

Eine an Potenzen erinnernde Schreibweise existiert auch für Funktionen. Diese Schreibweise kann allerdings verschiedene Bedeutungen haben. In der Regel geht aus dem Kontext hervor, welche von beiden Bedeutungen gerade gemeint ist.

Multiplikation

Als abkürzende Schreibweise für die Multiplikation mehrerer Funktionswerte trigonometrischer Funktionen mit gleichen Argumenten, wie sie beispielsweise bei den Additionstheoremen für Winkelfunktionen häufig auftreten, hat sich folgende Schreibweise eingebürgert:

${\displaystyle \sin ^{2}\ x:=(\sin \ x)^{2}=\sin(x)\cdot \sin(x)}$ .

Allgemein gilt aber nicht:

${\displaystyle \!\ f^{n}(x)=(f(x))^{n}}$ (siehe unten unter Verkettung).

Verkettung

Andererseits wird die Potenzschreibweise oft als abkürzende Schreibweise für die Verkettung von Funktionen, deren Werte wieder im Definitionsbereich liegen, verwendet.

Definition (id bezeichnet die Identität auf dem Definitionsbereich):

${\displaystyle f^{0}:=\mathrm {id} ;f^{1}:=f;f^{2}:=(f\circ f)}$

${\displaystyle f^{n}:=f\circ f^{n-1}.}$

Für die Funktionswerte bedeutet dies:

${\displaystyle f^{0}(x)=\mathrm {id} (x)=x;f^{1}(x)=f(x);f^{2}(x)=(f\circ f)(x)=f(f(x))}$

${\displaystyle f^{n}(x)=(f\circ f^{n-1})(x)=f\left(f^{n-1}(x)\right).}$

Als Erweiterung dieser Definition definiert man üblicherweise noch ${\displaystyle f^{-1}}$ als die Umkehrfunktion von ${\displaystyle f}$ . Insbesondere findet sich diese Schreibweise auch auf vielen Taschenrechnern, beispielsweise wird dort und auch sonst die Arkusfunktion ${\displaystyle \arcsin }$ mit ${\displaystyle \sin ^{-1}}$ bezeichnet.

Ableitung

Wird der Exponent in Klammern geschrieben, so ist meist die entsprechende Ableitung gemeint, ${\displaystyle f^{(n)}}$ bezeichnet dann die ${\displaystyle n}$ -te Ableitung von f.

In Programmiersprachen

Die Schreibweise mit hochgestelltem Exponenten x^y ist praktisch in handgeschriebenen Formeln, aber unpraktisch bei Schreibmaschinen und Terminals, bei denen die Zeichen einer Zeile alle auf einer Höhe stehen. Deshalb benutzen viele Programmiersprachen alternative Wege um eine Potenz darzustellen:

• x ↑ y: ALGOL, Commodore BASIC
• x ^ y: BASIC, J, MATLAB, R, Microsoft Excel, TeX (und seine Ableger), TI-Basic, bc (für ganzzahlige Exponenten), Haskell (für nicht negative ganzzahlige Exponenten), Lua, ASP und die meisten Computeralgebrasysteme
• x ^^ y: Haskell (für rationale Basis und ganzzahlige Exponenten), D
• x ** y: Ada, Bash, COBOL, Fortran, FoxPro, Gnuplot, OCaml, Perl, PL/I, Python, REXX, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Haskell (für Gleitkomma-Exponenten), Turing, VHDL
• x⋆y: APL

In vielen Programmiersprachen gibt es statt eines Potenzoperators eine entsprechende Bibliotheksfunktion.

Verwandte Themen

• Exponentialfunktion ist eine Funktion mit variablem Exponent, die Potenzfunktion mit variabler Basis.
• Entsprechende Folgen sind die Geometrische Folge und die Potenzfolge.
• Die Binäre Exponentiation ist ein effizientes Verfahren zur Potenzierung mit natürlichen Exponenten.
• Als Potenzturm werden mehrfach potenzierte Potenzen bezeichnet.
• Größenordnung, Wissenschaftliche Notation – zur Darstellung von Zahlen mittels Potenzen

Einzelnachweise

1. ↑ Sample: Syntax the Algorithmic Language Algol 60
2. ↑ Cauchy, Augustin-Louis. Analyse algébrique. Die Tabelle mit den unbestimmten Ausdrücken ist auf Seite 69.
3. ↑ Libri, Guillaume. Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 10 (1833), S. 303–316.
4. ↑ Möbius, August Ferdinand. Beweis der Gleichung ${\displaystyle 0^{0}=1}$ , nach J. F. Pfaff. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 12 (1834), S. 134–136.
5. ↑ Donald E. Ervin: Two notes on notation. In: American Mathematical Monthly. Vol. 99, No. 5, Mai 1992, S. 403–422 (Preprint auf der Website von Knuth als TeX-Quelltext; GZIP; 26 kB). Die Geschichte der Kontroverse ist auf Seite 6 des Preprints.

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