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Mathematik Unterrichtseinheiten
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Lo¨sen quadratischerGleichungen inC 11. Schulstufe Lo¨sen quadratischer Gleichungen inC AndieserStellewirddergewohnteAblaufumgekehrt: wirbeginnenmiteinemeinfu¨hrenden Beispiel und werden anhand der Lo¨sung herausfinden, wie Gleichungen – im Speziellen solche, die keine reellen Lo¨sungen besitzen – gelo¨st werden ko¨nnen. Dafu¨r mu¨ssen wir allerdings folgende Vereinbarung treffen: Definition Fu¨rx∈R+ gilt:√−x= |√x|i. Das wird an dieser Stelle notwendig, da wir von Quadratwurzeln von positiven reellen Zahlen gewohnt sind, dass diese zwei Lo¨sungen besitzen. Um fu¨r Eindeutigkeit zu sorgen, werden in diesem Kontext allerdings nur die positiven Wurzeln herangezogen. Somit wa¨re beispielsweise √−4 nicht±2i, sondern 2i. Genauso kann hiermit festgelegt werden: √−1 = i Einfu¨hrendes Beispiel Gegeben sei eine Funktion fmit der Funktionsgleichung f(x) = 12x 2−x+5. Berechne die (komplexen) Nullstellen dieser Funktion! Lo¨sung: Wir verwenden die u¨bliche Formel zur Bestimmung der Nullstellen einer quadratischen Funktion ax2+bx+c: x1,2 = −b±√b2−4ac 2a Fu¨r unseren Fall wu¨rden die Lo¨sungen folgendermaßen aussehen: x1,2 = 1± √ 1−4 · 12 ·5 2 · 12 = 1±√−9 = 1±3i Nachdem die Lo¨sungen negative Wurzeln enthalten, existieren keine Lo¨sungen inR; sehr wohl aber inC. Wir erhalten also die zueinander komplex konjugierten Lo¨sungen x1 = 1 + 3i und x2 = 1−3i. Probe: Um festzustellen, ob die erhaltenen Lo¨sungen tatsa¨chlich stimmen, werden wir sie in die Funktionsgleichung einsetzen und hoffen auf Besta¨tigung, dass es sich dabei um Nullstellen handelt. f(x1) = 1 2 x21−x1+5 = 1 2 (1+3i)2−(1+3i)+5 = 1 2 (1+3i)(1+3i)−1−3i+5 = 1 2 (−8+6i)+4−3i=−4+3i+4−3i= 0 f(x2) = 1 2 x22−x2+5 = 1 2 (1−3i)2−(1−3i)+5 = 1 2 (1−3i)(1−3i)−1+3i+5 = 1 2 (−8−6i)+4+3i=−4−3i+4+3i= 0 Austria-Forum MichaelHubmann,Helmut Zo¨hrer
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Mathematik Unterrichtseinheiten
11. Schulstufe
Title
Mathematik Unterrichtseinheiten
Authors
Michael Hubmann
Helmut Zöhrer
Publisher
Austria-Forum
Location
Graz
Language
German
License
CC BY-SA 3.0
Size
21.0 x 29.7 cm
Pages
55
Categories
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Table of contents

  1. Aufstellen von Polynomfunktionen 1
  2. Binomialkoeffizient 3
  3. Binomialverteilung 5
  4. Extrema 7
  5. Berechnung von Extrema anhand der Differentialrechnung 10
  6. Berechnung von Extremstellen in endlichen Intervallen 13
  7. Funktionen und ihre zugehörige Ableitungsfunktion 15
  8. Mittelwert, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung 18
  9. Monotonie 20
  10. Polynomdivision 23
  11. Relative Häufigkeit 26
  12. Sattelpunkt 28
  13. Skizzieren von Funktionen anhand der Ableitung 30
  14. Untersuchung des Monotonieverhaltens einer Funktion 31
  15. Wendepunkt 35
  16. Zufallsvariable 38
  17. Komplexe Zahlen: Allgemeines 40
  18. Multiplikation komplexer Zahlen in Polardarstellung 43
  19. Polardarstellung komplexer Zahlen 45
  20. Geometrische Deutung komplexer Zahlen 48
  21. Lösen quadratischer Gleichungen in C 50
  22. Die imaginäre Einheit 53
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