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Binomialkoeffizient 11. Schulstufe Binomialkoeffizient Theorie Um mit dem Binominialkoeffizienten arbeiten zu ko¨nnen, mu¨ssen wir zuerst den Begriff der Fakulta¨t einfu¨hren. Die Fakulta¨t gibt an, auf wie viele verschiedene Arten eine Menge vonnElementen angeordnet werden kann. Wir schreiben sodannn! und formulieren dies formal folgendermaßen: n! = 1 ·2 ·3 · ..... ·n Ferner gilt, dass 0!= 1 ist. Als Beispiel zu Fakulta¨t betrachte Beispiel 1. Kommen wir nun zum Binominialkoeffizienten. Er gibt an, wie viele Mo¨glichkeiten es gibt, kObjekte aus einer Menge vonnObjekten auszuwa¨hlen. Anders ausgedru¨ckt ist der Binominialkoeffizient die Zahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge. Der Binominialkoeffizient wird geschrieben als ( n k ) . Wir werden nun die Formel fu¨r den Binominialkoeffizienten mithilfe eines Beispiels erarbeiten. Wir wollen herausfinden, wie viele Mo¨glichkeiten es gibt, aus einer Startauf- stellung von 11 Spielern 5 fu¨r ein Elfmeterschießen auszuwa¨hlen. Wir fragen uns zu Beginn, wie viele Mo¨glichkeiten es gibt, Spieler fu¨r das Elfmeter- schießen auszuwa¨hlen. Wir finden folgende Rechnung: 11 ·10 ·9 ·8 ·7 = 55440. Die U¨berlegungen sind hier jenen der Fakulta¨t a¨hnlich. Fu¨r den ersten Schu¨tzen haben wir 11 Spieler zur Auswahl, fu¨r den zweiten Schu¨tzen 10 Spieler, bis wir schließlich fu¨r den letzten Schu¨tzen 7 Spieler zur Auswahl haben. Wir sind an dieser Stelle allerdings noch nicht fertig, da die Reihenfolge wie wir die Spieler zum Schießen schicken fu¨r uns irrelevant ist. Wir wollen an dieser Stelle nur wissen, wie viele Mo¨glichkeiten es gibt 5 Spieler auszuwa¨hlen. Damit wir die unterschiedlichen Anordnungen loswerden, mu¨ssen wir berechnen, wie viele Mo¨glichkeiten wir haben die 5 Elfmeterschu¨tzen anzuordnen. Wir verwenden dazu folgende Rechnung: 5! = 120. Um nun die tatsa¨chlich gewu¨nschte Anzahl zu erhalten, mu¨ssen wir die oben gefundene Anzahl an Mo¨glichkeiten durch 120 dividieren: 55440 120 =462. Der Trainer hat also 462 Auswahlmo¨glichkeiten. Versuchenwirdiese U¨berlegungennunallgemeinzuverwenden,gelangenwirzur folgenden Formel: ( n k ) = n ·(n−1) ·(n−2) · .... ·(n−k+1) k ·(k−1) · .... ·1 Im Za¨hler finden wir unsere Gesamtanzahl an Mo¨glichkeiten, im Nenner die Anzahl der Kombinationen der ausgewa¨hlten Elemente. Da diese Schreibweise im allgemeinen Kontext eher unpraktisch ist, erweitern wir den Bruch mit (n−k)! und erhalten:( n k ) = n ·(n−1) ·(n−2) · .... ·(n−k+1)∗(n−k)! k ·(k−1) · .... ·1∗(n−k)! = n! k! ·(n−k)! Jene Schreibweise ist eher gebra¨uchlich. Wir halten fest: Austria-Forum Michael Hubmann, Helmut Zo¨hrer