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Polynomdivision 11. Schulstufe Polynomdivision Theorie Mithilfe einer Polynomdivision ko¨nnen wir die Nullstellen eines Polynoms n-ten Grades bestimmen. Im Rahmen der Polynomdivision wird der eigentliche Term des Polynoms durcheinendemPolynomzugeho¨rigenLinearfaktordividiert. Derzugeho¨rigeLinearfaktor ergibt sich aus einer Nullstelle des Polynoms. Das Auffinden dieser Nullstelle kann entweder durch ein geeignetes Verfahren wie das Newton-Verfahren erfolgen, oder durch simples Raten der Nullstelle, was im Schulkontext in der Regel als ausreichend gilt. Durch die gefundene Nullstelle kann ein Linearfaktor des Polynoms gebildet werden, welcher sodann vom eigentlichen Polynom abgespalten wird. Hierdurch ergibt sich ein neuer Polynomtermn−1-ten Grades. Mathematisch formuliert gilt also das Folgende: Satz Es sei f(x) ein Polynom n-ten Grades und a eine Nullstelle des Polynoms. Dann gilt f(x) =(x−a) ·g(x) fu¨r allex ausR, wobei g(x) ein Polynom vom Gradn−1 ist. Beim Polynom g(x) muss nun u¨ber die weitere Vorgehensweise entschieden werden. Im Kontext in welchem wir in der Schule meist arbeiten, ko¨nnen die Nullstellen von g(x) nun mit herko¨mmlichen Methoden wie beispielsweise der großen Lo¨sungsformel oder durch Substitution bestimmt werden. Allgemein jedoch ko¨nnte es durchaus mo¨glich sein, dass es notwendig ist, weitere Linearfaktoren abzuspalten. Dies geschieht immer vom neu gefundenen Term ausgehend. Beispielsweise ko¨nnten wir wiederum durch Probieren eine Nullstelle von g(x) finden (wir bezeichnen diese mit a2) und uns daraus einen weiteren Linearfaktor konstruieren. Durch Abspalten dieses Linearfaktors erhalten wir einen neuen Term, welchen wir mith(x) bezeichnen. Es gilt: f(x) = (x−a) ·g(x) = (x−a) ·(x−a2) ·h(x) Diese Vorgehensweise kann nun so oft wiederholt werden, bis wir auf den verbleibenden Term eines unserer bekannten Verfahren anwenden ko¨nnen, oder sich keine Linearfaktoren mehr vom Term abspalten lassen (wir Bezeichnen diesen Term mit l(x)). Es gilt: f(x) =(x−a) ·(x−a2) · . .. . ·(x−an) · l(x) Allgemein la¨sst sich dazu Folgendes formulieren: Satz Eine Gleichung vom Gradn hat ho¨chstensnLo¨sungen. Das bedeutet soviel wie, dass wir von unserem Ausgangspolynom ho¨chstennLinearfak- toren abspalten ko¨nnen. Beachte jedoch, dass es sich hierbei nicht umn verschiedene Lo¨sungen handeln muss. Beispielsweise ha¨tte (x−2)2 = 0 nur eine Lo¨sung, na¨mlich x=2. Hier handelt es sich beispielsweise um eine sogenannte Doppelnullstelle. Durch mehrfache Nullstellen kann die Anzahl der Lo¨sungen also auch kleiner als der Grad sein. Um das doch recht abstrakte Verfahren anschaulicher zu gestalten, wollen wir es im folgenden Beispiel mit der analogen Vorgehensweise beim schriftlichen Dividieren gegenu¨berstellen. Austria-Forum MichaelHubmann,Helmut Zo¨hrer