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Mathematik Unterrichtseinheiten
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Untersuchung desMonotonieverhaltens einer Funktion 11. Schulstufe Untersuchung des Monotonieverhaltens einer Funktion Theorie Zu den uns bereits bekannten Definitionen von Monotonieverhalten erga¨nzen wir das Folgende: Definition Eine Funktion f heißt auf einem Intervall I, wobei I eine Teilmenge des Definitionsbere- iches der Funktion ist • strengmonoton steigend, wenn f′(x)> 0 fu¨r alle x aus dem inneren Bereich von I ist, bzw. • strengmonoton fallend, wenn f′(x)<0 fu¨r alle x aus dem inneren Bereich von I ist. Schritt fu¨r Schritt zur Monotonie Wieko¨nnenwirnunrechnerisch feststellen, inwelchenIntervallenunserezuuntersuchende Funktion (streng) monoton fallend oder (streng) monoton steigend ist? Schritt 1: Hier mu¨ssen wir u¨berpru¨fen, ob unsere Funktion u¨berhaupt durchgehend definiert ist. Die Funktion fmit f(x) = 1/x ist beispielsweise inx= 0 nicht definiert. Alsomu¨ssenwirumdiesenPunktherumIntervallebildenumdieFunktionzuuntersuchen (siehe dazu das 2. Beispiel). Ist die Funktion durchgehend definiert, so kann Schritt 1 u¨bersprungen werden. Schritt 2: Im na¨chsten Schritt versuchen wir die Extremstellen der Funktion zu finden. Diese erhaltenwir, wiebereitsbekannt, indemwirdie1. Ableitungder zuuntersuchenden Funktion gleich 0 setzen. Wir berechnen also die Nullstellen der 1. Ableitung mittels f′(x) = 0. Aber warum interessieren uns gerade diese Stellen? U¨berlege kurz selbst! Im na¨chsten Absatz gibt es die Auflo¨sung! Die Idee hinter diesem Vorgehen ist, dass Extremstellen angeben wo sich das Mono- tonieverhalten der Funktion a¨ndert, also z.B. wo es einen U¨bergang von streng monoton steigend zu streng monoton fallend gibt. Zwischen zwei Extremstellen hat eine Funktion dasselbe Monotonieverhalten, da eine A¨nderung des Monotonieverhaltens in einer weit- eren Extremstelle im Intervall resultieren wu¨rde. Abha¨ngig davon ob wir Extremstellen gefunden haben oder nicht, gehen wir zu Schritt 3a (keine gefunden) oder zu Schritt 3b (welche gefunden) u¨ber. Schritt 3a: Dies ist der einfachere Fall. Da es hier keine Extremstellen gibt, mu¨ssen wir die oben erwa¨hnte Unterteilung in Intervalle nicht vornehmen. Wir suchen lediglich einen x-Wert aus dem Intervall und setzen diesen in die Ableitung der Funktion ein. Ist f′(x)> 0, so ist die Funktion f streng monoton wachend; ist f′(x)< 0 so ist die Funktion f streng monoton fallend. Schritt 3b: Hier haben wir ein wenig mehr zu tun. Wir mu¨ssen nun abha¨ngig von der Anzahl der gefundenen Nullstellen die daraus resultierenden Intervalle untersuchen. Austria-Forum MichaelHubmann,Helmut Zo¨hrer
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Mathematik Unterrichtseinheiten
11. Schulstufe
Title
Mathematik Unterrichtseinheiten
Authors
Michael Hubmann
Helmut Zöhrer
Publisher
Austria-Forum
Location
Graz
Language
German
License
CC BY-SA 3.0
Size
21.0 x 29.7 cm
Pages
55
Categories
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Table of contents

  1. Aufstellen von Polynomfunktionen 1
  2. Binomialkoeffizient 3
  3. Binomialverteilung 5
  4. Extrema 7
  5. Berechnung von Extrema anhand der Differentialrechnung 10
  6. Berechnung von Extremstellen in endlichen Intervallen 13
  7. Funktionen und ihre zugehörige Ableitungsfunktion 15
  8. Mittelwert, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung 18
  9. Monotonie 20
  10. Polynomdivision 23
  11. Relative Häufigkeit 26
  12. Sattelpunkt 28
  13. Skizzieren von Funktionen anhand der Ableitung 30
  14. Untersuchung des Monotonieverhaltens einer Funktion 31
  15. Wendepunkt 35
  16. Zufallsvariable 38
  17. Komplexe Zahlen: Allgemeines 40
  18. Multiplikation komplexer Zahlen in Polardarstellung 43
  19. Polardarstellung komplexer Zahlen 45
  20. Geometrische Deutung komplexer Zahlen 48
  21. Lösen quadratischer Gleichungen in C 50
  22. Die imaginäre Einheit 53
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