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Die imagina¨re Einheit 11. Schulstufe Die imagina¨re Einheit Theorie In diesemDokumentwerden einige interessanteEigenschaften der imagina¨renEinheit i besprochen. Periodizita¨t der Potenzen von i Zuallererst betrachtenwir einigePotenzen von i undwerden einMuster erkennen. ... i−4= 1 i4 = 1 (i2)2 = 1 (−1)2= 1 1 =1 i−3= 1 i3 = 1 −i= 1 · i (−i) · i= i −(i2) = i 1 = i i−2= 1 i2 = 1 −1 =−1 i−1= 1 i = 1 ·(−i) i ·(−i) = −i −(i2) = −i 1 =−i i0=1 i1= i i2=−1 i3= i2 · i=(−1) · i=−i i4= i2 · i2=(−1) ·(−1)=1 ... Daraus la¨sst sich vermuten, dass allePotenzenvon imit ganzenZahlen in einemElement derMenge {1,i,−1,−i} resultieren. Klarerwird das durch dieBetrachtung, dass fu¨r alle Zahlenn∈Z i4n= ( i4 )n =1n=1 gilt. Mithilfe der u¨blichenRechenregeln fu¨r Potenzen ko¨nnenwir nun beweisen, dass alle ganzzahligenPotenzenvon i tatsa¨chlicheinElementderMenge{1,i,−1,−i}ergeben. Bei Hochzahlen k, welche durch 4 teilbar sind, gilt ik = 1 wegen i4n = 1. Solche Exponenten, die beiDivision durch 4 denRest 1 besitzen, ko¨nnen in der Form4n+1 geschriebenwerden. i4n+1= i4n · i1=1 · i= i Ganze Zahlen, welche bei Division durch 4 den Rest 2 besitzen, ko¨nnen als 4n+2 dargestellt werden. i4n+2= i4n · i2=1 ·(−1)=−1 Der letzte Fall, Exponenten derenDivision durch 4 denRest 3 liefern, besitzen die Form 4n+3. i4n+3= i4n · i3=1 ·(−i)=−i Da somit alle mo¨glichen Fa¨lle von ganzen Zahlen abgedeckt werden, wurde dadurch bewiesen, dass die Potenzierung der imagina¨renEinheit periodisch ist. Austria-Forum MichaelHubmann,Helmut Zo¨hrer