Page - 168 - in Vorlesungen über Thermodynamik

Anwendungen auf spezielle Gleichgewichtszusta¨nde 168 bleiben. Dabei ist die Funktion Φ durch die Entropie S, die Energie U und das Volumen V des Systems nach (75) in folgender Weise bestimmt: Φ =S−U+pV T . § 201. Nun sei β die Anzahl der Phasen des Systems; dann besteht die Funktion S, ebenso U, V und infolgedessen auch Φ, aus einer Summe von β Gliedern, deren jedes sich auf eine einzelne Phase, also auf einen physikalisch homogenen Ko¨rper bezieht: (142) Φ = Φ′+Φ′′+ . ..+Φβ, wenn wir, wie immer im folgenden, die verschiedenen Phasen durch beigesetzte Striche voneinander unterscheiden. Dabei ist fu¨r die erste Phase: (143) Φ′=S′−U ′+pV ′ T . S′, U′, V ′ und Φ′ sind vollsta¨ndig bestimmt durch T, p und die MassenM′1, M′2, .. . M′α der in der Phase enthaltenen unabha¨ngigen Bestandteile. U¨ber die Art der Abha¨ngigkeit von den einzelnen Massen la¨ßt sich von vornherein nur so viel sagen, daß, wenn alle Massen in einem bestimmten Verha¨ltnis vera¨ndert, z.B. verdoppelt werden, auch jede der obigen Funktionen sich in demselben Verha¨ltnis vera¨ndert. Denn bei der genannten Vera¨nderung bleibt die innere Beschaffenheit der Phase konstant, nur ihre Gesamtmasse a¨ndert sich, und zwar gerade in dem angenommenen bestimmten Verha¨ltnis, und eben dieser Gesamtmasse proportional wa¨chst die Entropie, die Energie und das Volumen, und daher auch die Funktion Φ′. Mit anderen Worten: Φ′ ist eine homogene Funktion ersten Grades der Massen M′1, M′2, .. . M′α, die natu¨rlich nicht linea¨r zu sein braucht. (Ein Beispiel einer nichtlinea¨ren homogenen Funktion ersten Grades ist: Φ′= √ M′21 +M′22 + . ..+M′2α .) Um dies analytisch auszudru¨cken, lassen wir alle Massen sich in dem Verha¨ltnis 1+ε vergro¨ßern, wobei ε eine sehr kleine Zahl ist. Dann sind alle A¨nderungen sehr klein, und man erha¨lt fu¨r die entsprechende A¨nderung von Φ′: ∆Φ′= ∂Φ ′ ∂M′1 ∆M′1 + ∂Φ′ ∂M′2 ∆M′2 + . .. = ∂Φ′ ∂M′1 εM′1 + ∂Φ′ ∂M′2 εM′2 + . .. .