Theorie: Harmonischer Oszillator

Das Pendel ist bei kleinen Auslenkungen eine gute Näherung eines mechanischen harmonischen Oszillators. Bei großer Auslenkung sind die Schwingungen zwar stetig, aber nicht mehr harmonisch. Der harmonische Oszillator ist ein bedeutendes Modellsystem in der Physik, da es ein geschlossen lösbares System darstellt. Es ist dadurch charakterisiert, dass eine Kraft proportional zur Auslenkung entgegen der Auslenkungsrichtung wirkt. Mit der Auslenkung ${\displaystyle \varphi }$, der zweiten Ableitung nach der Zeit ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}}$ und einer Proportionalitätskonstanten ${\displaystyle \omega ^{2}}$ gilt also:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} t^{2}}}=-\omega ^{2}\varphi }$

Mit dieser Proportionalitätskonstanten besitzt der harmonische Oszillator einen Freiheitsgrad, der seine Kreisfrequenz ${\displaystyle \omega }$ genannt wird. Die Lösung dieser Gleichung ist periodischer Natur, die abhängig von den physikalischen Anfangsbedingungen als Summe einer Sinus- und Kosinusfunktion geschrieben werden kann:

${\displaystyle \varphi (t)=A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)}$.

Wenn es auf die Phase nicht ankommt, kann man ${\displaystyle \varphi (0)=0}$ setzen und erhält

${\displaystyle \varphi (t)=\varphi _{\mathrm {max} }\sin(\omega t)}$,

wobei ${\displaystyle \varphi _{\mathrm {max} }}$ die Auslenkung des Pendels am Umkehrpunkt ist.

Die Bewegung, die ein harmonischer Oszillator beschreibt, heißt harmonische Schwingung. Nicht der strengen Definition des harmonischen Oszillators folgend, werden teilweise auch gedämpfte harmonische Osziallatoren als solche bezeichnet. Diese sind derart modelliert, dass die Amplitude, die maximale Auslenkung, der Schwingung mit der Zeit kleiner wird.

Mathematisches und physikalisches Pendel

Das mathematische Pendel ist das einfachste Modell eines Pendels: Ein Massepunkt ist an einem masselosen, starren Faden aufgehängt und kann sich entsprechend nur in zwei Dimensionen auf einer Kreisbahn um die Aufhängung bewegen. Sein einziger Freiheitsgrad ist die Auslenkung um eine Gleichgewichtslage oder Ruheposition und die Gewichtskraft wirkt als rückstellende Kraft auf den Massepunkt. Bei hinreichend kleiner Auslenkung kann das mathematische Pendel als harmonischer Oszillator beschrieben werden. Die Kreisfrequenz hängt dabei nur von der Fadenlänge ${\displaystyle l}$ und der Erdbeschleunigung ${\displaystyle g}$ ab:

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {g}{l}}}}$

Die Verallgemeinerung des mathematischen Pendels in drei Dimensionen heißt sphärisches Pendel. Dessen gekoppeltes Gleichungssystem besitzt keine einfache Lösung mehr.

Das physikalische Pendel berücksichtigt im Gegensatz zum mathematischen Pendel die Ausdehnung des Pendelkörpers und die Masse des Fadens. Die Kreisfrequenz des physikalischen Pendels hängt entsprechend auch von seiner Masse ${\displaystyle m}$ und seinem Trägheitsmoment ${\displaystyle I}$ ab, während ${\displaystyle l}$ als Abstand des Schwerpunkts von der Aufhängung präzisiert werden muss:

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {mgl}{I}}}}$

Die Berechnung gilt ebenfalls nur bei kleiner Auslenkung.

Anisochronismus

Die Kreisfrequenz ${\displaystyle \omega }$ bzw. die Schwingungsdauer ${\displaystyle T={\tfrac {2\pi }{\omega }}}$ ist nur näherungsweise von der maximalen Pendelauslenkung ${\displaystyle \varphi _{\mathrm {max} }}$ unabhängig, denn das rückstellende Moment, das die Schwerkraft auf das Pendel ausübt, ist nicht proportional zu ${\displaystyle \varphi }$, sondern zu ${\displaystyle \sin \varphi }$. Darum tritt Anisochronismus auf: eine Pendeluhr geht umso langsamer, je größer der Pendelausschlag ${\displaystyle \varphi _{\mathrm {max} }}$ wird. Für nicht zu große ${\displaystyle \varphi _{\mathrm {max} }}$ gilt

${\displaystyle T(\varphi _{\mathrm {max} })\approx T_{0}\left(1+{\frac {1}{16}}\varphi _{\mathrm {max} }^{2}\right)}$

mit ${\displaystyle \varphi _{\mathrm {max} }}$ im Bogenmaß.