Page - 158 - in Vorlesungen über Thermodynamik

Anwendungen auf spezielle Gleichgewichtszusta¨nde 158 wobei λ und µ beliebige positive Gro¨ßen sind. Fu¨r alle positiven Werte von λ und µ erha¨lt man na¨mlich hieraus alle Punkte der geradlinigen Strecke, welche die beiden zugeordneten Punkte (v12,u12,s12) und (v21,u21,s21) verbindet. Diese Gerade liegt offenbar ganz auf der Fla¨che s′, weil fu¨r jedes beliebigeλundµdie entsprechenden Werte von v, u, sdie Gleichungen (123) und (126) befriedigen, wenn M12 = λ und M21 = µ gesetzt wird. Also wird die Fla¨che s′ gebildet von den geradlinigen Strecken, welche je zwei zugeordnete Punkte der Schnittkurve der Fla¨chen s und s′ verbinden. Eine solche Gerade der Fla¨che ist auch die Verbindungslinie der Punkte (v1,u1,s1) und (v2,u2,s2), deren Projektion auf die Zeichnungsebene die Seite (12) des Fundamentaldreiecks ist. Fu¨r den kritischen Punkt zieht sich diese Strecke auf einen Punkt zusammen, und hier erreicht die Fla¨che s′ ihr Ende. Analog verha¨lt es sich mit den beiden anderen Bla¨ttern der Fla¨che: das eine Blatt beginnt mit der Verbindungslinie der Punkte (v2,u2,s2) und (v3,u3,s3), das andere mit der der Punkte (v3,u3,s3) und (v1,u1,s1). Die Abwickelbarkeit der Fla¨che s′ ergibt sich am einfachsten aus der Betrachtung der Gleichung folgender Ebene: p12(v−v12)+(u−u12)−T12(s−s12) = 0, worin v,u, sdie drei variabeln Raumkoordinaten bedeuten, wa¨hrend p12, v12, u12, T12, s12 nach (122) von einem einzigen Parameter, etwa T12, abha¨ngen. Diese Ebene entha¨lt erstens die zugeordneten Punkte (v12,u12,s12) und (v21,u21,s21), den letzteren vermo¨ge der Gleichungen (122), also auch ihre Verbindungsstrecke, und zweitens die unendlich benachbarten zugeordneten Punkte mit den Koordinaten: v12 +dv12, u12 +du12, s12 +ds12 und v21 +dv21, u21 +du21, s21 +ds21, wie aus (61) folgt, also auch ihre Verbindungsstrecke. Mithin liegen zwei unendlich benachbarte Erzeugende der Fla¨che in einer Ebene, und die Fla¨che ist developpabel. Zur Feststellung des Wertes von s′−s mo¨ge die A¨nderung untersucht werden, welche diese Differenz dadurch erleidet, daß man von einem beliebigen Punkt (v,u) der Zeichnungsebene zu einem beliebigen unendlich benachbarten (v+δv, u+δu) u¨bergeht. Dabei lassen wir M=M12 +M21 konstant, was der Allgemeinheit keinen Eintrag tut, weil s und s′ nur von v und u abha¨ngen. Nun haben wir durch Variation von (126): Mδs′=M12δs12 +M21δs21 +s12δM12 +s21δM21.