Page - 136 - in Vorlesungen über Thermodynamik

Anwendungen auf spezielle Gleichgewichtszusta¨nde 136 Die der Beru¨hrung zweier Aggregatzusta¨nde entsprechenden Gleichgewichts- bedingungen gelten fu¨r jede der drei mo¨glichen Kombinationen je zweier Aggregatzusta¨nde, wir wollen jedoch, um die Ideen zu fixieren, zuerst beispielsweise diejenige Lo¨sung dieser Gleichungen im Auge behalten, welche der Beru¨hrung von Dampf und Flu¨ssigkeit entspricht. Wenn wir hierbei den Index 1 auf den Dampf, den Index 2 auf die Flu¨ssigkeit beziehen, so bedeutet v1 das spezifische Volumen des bei der Temperatur T gesa¨ttigten Dampfes, p1 =p2 seinen Druck, v2 das spezifische Volumen der beru¨hrenden Flu¨ssigkeit. Diese Gro¨ßen sind also alle Funktionen der Temperatur allein, wie es der Erfahrung entspricht. § 174. Wir ko¨nnen zuna¨chst durch Differentiation der Gleichgewichts- bedingungen nach T zu neuen Sa¨tzen gelangen, wobei wir, da alle Variabeln nur von T abha¨ngen, die entsprechenden totalen Differentialquotienten kurz mit dv1 dT , dv2 dT , dp1 dT usw. bezeichnen wollen, wa¨hrend wir fu¨r die partiellen Differentialquotienten nachT bei konstantem v, und nach v bei konstantemT die bisherige Bezeichnung ∂p ∂T usw. beibehalten. Dann ergeben die Gleichungen (105) und (106) nach T differentiiert: dp1 dT = dp2 dT und: df2 dT − df1 dT = (v1−v2)dp1 dT +p1 ( dv1 dT − dv2 dT ) . Nun ist aber nach (107) und (108): df2 dT − df1 dT = ( ∂f2 ∂T ) v + ( ∂f2 ∂v ) T dv2 dT − ( ∂f1 ∂T ) v − ( ∂f1 ∂v ) T dv1 dT =−s2−p2dv2 dT +s1 +p1 dv1 dT . Folglich durch Substitution: s1−s2 = (v1−v2)dp1 dT , oder endlich nach (101): (109) (u1−u2)+p1(v1−v2) =T(v1−v2)dp1 dT . Der Ausdruck links bedeutet nach der Gleichung (17) des ersten Hauptsatzes derWa¨rmetheorienichtsanderesalsdieVerdampfungswa¨rmerderFlu¨ssigkeit,