Page - 46 - in Vorlesungen über Thermodynamik

Der erste Hauptsatz der Wa¨rmetheorie 46 außen zugefu¨hrte Wa¨rme bedeutet. § 75. Der Wert vonA la¨ßt sich unmittelbar berechnen. Zuna¨chst setzt sich A durch algebraische Addition aus den Elementararbeiten zusammen, welche wa¨hrend der aufeinanderfolgenden unendlich kleinen, den einzelnen Bogenelementen der Kurve α entsprechenden Vera¨nderungen der Substanz von außen her auf dieselbe ausgeu¨bt werden. Da nun der a¨ußere Druck wegen der angenommenen Umkehrbarkeit des Prozesses in jedem Augenblick gleich dem der Substanz p zu setzen ist, so ist die von den a¨ußeren Kra¨ften bei einer unendlich kleinen Vera¨nderung geleistete Arbeit, wie in der Hydrodynamik gezeigt wird, einfach gleich dem Produkte des Druckes p und der Volumenverminderung, unabha¨ngig von der geometrischen Form der Oberfla¨che der Substanz, also =−pdV , und mithin die wa¨hrend des ganzen Prozesses geleistete a¨ußere Arbeit: (20) A=− 2∫ 1 pdV, wobei die Integration u¨ber die Kurve α vom Punkt 1 bis zum Punkt 2 zu erstrecken ist. Wenn p positiv, wie bei Gasen, und V2>V1, wie in der Fig. 2, so ist A negativ, d. h. es wird a¨ußere Arbeit nicht aufgewendet, sondern gewonnen. Um die Integration ausfu¨hren zu ko¨nnen, bedarf es der Kenntnis der Abha¨ngigkeit des Druckes p vom Volumen V , d. h. der Kenntnis der Kurve α. Solange nur die Punkte 1 und 2, nicht aber die sie verbindende Kurve gegeben ist, hat das Integral gar keinen bestimmten Wert. Erfolgt z.B. der U¨bergang von 1 zu 2 auf einer anderen Kurve β, so fa¨llt das Integral ganz anders aus. Daher ist, wie man sagt, das Differential pdV ein ” unvollsta¨ndiges“ Differential. Mathematisch betrachtet ru¨hrt dieser Umstand daher, daß p außer von V im allgemeinen noch von einer anderen Variabeln, der Temperatur T, abha¨ngt, die sich auf dem Integrationswege α in gewisser Weise mita¨ndern wird. Solange nun α nicht gegeben ist, la¨ßt sich auch nichts u¨ber die Abha¨ngigkeit des T von der Integrationsvariabeln V aussagen, und die Integration liefert kein bestimmtes Resultat. Die a¨ußere Arbeit A hat in der Fig. 2 eine sehr anschauliche Bedeutung. Sie ist offenbar gleich dem negativ genommenen Fla¨cheninhalt der ebenen Figur, welche durch die Kurve α, die Abszissenachse und die Ordinaten in den Punkten 1 und 2 begrenzt wird. Auch hieraus erkennt man, daß der Wert von A wesentlich durch den Verlauf der Kurve α bedingt ist. Nur fu¨r unendlich kleine Zustandsa¨nderungen, d.h. wenn die Punkte 1 und 2 einander unendlich nahe liegen und somit α auf ein Kurvenelement