Page - 1 - in Mathematik Unterrichtseinheiten

Aufstellen vonPolynomfunktionen 11. Schulstufe Aufstellen vonPolynomfunktionen Theorie Um u¨ber ein ausreichendes Vokabular zu verfu¨gen, reichen wir nun den Begriff des Hochpunktesund desTiefpunktesnach: • Ein Hochpunkt einer Funktionf liegt mit (x|f(x)) vor, wenn die Stellex eine lokale Maximumsstelle von f ist. • Ein Tiefpunkt einer Funktion f liegt mit (x|f(x)) vor, wenn die Stellex eine lokale Minimumsstelle von f ist. Wir wollen nun einen umgekehrten Weg gehen und Funktionsgleichungen bestimmen. Dies erfolgt von gegebenen Informationen ausgehend. Beispielsweise ko¨nnten von einer Funktion Tiefpunkte bzw. Hochpunkte gegeben sein, oder Wendepunkte oder auch das Monotonieverhalten in einem bestimmten Punkt. Wir starten abha¨ngig vom Grad der Funktion mit der gesuchten Termdarstellung und verwenden fu¨r die Koeffizienten Variablen als Platzhalter. Als Beispiel sei hier die Ter- mdarstellung von einer Funktion 4. Grades angegeben: f(x) =ax4+bx3+cx2+dx+e Wir verwenden unsere Informationen und erhalten sodann ein Gleichungssystem. Wichtig ist, dass unser Gleichungssystem lo¨sbar ist, also, dass die Anzahl der Gleichungen zumind- estderAnzahlderKoeffizientenentspricht. WenndasGleichungssystemsodann lo¨sbar ist, ko¨nnenwiralleKoeffizientenbestimmenunderhaltenunseregesuchteFunktionsgleichung. Beispiel Wir betrachten eine Polynomfunktion 3. Grades. Sie schneidet die y-Achse bei−6 und hat an der Stelle 3 eine Nullstelle. Ferner sind die Stellen−1 und 1Extremstellen jener Funktion. Stelle die Polynomfunktion auf! Unsere gesuchte Polynomfunktion hat die Form: f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d. Da- raus bestimmen wir die erste Ableitung mit f′(x) = 3ax2+ 2bx+ cWir stellen die Gleichungen auf: 1. Gleichung: Der Graph schneidet die y-Achse bei−6, dh. f(0) =−6 2. Gleichung: Der Graph hat eine Nullstelle bei 3, dh. f(3) =0 3. Gleichung: Der Graph hat eine Extremstelle bei−1, dh. f′(−1) = 0 4. Gleichung: Der Graph hat eine Extremstelle bei 1, dh. f′(1) = 0 Was uns folgendes Gleichungssystem liefert: I :d=−6 II : 27a+9b+3c+d= 0 III : 3a–2b+c= 0 IV : 3a+2b+c= 0 Austria-Forum MichaelHubmann,Helmut Zo¨hrer