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Lo¨sen quadratischerGleichungen inC 11. Schulstufe Lo¨sen quadratischer Gleichungen inC AndieserStellewirddergewohnteAblaufumgekehrt: wirbeginnenmiteinemeinfu¨hrenden Beispiel und werden anhand der Lo¨sung herausfinden, wie Gleichungen – im Speziellen solche, die keine reellen Lo¨sungen besitzen – gelo¨st werden ko¨nnen. Dafu¨r mu¨ssen wir allerdings folgende Vereinbarung treffen: Definition Fu¨rx∈R+ gilt:√−x= |√x|i. Das wird an dieser Stelle notwendig, da wir von Quadratwurzeln von positiven reellen Zahlen gewohnt sind, dass diese zwei Lo¨sungen besitzen. Um fu¨r Eindeutigkeit zu sorgen, werden in diesem Kontext allerdings nur die positiven Wurzeln herangezogen. Somit wa¨re beispielsweise √−4 nicht±2i, sondern 2i. Genauso kann hiermit festgelegt werden: √−1 = i Einfu¨hrendes Beispiel Gegeben sei eine Funktion fmit der Funktionsgleichung f(x) = 12x 2−x+5. Berechne die (komplexen) Nullstellen dieser Funktion! Lo¨sung: Wir verwenden die u¨bliche Formel zur Bestimmung der Nullstellen einer quadratischen Funktion ax2+bx+c: x1,2 = −b±√b2−4ac 2a Fu¨r unseren Fall wu¨rden die Lo¨sungen folgendermaßen aussehen: x1,2 = 1± √ 1−4 · 12 ·5 2 · 12 = 1±√−9 = 1±3i Nachdem die Lo¨sungen negative Wurzeln enthalten, existieren keine Lo¨sungen inR; sehr wohl aber inC. Wir erhalten also die zueinander komplex konjugierten Lo¨sungen x1 = 1 + 3i und x2 = 1−3i. Probe: Um festzustellen, ob die erhaltenen Lo¨sungen tatsa¨chlich stimmen, werden wir sie in die Funktionsgleichung einsetzen und hoffen auf Besta¨tigung, dass es sich dabei um Nullstellen handelt. f(x1) = 1 2 x21−x1+5 = 1 2 (1+3i)2−(1+3i)+5 = 1 2 (1+3i)(1+3i)−1−3i+5 = 1 2 (−8+6i)+4−3i=−4+3i+4−3i= 0 f(x2) = 1 2 x22−x2+5 = 1 2 (1−3i)2−(1−3i)+5 = 1 2 (1−3i)(1−3i)−1+3i+5 = 1 2 (−8−6i)+4+3i=−4−3i+4+3i= 0 Austria-Forum MichaelHubmann,Helmut Zo¨hrer