Page - 164 - in Vorlesungen über Thermodynamik

Anwendungen auf spezielle Gleichgewichtszusta¨nde 164 Diese Gro¨ße ist wesentlich positiv, da sowohl M12 und M21 als auch cv stets positiv, dagegen ∂p ∂v stets negativ ist. Ein Grenzfall tritt dann ein, wenn man ∂T12 = 0 nimmt, d.h. wenn man in der Richtung der Beru¨hrungslinie der Fla¨chen s′′ und s′ fortgeht, wie es von vornherein klar ist. Daraus folgt also, daß das Ebenenstu¨ck s′′ sich in allen seinen Punkten u¨ber die Fla¨che s′ erhebt, oder daß s′′−s′ niemals negativ wird, und damit ist bewiesen, daß die dritte Lo¨sung der Gleichgewichtsbedingungen innerhalb ihres Gu¨ltigkeitsbereiches, also innerhalb des Fundamentaldreiecks der Substanz: (123) das stabile Gleichgewicht darstellt. § 196. Wir sind nun imstande, die oben in §165 betreffs des stabilen Gleichgewichts gestellte Frage allgemein zu beantworten. Ist die Gesamtmasse M, das Gesamtvolumen V und die Gesamtenergie U des Systems gegeben, so wird der entsprechende stabile Gleichgewichtszustand bestimmt durch die Lage des Punktes, dem die Koordinaten v= V M und u= U M angeho¨ren, in der Zeichnungsebene der Fig. 4. Fa¨llt na¨mlich erstens dieser Punkt in eins der Gebiete (1), (2), (3), so verha¨lt sich das System ganz homogen, im gasfo¨rmigen, flu¨ssigen oder festen Aggregatzustand. Fa¨llt der Punkt zweitens in eins der Gebiete (12), (23), (31), so zerfa¨llt das System in zwei verschiedene Aggregatformen, wie sie durch die Indizes des betreffenden Gebietes angegeben werden. Hierdurch ist aber auch sowohl die gemeinsame Temperatur, als auch die Werte der beiden heterogenen Massenteile vollsta¨ndig bestimmt. Denn nach (123) liegt der Punkt (v,u) auf der geradlinigen Verbindungsstrecke zweier zugeordneter (§191) Punkte der Kurve, welche das betreffende Gebiet begrenzt; man ziehe also durch den gegebenen Punkt (v,u) diejenige Gerade, welche aus den beiden A¨sten jener Kurve zwei zugeordnete Punkte ausschneidet. Diese beiden Punkte geben dann die Beschaffenheit der beiden Aggregatformen an, in die sich das System spaltet; sie haben natu¨rlich gleiche Temperatur und gleichen Druck. Die Gro¨ßen der Massenteile selber ergeben sich ebenfalls aus (123): ihr Quotient ist gleich dem Verha¨ltnis, in welchem der Punkt (v,u) die Verbindungsstrecke der beiden zugeordneten Punkte teilt. Wenn der gegebene Punkt drittens in das Gebiet des Fundamen- taldreiecks (123) hineinfa¨llt, wird das stabile Gleichgewicht durch eine Spaltung des Systems in alle drei Aggregatzusta¨nde bezeichnet, bei der Fundamentaltemperatur und unter dem Fundamentaldruck. Es bleibt dann nur noch u¨brig, die Massen der einzelnen heterogenen Teile des Systems zu bestimmen, und dies geschieht durch die Gleichungen (121a), aus denen hervorgeht, daß die Massenteile sich verhalten wie die Fla¨chen der drei