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Sattelpunkte 11. Schulstufe Sattelpunkte Theorie Im KapitelUntersuchen desMonotonieverhaltens einer Funktion haben wir gelernt, dass wir mithilfe der Extrema entscheiden ko¨nnen, in welchen Bereichen eine Funktion welches Monotonieverhalten hat. Wie wir bereits gelernt haben, muss alleiniges Nullsetzen der ersten Ableitung einer Funktion nicht zwingend eine Extremstelle liefern. Es kann zu folgendem Umstand kommen: Obige Funktion f besitzt die Funktionsgleichung f(x) =x3. Als erste Ableitung erhalten wir f′(x) = 3x2. Fu¨r x = 0 wa¨re f′(x) = 0. Wir wissen, dass ein Extremum nur dann vorliegt, wenn sich auch das Monotonieverhalten der Funktion a¨ndert. Jedoch ist ersichtlich, dass die Funktion links von 0 und rechts von 0 monoton steigend ist. Ein Punkt mit einem solchen Verhalten wird als Sattelpunkt bezeichnet. Definition EineStellexderFunktionf bei jenerdieSteigungderFunktiongleich0 ist, alsof′(x) = 0 gilt und sich das Monotonieverhalten der Funktion nicht a¨ndert heißt Sattelstelle von f. Der zugeho¨rige Punkt wird als Sattelpunkt bezeichnet. Beispiel Wir untersuchen die Funktion f mit f(x) =−4x3−1 auf das Vorliegen eines Sattelpunk- tes und auf ihr Monotonieverhalten. Wir bilden die 1. Ableitung der Funktion um etwaige Extrema zu finden. Es gilt f′(x) =−12x2, also x= 0 fu¨r f′(x) = 0. Nun mu¨ssen wir das Monotonieverhalten vor und nach besagter Stelle (x= 0) betrachten. Wir sehen mittels x=−1, dass die Funktion mit f′(−1) =−12 links davon streng monoton fallend ist und mitx= 1, dass die Funktion auch rechts mit f′(1) =−12 streng monoton fallend ist. Die Funktion halt also vor und nach dem mo¨glichen Extremum das gleiche Monotonieverhalten und somit Austria-Forum MichaelHubmann,Helmut Zo¨hrer