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Komplexe Zahlen: Allgemeines 11. Schulstufe Komplexe Zahlen: Allgemeines Hintergrund Der Zahlenbereich der reellen Zahlen R bietet nicht die Mo¨glichkeit die Wurzel aus negativen Zahlen zu bilden. Wenn man beispielsweise versucht eine Lo¨sung fu¨r die Gleichung x2+1 = 0 zu finden, so hat man inR keine Chance, da das Quadrat einer jeden reellen Zahl gro¨ßer oder gleich null ist. Daher fu¨hren wir ein neues Hilfsmittel, die sogenannte imagina¨re Einheit mit dem Buchstaben i ein und notieren, dass Folgendes gilt: i2=−1 Somit ist klar, dass i und auch−i die oben angefu¨hrte Gleichung lo¨sen, da i2+1 =−1+1 = 0 (−i)2+1 = ((−1) · i)2+1 = (−1)2 · i2+1 =−1+1 = 0 gilt. Unter Verwendung der imagina¨ren Einheit la¨sst sich nun ein neuer Zahlenbereich, jener der komplexen ZahlenC einfu¨hren: C :={a+ ib |a,b∈R} Anstelle der hier gegebenen Definition ko¨nnen komplexe Zahlen auch als Zahlenpaare geschrieben werden: a+ ib=: (a,b) wobei a alsRealteil und b als Imagina¨rteil bezeichnet wird. Beide Schreibweisen werden ha¨ufig genutzt. Rechenregeln Die gewohnten Rechenoperationen sind auch mit komplexen Zahlen mo¨glich: Addition (a,b)+(c,d) =(a+c,b+d) Beweis: (a,b)+(c,d) = (a+ ib)+(c+ id) =a+c+ ib+ id= (a+c)+ i(b+d) = (a+c,b+d) Subtraktion (a,b)−(c,d) =(a−c,b−d) Beweis: (a,b)−(c,d) = (a+ ib)−(c+ id) =a−c+ ib− id= (a−c)+ i(b−d) = (a−c,b−d) Austria-Forum MichaelHubmann,Helmut Zo¨hrer