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Mathematik Unterrichtseinheiten
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Sattelpunkte 11. Schulstufe Sattelpunkte Theorie Im KapitelUntersuchen desMonotonieverhaltens einer Funktion haben wir gelernt, dass wir mithilfe der Extrema entscheiden ko¨nnen, in welchen Bereichen eine Funktion welches Monotonieverhalten hat. Wie wir bereits gelernt haben, muss alleiniges Nullsetzen der ersten Ableitung einer Funktion nicht zwingend eine Extremstelle liefern. Es kann zu folgendem Umstand kommen: Obige Funktion f besitzt die Funktionsgleichung f(x) =x3. Als erste Ableitung erhalten wir f′(x) = 3x2. Fu¨r x = 0 wa¨re f′(x) = 0. Wir wissen, dass ein Extremum nur dann vorliegt, wenn sich auch das Monotonieverhalten der Funktion a¨ndert. Jedoch ist ersichtlich, dass die Funktion links von 0 und rechts von 0 monoton steigend ist. Ein Punkt mit einem solchen Verhalten wird als Sattelpunkt bezeichnet. Definition EineStellexderFunktionf bei jenerdieSteigungderFunktiongleich0 ist, alsof′(x) = 0 gilt und sich das Monotonieverhalten der Funktion nicht a¨ndert heißt Sattelstelle von f. Der zugeho¨rige Punkt wird als Sattelpunkt bezeichnet. Beispiel Wir untersuchen die Funktion f mit f(x) =−4x3−1 auf das Vorliegen eines Sattelpunk- tes und auf ihr Monotonieverhalten. Wir bilden die 1. Ableitung der Funktion um etwaige Extrema zu finden. Es gilt f′(x) =−12x2, also x= 0 fu¨r f′(x) = 0. Nun mu¨ssen wir das Monotonieverhalten vor und nach besagter Stelle (x= 0) betrachten. Wir sehen mittels x=−1, dass die Funktion mit f′(−1) =−12 links davon streng monoton fallend ist und mitx= 1, dass die Funktion auch rechts mit f′(1) =−12 streng monoton fallend ist. Die Funktion halt also vor und nach dem mo¨glichen Extremum das gleiche Monotonieverhalten und somit Austria-Forum MichaelHubmann,Helmut Zo¨hrer
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Mathematik Unterrichtseinheiten
11. Schulstufe
Title
Mathematik Unterrichtseinheiten
Authors
Michael Hubmann
Helmut Zöhrer
Publisher
Austria-Forum
Location
Graz
Language
German
License
CC BY-SA 3.0
Size
21.0 x 29.7 cm
Pages
55
Categories
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Table of contents

  1. Aufstellen von Polynomfunktionen 1
  2. Binomialkoeffizient 3
  3. Binomialverteilung 5
  4. Extrema 7
  5. Berechnung von Extrema anhand der Differentialrechnung 10
  6. Berechnung von Extremstellen in endlichen Intervallen 13
  7. Funktionen und ihre zugehörige Ableitungsfunktion 15
  8. Mittelwert, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung 18
  9. Monotonie 20
  10. Polynomdivision 23
  11. Relative Häufigkeit 26
  12. Sattelpunkt 28
  13. Skizzieren von Funktionen anhand der Ableitung 30
  14. Untersuchung des Monotonieverhaltens einer Funktion 31
  15. Wendepunkt 35
  16. Zufallsvariable 38
  17. Komplexe Zahlen: Allgemeines 40
  18. Multiplikation komplexer Zahlen in Polardarstellung 43
  19. Polardarstellung komplexer Zahlen 45
  20. Geometrische Deutung komplexer Zahlen 48
  21. Lösen quadratischer Gleichungen in C 50
  22. Die imaginäre Einheit 53
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